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1、探討圓錐曲線的定值、最值與定點問題圓錐曲線中的最值與定值問題,是解析幾何中的綜合問題,是一種典型題型,將函數與解析融為一體,要求有較強的綜合能力,例析如下。一、 定值問題解決定值問題的方法:將問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角式,證明該式的值與參數無關。例1 A、B是拋物線(p0)上的兩點,且OAOB,求證:(1)A、B兩點的橫坐標之積,縱坐標之積分別都是定值;(2)直線AB經過一個定點。證明:(1)設A()、B(),則,。=,為定值,也為定值。(2),直線AB的方程為:,直線AB過定點(2p,0)。例2 已知拋物線方程為,點A、B及點P(2,4)都在拋物線上,直線PA與PB的傾斜角互補。(1

2、)試證明直線AB的斜率為定值;(2)當直線AB的縱截距為m(m0)時,求PAB的面積的最大值。分析:這類問題一般運算量大,要注意函數與方程、數形結合、分類討論等思想方法的靈活運用。解析:(1)證明:把P(2,4)代入,得h=6。所以拋物線方程為:y4=k(x2),由,消去y,得。所以,因為PA和PB的傾角互補,所以,用k代k,得,所以=。(2)設AB的方程為y=2x+m(m0),由,消去y得:,令=164(2m12) 0,解得0m8,點P到AB的距離d=,所以,=,所以,當且僅當,即時,等號成立,故PAB面積最大值為。二、 最值問題解決最值的方法:一是代數法,建立目標函數,轉化為函數的最值問題

3、,注意到自變量的范圍;二是幾何法,考慮某些量的幾何特征及意義,利用圖形性質求解。例3 求橢圓上的點P到直線L:x2y12=0的最大距離和最小距離。方法1:(求切點)設與L平行的直線與橢圓相切于點P(x,y),由橢圓方程得此切線方程,即(1),又(2),解(1)(2)得切點的坐標為P(2,3)P(2,3)。設點P到直線L的距離為d,由點到直線的距離公式,得,。方法2:(判別式法)設與L平行的橢圓的切線方程為x2y+m=0,代入橢圓方程,消去x得,由=得,。當m=8時,切線方程x2y+8=0,此時,切點為P(2,3);當m=8時,切線方程x2y8=0,此時,切點為P(2,3)設點P到直線L的距離為

4、d,由點到直線的距離公式,得,。方法3:(參數法)設橢圓上任意一點P(4cos,sin),它到直線L的距離為,當時,;當時,。BxyACO圖1·點評:方法1、方法2可以求出橢圓上的最遠點和最近點的坐標,方法3利用橢圓的參數方程,建立目標函數,簡潔明了,但求切點的坐標較復雜。例4 已知定點A(0,3)點B、C分別在橢圓的準線上運動,當BAC=90°時,求ABC面積的最大值。解:橢圓的兩條準線方程分別為:y=1或y=1。點B在直線y=1上且設B(a,1),點C在直線y=1上且設C(b,1),由于BAC=90°,A(0,3),所以,·=,ab=8。=,當且僅當

5、,即,時ABC面積的值最大為8。三、定點問題處理這類問題有兩種方法:一是從特殊入手,求出定點,再證明這個點與變量無關;二是直接推理、計算,并在計算過程中消去變量,從而得到定點。CxyOFBA圖2例5(2001年全國高考)設拋物線(p0)的焦點為F,經過點F的直線交拋物線于A、B兩點,點C在拋物線的準線上,且BCx軸,證明:直線AC經過原點。方法1:設直線方程為,A,B,C,又,即k也是直線OA的斜率,所以AC經過原點O。當k不存在時,ABx軸,同理可證。xyFBACDO圖3NE方法2:如圖2過A作ADl,D為垂足,則:ADEFBC連結AC與EF相交于點N,則,由拋物線的定義知:|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,.點評:該題的解答既可采用常規的坐標法,借助代數推理進

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