1、新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)( (下冊(cè)下冊(cè)) )第二十八章第二十八章 28.2 28.2 解直角三角形（解直角三角形（3 3）利用利用解直角三角形解直角三角形的知識(shí)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題解決實(shí)際問(wèn)題的的一般過(guò)程是一般過(guò)程是:1.將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題;(畫(huà)出平面圖形畫(huà)出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題)2.根據(jù)條件的特點(diǎn)根據(jù)條件的特點(diǎn),適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形;3.得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案;4.得到實(shí)際問(wèn)題的答案得到實(shí)際問(wèn)題的答案.例例1. 如圖，一艘海輪位于燈塔如圖，一艘海輪位

2、于燈塔P的北偏東的北偏東65方向，距方向，距離燈塔離燈塔80海里的海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔到達(dá)位于燈塔P的南偏東的南偏東34方向上的方向上的B處，這時(shí)，海處，這時(shí)，海輪所在的輪所在的B處距離燈塔處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？有多遠(yuǎn)？ （精確到（精確到0.01海里）海里）6534PBCA 指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角. 如圖：點(diǎn)如圖：點(diǎn)A在在O的北偏東的北偏東30 點(diǎn)點(diǎn)B在點(diǎn)在點(diǎn)O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA東東西西北北南南方位角方位

3、角例例1 如圖，一艘海輪位于燈塔如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東的北偏東65方向，距離燈塔方向，距離燈塔80海里海里的的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東的南偏東34方向上的方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（精確有多遠(yuǎn)（精確到到0.01海里）？海里）？解：如圖解：如圖 ，在，在RtAPC中，中，PCPAcos（9065）80cos25800.91=72.8在在RtBPC中，中，B34PBPCB sin23.130559. 08 .7234sin8 .72sinBPCPB當(dāng)海輪到達(dá)位

4、于燈塔當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東的南偏東34方向時(shí)，它距離燈塔方向時(shí)，它距離燈塔P大約大約130.23海里海里6534PBCA例例4.海中有一個(gè)小島海中有一個(gè)小島A，它的周?chē)?，它的周?chē)?海里范圍內(nèi)有暗礁，海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏在北偏東東60方向上，航行方向上，航行12海里到達(dá)海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東在北偏東30方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？BA ADF601230BADF解：由點(diǎn)解：由點(diǎn)A作作BD的

5、垂線的垂線交交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，垂足為，垂足為F，AFD=90由題意圖示可知由題意圖示可知DAF=30設(shè)設(shè)DF= x , AD=2x則在則在RtADF中，根據(jù)勾股定理中，根據(jù)勾股定理222223AFADDFxxx在在RtABF中，中，tanAFABFBF3tan3012xx解得解得x=666 310.4AFx10.4 8沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)3060修路、挖河、開(kāi)渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都要修路、挖河、開(kāi)渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度注明斜坡的傾斜程度. 坡面的鉛垂高度（坡面的鉛垂高度（h）和水平長(zhǎng)度（）和水平長(zhǎng)度（l）的比）的比叫做坡面叫做坡面（或（或）. 記作記

6、作i , 即即 i = .坡度坡度通常寫(xiě)成通常寫(xiě)成1 m的形式，如的形式，如 i=1 6.坡面與坡面與 水平面的夾角叫做坡角，記作水平面的夾角叫做坡角，記作a，有，有. 顯然，坡度越大，坡角顯然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡. lhlh hlilhi: i 坡度或坡比坡度或坡比l水平長(zhǎng)度水平長(zhǎng)度鉛垂鉛垂高度高度坡角坡角 解直角三角形有廣泛的應(yīng)用，解決問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況靈活運(yùn)用解直角三角形有廣泛的應(yīng)用，解決問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，例如，當(dāng)我們要測(cè)量如圖所示大壩的高度相關(guān)知識(shí)，例如，當(dāng)我們要測(cè)量如圖所示大壩的高度h時(shí)，只要測(cè)出仰時(shí)，只要測(cè)出仰角角a和大壩

