1、引導學生運用數學模型解決實際問題著名數學家懷特海曾說：“數學就是對于模式的研究。” 所謂數學模型，是指對于現實世界的某一特定研究對象，為了某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，并通過數學語言表述出來的一個數學結構。數學中的各種基本概念，都以各自相應的現實原型作為背景而抽象出來的數學概念。各種數學公式、方程式、定理、理論體系等等，都是一些具體的數學模型。我們的數學教學說到底實際上就是教給學生前人給我們構建的一個個數學模型和怎樣構建模型的思維方法，以使學生能運用數學模型解決數學問題和實際問題。 由此，我們可以看到，培養學生運用數學模型解決實際問題的能力，關鍵是把實際問題抽象

2、為數學問題，通過解決數學問題，從而解決實際問題。本人結合實際教學談談運用數學模型，解決實際問題的實例。 實例一：二次函數與實際問題 1 中學課本中的實際例題。 在義務教育課程標準實驗數學教材蘇科版九年級上第34頁習題10：某商場購進一批單價為16元的日用品。若按每件20元的價格銷售，每月能賣出360件，若按每件25元的價格銷售，每月能賣出210件。假定每月銷售件數y（件）與價格x（元/件）之間滿足一次函數。 （1） 試求y與x之間的函數關系式。 （2） 在商品不積壓且不考慮其他因素的條件下，銷售價格定為多少時，才能使每月的毛利潤W最大？每月的最大毛利潤是多少？ 解：（1） y=-30x+960

3、。 （2） 設每月的毛利潤為W元，則 W=（x-16）（-30x+960） =-30x2+1440x-96016 =-30（x-24）2+1920。 當x=24時，W有最大值，W最大值=1920。 答：將售價定為24元時，每月的最大毛利潤為1920元。 2 在一場戰爭中，敵方戰敗，敵方準備乘飛機逃跑。我軍戰機監測到敵方的飛機位于自己正南30 km外，正以3 km/s的速度向北逃去，而我方戰機的速度是4 km/s，由東向西追，如圖，請問我方戰機在何時方能有把握把敵機擊落（最近處）。 分析：設時間x秒，兩機相距s千米。 那么s是斜邊，兩直角邊分別為3x km，（30-4x）km，則 S= = 當x

4、=4.8時，s有最小值 所以，經過4.8秒后，去擊落敵機最有把握。 二次函數在各領域非常重要，上述二例說明了在經濟、軍事上的實際應用。當然在其他方面如體育方面、建筑方面等都能用到二次函數，只要認真觀察，仔細尋找，我們不難發現數學就在身邊，數學不再是簡單地運算，而是生活中必不可少的成分。我們的生活與數學密不可分，我們通過學習數學為生活服務。因此，對于現實生活中普遍存在的最優化問題，如造價用料最少，利潤產出最大等，可透過實際背景、建立變量之間的目標函數二次函數，以轉化為函數的極值問題。 實例二：不等式（或組）與實際問題 一群學生住若干間宿舍，每間住4人，剩19人無房住；每間住6人，有一間宿舍住不滿

5、。 （1） 設有x間宿舍，請寫出x應滿足的不等式組。 （2） 可能有多少間宿舍和多少名學生？ 分析：（1） 設有x間宿舍，則有（4x+19）名學生， 根據題意，得： （2） 解不等式組，得 9.5x12.5。 因為x是整數，所以x=10，11，12。 因此有三種可能，第一種，有10間宿舍，59名學生；第二種，有11間宿舍，63名學生；第三種，有12間宿舍，67名學生。 不等式在各領域都非常重要，上面的例子在房間分配上就用到了不等式組，其實，在市場經營、生產決策和社會生活中都會用到不等式（或組）。如估計生產數量，核定價格范圍，盈虧平衡分析，投資決策等，則可挖掘實際問題所隱含的數量關系，轉化為不等

6、式（組）的求解或目標函數在閉區間的最值問題。只要能建構好適當的數學模型，實際問題就迎刃而解了。 實例三：三角函數與實際問題 1. 熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30，看這棟高樓底部的俯角為60，熱氣球與高樓的水平距離為120 m。這棟高樓有多高（結果精確到0.1 m）？ 分析：在RtABD中，=30，AD=120。所以可以利用解直角三角形的知識求出BD；類似地可以求出CD，進而求出BC。 解：如圖=30，=60，AD=120。 tan=，tan=， BD=ADtan=120=40。 CD=ADtan=120tan60=120=120。 BC=BD+CD=40+120=160

7、227.1。 2. 如果你是修建三峽大壩的工程師，現在有這樣一個問題請你解決（如圖3）： 水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23 m，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求斜坡AB的坡面角，壩底寬AD和斜坡AB的長（精確到0.1 m）。 解：作BEAD，CFAD，垂足分別是E，F 在RtABE和RtCDF中， =，=。 AE=3BE=323=69（m） FD=2.5CF=2.523=57.5（m） AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5（m）。 因為斜坡AB的坡度itan0.3333， =sin， AB=72.7（m）。 1826 答：斜坡AB的坡角約為1

