1、精選優質文檔-傾情為你奉上函數的基本性質 學習目標（1）掌握函數的基本性質（單調性、最大值或最小值、奇偶性），能應用函數的基本性質解決一些問題。 （2）從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法 （3）了解奇偶性的概念,回 會利用定義判斷簡單函數的奇偶性。重點與難點 （1）判斷或證明函數的單調性；（2）奇偶性概念的形成與函數奇偶性的判斷。 學習過程 一、 函數的單調性1單調函數的定義（1）增函數：一般地，設函數的定義域為：如果對于屬于內某個區間上的任意兩個自變量的值、,當時都有，那么就說在這個區間上是增函數。（2）減函數：如果對于屬于I內某個

2、區間上的任意兩個自變量的值、,當時都有，那么就說在這個區間上是減函數。（3）單調性：如果函數在某個區間是增函數或減函數。那么就說函數在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做的單調區間。2、單調性的判定方法（1）定義法：判斷下列函數的單調區間：（2）圖像法：從左往右，圖像上升即為增函數，從左往右，圖像下降即為減函數。（3）復合函數的單調性的判斷： 設，都是單調函數，則在上也是單調函數。若是上的增函數，則與定義在上的函數的單調性相同。 若是上的減函數，則與定義在上的函數的單調性相同。即復合函數的單調性：當內外層函數的單調性相同時則復合函數為增函數；當內外層函數的單調性相反時則復合函數為增減函數

3、。也就是說：同增異減（類似于“負負得正”）練習：（1）函數的單調遞減區間是 ，單調遞增區間為 （2）的單調遞增區間為 3、函數單調性應注意的問題：單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數4例題分析證明：函數在上是減函數。證明：設任意，（0，+）且，則，由，（0，+），得，又，得，即所以，在上是減函數。說明：一個函數的兩個單調區間是不可以取其并集，比如：不

4、能說是原函數的單調遞減區間；練習：1根據單調函數的定義，判斷函數的單調性。2根據單調函數的定義，判斷函數的單調性。二、函數的奇偶性1奇偶性的定義： （1）偶函數：一般地，如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做偶函數。例如：函數, 等都是偶函數。（2）奇函數：一般地，如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做奇函數。例如：函數，都是奇函數。（3）奇偶性：如果函數是奇函數或偶函數，那么我們就說函數具有奇偶性。說明：從函數奇偶性的定義可以看出，具有奇偶性的函數：（1）其定義域關于原點對稱；（2） 或必有一成立。因此，判斷某一函數的奇偶性時，首先看其定義域是否關于原點對稱，若對

5、稱，再計算，看是等于還是等于，然后下結論；若定義域關于原點不對稱，則函數沒有奇偶性。（3）無奇偶性的函數是非奇非偶函數。（4）函數既是奇函數也是偶函數，因為其定義域關于原點對稱且既滿足也滿足。（5）一般的，奇函數的圖象關于原點對稱，反過來，如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數。偶函數的圖象關于軸對稱，反過來，如果一個函數的圖形關于軸對稱，那么這個函數是偶函數。（6）奇函數若在時有定義，則2、函數的奇偶性判定方法（1）定義法（2）圖像法（3）性質罰3例題分析：判斷下列函數的奇偶性：（1） （ ） （2）（ ）說明：在判斷與的關系時，可以從開始化簡；也可以去考慮或；當不等于0時也可

6、以考慮與1或的關系。五小結：1函數奇偶性的定義； 2判斷函數奇偶性的方法；3特別要注意判斷函數奇偶性時，一定要首先看其定義域是否關于原點對稱，否則將會導致結論錯誤或做無用功。二、函數的最大值或最小值 學習評價 自我評價 你完成本節學案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差經典例題1下面說法正確的選項（ ）A函數的單調區間可以是函數的定義域B函數的多個單調增區間的并集也是其單調增區間C具有奇偶性的函數的定義域定關于原點對稱D關于原點對稱的圖象一定是奇函數的圖象2在區間上為增函數的是（ ）AB C D3函數是單調函數時，的取值范圍（ ）A B C D 4如果偶函數在具有最

