數列極限的幾種求法_第1頁
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文檔簡介

1、數列極限的幾種求法 一、定義法:數列極限的定義如下:設是一個數列,若存在確定的數a,對>0 N>0使當n>N時,都有<則稱數列收斂于a，記為=a，否則稱數列不收斂（或稱數列發散）。故可從最原始的定義出發計算數列極限。例1、 用-N方法求 解：令 =t+1 則 t>0n+1=>0 取 則當時，有 =1二、單調有界法：首先我們介紹單調有界定理，其內容如下：在實數系中，有界的單調數列必有極限。證明：不妨設為有上界的遞增數列。由確界原理，數列有上界，記為。以下證明a就是的極限。事實上，>0，按上確界的定義，存在數列中某一項，使得 又由的遞增性，當時有 ，這就證

2、得 。同理可證有下界的遞減數列必有極限，且其極限即為它的下確界。例2、證明數列收斂，并求其極限。證：，易見數列是遞增的。現用數學歸納法來證明有上界。顯然 。假設,則有，從而對一切n 有,即有上界。由單調有界定理，數列有極限，記為a 。由于 ，對上式兩邊取極限得 ，即有 （a+1）（a-2）=0，解得 a=-1或a=2由數列極限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有 三、運用兩邊夾法：迫斂法：（兩邊夾法）設收斂數列，都以a為極限，數列滿足：存在正數當時有 （1） 則數列收斂且證： 由 分別存在正數與使得 當時有 （2） 當時有 （3）取 則當時不等式（1），（2），（3）同時成立即有 從而有 即證所得結果。 例3、求解： （1）=1由（1）式及兩邊夾法則 =1 。四、先求和再求極限：例4、求極限解: 五、先用放縮法再求極限：例5、求極限 解：記 則又由兩邊夾法則 =六、用施篤茲公式：首先我們介紹并證明施篤茲公式：施篤茲公式（stolz）：設

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