8、826，壩底寬AD為132.5米，斜坡AB的長約為72.7米。 三角函數在各領域也非常重要，上面二個例子說明測樓房高度、大壩計算方面用到了三角函數。平常生活中普遍存在著三角函數的應用問題，如對測高、測距、航海，燕尾槽、攔水壩、人字架的計算等應用問題，則可建立三角函數模型，轉化為解三角形問題。因此我們學會了數學模型的建立，充分挖掘數學內涵，解決問題的能力會大大提高。 實例四：幾何與實際問題 1. 在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向對方球門MN進攻，當甲帶球沖向A點時，乙已跟隨沖到B點，此時甲是自己直接射門好，還是迅速將球回傳給乙讓乙射門好？ 分析：在真正的足球比賽中，情況會很復雜，這里僅用

9、數學方法從靜止的兩點加以考慮，如果兩個點到球門距離相差不大，要確定較好的射門位置，關鍵是看這兩個點各自對球門MN的張角大小，當張角較小時，則球容易被對方守門員攔截。 如在AMN，BMN中，比較MBN與NAM這兩個張角的大小（圖4）。 2. 如圖5，某貨船以20海里每時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的B處，經16小時的航行到達，到達后必須立即卸貨。此時，接到氣象部門通知，一臺風中心正以40海里每時的速度由A向北偏西60方向移動，距臺風中心200海里的圓形區域（包括邊界）均受影響。 （1） 問：B處是否會受到臺風的影響？請說明理由； （2） 為避免受到臺風的影響，該船應在多少小時內卸完貨物

10、？ 分析：（1） 過B作BDAC于D，在RtABD中，可知BAC=30，BD=AB=2016=160200； （2） 以點B為圓心，200海里為半徑畫圓交AC于EF，由勾股定理得DE=120， AD=160，AE=AD-DE=16-160，所以3.8（小時）為卸完貨物的時間。 解：（1）過B作BDAC于D，在Rt ABD中，可知BAC=30，BD=AB=2016=160（海里）200（海里），所以B處會受臺風的影響。 （2） 以點B為圓心，200海里為半徑畫圓交AC于EF，由勾股定理得DE=120，AD=160，AE=AD-DE=16-160， 所以t=3.8（小時）。 答：為避免受到臺風影響

11、，該船應在3.8小時內卸完貨物。 幾何在各領域也非常重要，上面二個例子說明在足球比賽、貨物的裝卸用到了幾何。幾何的圖形在我們現實生活中到處可見，諸如工程定位、邊角余料加工、拱橋計算、皮帶傳動、修復破殘輪片、跑道的設計與計算等應用問題，涉及一定圖形的性質常需建立幾何模型，轉化為幾何問題求解，因此，只要學會轉化，學生的應用能力會得到進一步的提高。 綜上所述，數學模型是一種符號模型，它的解釋就是反映特點的具體實體內在規律性的數學結構。數學建模就是要把現實生活中具體實體內包含的數學知識、數字規律抽象出來，構成數學模型，根據數學規律進行推理求解，得出數學上的結論，返回解釋驗證，以求解決實際問題。作為一種

12、思想方法，數學建模思想可以與數學基礎知識相依相隨、互相滲透、逐步升華。 數學建模處理的對象是一些復雜的應用問題，它需要自己去挖掘，采集有用的信息：自己去提出模型的假設，求解的方式多種多樣，目標可以不同的層次，結論也常常需要在多次反復中得到修正。好的建模過程常常有藝術品的特點，可以去品味和欣賞。學生由學習的受體變為主體，與老師地位平等，師生互動，因此極大的調動了學生的學習的積極性，使學生變被動學習為主動學習。多讓學生觀察生活，聯系實際，利用課本中的“想一想”“讀一讀”“試一試”“做一做”等為學生提供大量的學習和實踐的機會，使學生具有適應生活和社會的能力，并能運用所學的知識和思想方法去思考和處理問

13、題，使他們在解決實際問題的過程中逐步形成數學應用的意識和應用能力。從而達到綜合素質的提高。 當然，一切數學概念、公式、方程式和算式系統都是數學模型。數學建模思想滲透在中小學的教材中，因此，只要我們深入鉆研教材，挖掘教材蘊涵的應用數學的教材。并從中總結提練，就能找到數學建模的素材。 例如 （1） 拱橋、炮彈發射、衛星軌道、面積大小、商品的盈利等問題都可以建立二次函數模型。 （2） 平均增長率問題、（包括產量、繁殖、資金、利率）旅游、裝飾材料、商品的利潤、濃度配比、工程施工及人員調配、行程等問題，則可列出方程轉化為方程求解問題 （3） 房間分配、方案設計、市場經營、生產數量、核定價格范圍，盈虧平衡分析，投資決策等，則可挖掘實際問題所隱含的數量關系，轉化為不等式（組）的求解或目標函數在閉區間的最值問題。 （4） 對測高、測距、航海，燕尾槽、攔水壩、人字架的計算等應用問題，則可建立三角模型，轉化為解三角形問題 （5） 足球比賽、工程定位、邊角余料加工、拱橋計算、皮帶傳動、修復破殘輪片、跑道的設計與計算等應用問題，涉及一定圖形的性質常需建立幾何模型，轉化為幾何問題求解。 （6） 有些實際問題還可以用概率模型、統計模型及數列模型等來解決實際問題。 在數學教學中，光憑傳授知識