7、的坡面長(zhǎng)度和大壩的坡面長(zhǎng)度l，就能算出，就能算出h=lsina，但是，當(dāng)我們要測(cè)量如圖所，但是，當(dāng)我們要測(cè)量如圖所示的山高示的山高h(yuǎn)時(shí)，問(wèn)題就不那么簡(jiǎn)單了，這是由于不能很方便地得到仰角時(shí)，問(wèn)題就不那么簡(jiǎn)單了，這是由于不能很方便地得到仰角a和山坡長(zhǎng)度和山坡長(zhǎng)度l化整為零，積零為整，化曲為直，以直代曲的解決問(wèn)題的策略化整為零，積零為整，化曲為直，以直代曲的解決問(wèn)題的策略與測(cè)壩高相比，測(cè)山高的困難在于；壩坡是與測(cè)壩高相比，測(cè)山高的困難在于；壩坡是“直直”的，而山坡是的，而山坡是“曲曲”的，怎樣解決這樣的問(wèn)題呢？的，怎樣解決這樣的問(wèn)題呢？hhll 我們?cè)O(shè)法我們?cè)O(shè)法“化曲為直，以直代曲化曲為直，以直代曲

8、” 我們可以把山坡我們可以把山坡“化整化整為零為零”地劃分為一些小段，圖表示其中一部分小段，劃分小段地劃分為一些小段，圖表示其中一部分小段，劃分小段時(shí)，注意使每一小段上的山坡近似是時(shí)，注意使每一小段上的山坡近似是“直直”的，可以量出這段的，可以量出這段坡長(zhǎng)坡長(zhǎng)l1，測(cè)出相應(yīng)的仰角，測(cè)出相應(yīng)的仰角a1，這樣就可以算出這段山坡的高度，這樣就可以算出這段山坡的高度h1=l1sina1. 在每小段上，我們都構(gòu)造出直角三角形，利用上面的方法分別算在每小段上，我們都構(gòu)造出直角三角形，利用上面的方法分別算出各段山坡的高度出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我們?cè)偃缓笪覀冊(cè)佟胺e零為整積零為整”，把，把h1,

9、h2,hn相加，于是得到山高相加，于是得到山高h(yuǎn).hl 以上解決問(wèn)題中所用的以上解決問(wèn)題中所用的“化整為零，積零為整化整為零，積零為整”“”“化曲為直，以直代曲化曲為直，以直代曲”的做法，就是高等數(shù)學(xué)中微積分的基本思想，它在數(shù)學(xué)中有重要地位，在的做法，就是高等數(shù)學(xué)中微積分的基本思想，它在數(shù)學(xué)中有重要地位，在今后的學(xué)習(xí)中，你會(huì)更多地了解這方面的內(nèi)容今后的學(xué)習(xí)中，你會(huì)更多地了解這方面的內(nèi)容 例例5. 如圖，攔水壩的橫斷面為梯形如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD（圖中（圖中i=1:3是指坡面的鉛直是指坡面的鉛直高度高度DE與水平寬度與水平寬度CE的比），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：的比），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：（1）

10、坡角）坡角a和和;（2）壩頂寬）壩頂寬AD和斜坡和斜坡AB的長(zhǎng)（精確到的長(zhǎng)（精確到0.1m）BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解解：（：（1）在）在RtAFB中，中，AFB=90tan11.5AFiBF ：33.7 在在RtCDE中，中，CED=90tan1:3DEiCE 18.4 1.在解直角三角形及應(yīng)用時(shí)經(jīng)常接觸到在解直角三角形及應(yīng)用時(shí)經(jīng)常接觸到的一些概念的一些概念(方位角方位角;坡度、坡角等坡度、坡角等) 2.實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化 (解直角三角形解直角三角形)利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫(huà)出平面