7、大值，那么該函數在有（ ）A最大值 B最小值 C 沒有最大值D 沒有最小值 課后作業 1在區間(0，)上不是增函數的函數是（ ）Ay=2x1By=3x21Cy=Dy=2x2x12函數y=(x1)-2的減區間是_ _3偶函數在上單調遞增，則從小到大排列的順序是 ；4已知是R上的偶函數，當時，求的解析式。5（12分）判斷下列函數的奇偶性； ；高中數學必修1函數的基本性質1奇偶性（1）定義：如果對于函數f(x)定義域內的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為奇函數；如果對于函數f(x)定義域內的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數。如果函數f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有

8、奇偶性.如果函數同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函數，又是偶函數。注意： 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質； 由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）。（2）利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟： 首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱； 確定f(x)與f(x)的關系； 作出相應結論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數。（3）簡單性質

9、：圖象的對稱性質：一個函數是奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數是偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱；設，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2單調性（1）定義：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就說f(x)在區間D上是增函數（減函數）；注意： 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質； 必須是對于區間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1<

10、;x2時，總有f(x1)<f(x2)（2）如果函數y=f(x)在某個區間上是增函數或是減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間。（3）設復合函數y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定義域的某個區間，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或減）函數，y= f(u)在B上也是增（或減）函數，則函數y= fg(x)在A上是增函數；若u=g(x)在A上是增（或減）函數，而y= f(u)在B上是減（或增）函數，則函數y= fg(x)在A上是減函數。（4）判斷函數單調性的方法步驟利用定義證

11、明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）； 下結論（即指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）。（5）簡單性質奇函數在其對稱區間上的單調性相同；偶函數在其對稱區間上的單調性相反； 在公共定義域內：增函數增函數是增函數；減函數減函數是減函數；增函數減函數是增函數；減函數增函數是減函數。3最值（1）定義：最大值：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：對于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，

12、稱M是函數y=f(x)的最大值。最小值：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：對于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數y=f(x)的最大值。注意： 函數最大（小）首先應該是某一個函數值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函數最大（小）應該是所有函數值中最大（小）的，即對于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。（2）利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值的方法： 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值； 利用圖象求函數的最大（小）值； 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數y=f(x)在區間a，b上單

13、調遞增，在區間b，c上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區間a，b上單調遞減，在區間b，c上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；4周期性（1）定義：如果存在一個非零常數T，使得對于函數定義域內的任意x，都有f(x+T)= f(x)，則稱f(x)為周期函數；（2）性質：f(x+T)= f(x)常常寫作若f(x)的周期中，存在一個最小的正數，則稱它為f(x)的最小正周期；若周期函數f(x)的周期為T，則f(x)（0）是周期函數，且周期為。四典例解析【奇偶性典型例題】例1以下五個函數：（1）；（2）；（3）；（4）； （5），其中奇函數是_

14、 _，偶函數是_ _，非奇非偶函數是 _點評：判斷函數的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應先考察函數的定義域，若函數的解析式能化簡，一般應考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程（要保證定義域不變）。題型二：奇偶性的應用例2設f（x）是定義在R上的奇函數，若當x0時，f（x）=log3（1+x），則f（2）=_ _。例3已知奇函數，當（0，1）時，那么當（1，0）時，的表達式是 例4若奇函數是定義在（，1）上的增函數，試求a的范圍：解：由已知得因f(x)是奇函數，故 ，于是又是定義在（1，1）上的增函數，從而即不等式的解集是【單調性典型例題】例1(1)則a的范圍為( ) A B C D

15、 (2)函數)是單調函數的充要條件是( ) A B C D(3)已知在區間上是減函數，且，則下列表達正確的是（ ）A BC D提示：可轉化為和在利用函數單調性可得.(4) 如右圖是定義在閉區間上的函數的圖象,該函數的單調增區間為 例2畫出下列函數圖象并寫出函數的單調區間（1） （2）例3根據函數單調性的定義，證明函數 在 上是減函數例4.設是定義在R上的函數，對、恒有，且當時，。（1）求證：； （2）證明：時恒有；（3）求證：在R上是減函數； （4）若，求的范圍。解：(1)取m=0，n= 則，因為 所以 (2)設則 由條件可知又因為，所以 時，恒有（3）設則 = = 因為所以所以即 又因為，所以 所以，即該函數在R上是減函數.(4) 因為，所以所以，所以例5：（復合函數單調