1、課題淺談數列中an與Sn的遞推公式的應用對于任意一個數列，當定義數列的前n項和通常用Sn表示時，記作Sna1a2an，此時通項公式an 而對于不同的題目中的an與Sn的遞推關系，在解題時又應該從哪些方向去靈活應用anSnSn1(n2)去解決不同類型的問題呢？ 我們將從下面三個角度去探索在各類考試中出現的an與Sn相關的問題：歸納起來常見的角度有：角度一：直觀運用已知的Sn，求an；角度二：客觀運用anSnSn1(n2)，求與an，Sn有關的結論；角度三：an與Sn的延伸應用角度一：直觀運用已知的Sn，求an方法：已知Sn求an的三個步驟(此時Sn為關于n的代數式)：(1)先利用a1S1求出a1

2、；(2)用n1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用anSnSn1(n2)便可求出當n2時an的表達式；(3)對n1時的結果進行檢驗，看是否符合n2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n1與n2兩段來寫同時，在部分題目中需要深刻理解“數列的前n項和”的實際意義，對“和的式子”有本質的認識，這樣才能更好的運用Sn求解如：a12a23a3nan2n1，其中a12a23a3nan表示數列nan的前n項和1已知數列an的前n項和Snn22n2，則數列an的通項公式為()Aan2n3 Ban2n3Can Dan【解析】當n2時，anSnSn12n3當n1時，a1S11

3、，不滿足上式【答案】C2(2015河北石家莊一中月考)數列an滿足：a13a25a3(2n1)an(n1) 3n+13(nN*)，則數列的通項公式an 【解析】當n2時，a13a25a3(2n3)an1(n2) 3n3；則用已知等式減去上式得(2n1)an(2n1)3n，得an3n；當n1時，a13，滿足上式；故an3n【答案】an3n3(2015天津一中月考)已知an的前n項和為Sn，且滿足log2(Sn1)n1，則an 【解析】由已知得Sn12n1，則Sn2n11；當n2時，anSnSn12n112n12n；當n1時，a1S13，不滿足上式；故an【答案】an4(2015四川成都樹德期中)

4、已知an是一個公差大于0的等差數列，且滿足a3a545，a2a614(1)求an的通項公式；(2)若數列bn滿足：an1(nN*)，求bn的前n項和【解】(1)設等差數列an的公差為d，則d0， 由a2a614，可得a47 由a3a545，得(7d)(7d)45，解得d2 或d2(舍) ana4(n4)d72(n4)，即an2n1 (2)令cn，則c1c2c3cnan12n 當n2時，c1c2c3cn12(n1) 由得，cn2， 當n1時，c12，滿足上式；則cn2(nN*)，即2，bn2n1， 故數列bn是首項為4，公比為2得等比數列， 數列bn的前n項和Sn2n24角度二：客觀運用anSn

5、Sn1(n2)，求與an，Sn有關的結論此類題目中，已知條件往往是一個關于an與Sn的等式，問題則是求解與an，Sn有關聯的結論那么我們需要通過對所求問題進行客觀分析后，判定最后的結果中是保留an，還是Sn那么，主要從兩個方向利用anSnSn1(n2)：方向一：若所求問題是與an相關的結論，那么用SnSn1an (n2)消去等式中所有Sn與Sn1，保留項數an，在進行整理求解；1(2015廣州潮州月考)數列an的前n項和記為Sn，a11，an12Sn1(n1，nN*)，則數列的通項公式是 【解析】當n2時，an2Sn11，兩式相減得an1an2(SnSn1)，即an1an2an，得an13an

6、；當n1時，a23，則a23a1，滿足上式；故an是首項為1，公比為3得等比數列，an3n1【答案】an3n12數列an的前n項和為Sn，若an14Sn1，a11(1)求數列an的通項公式；(2)設bnnan，求數列bn的前n項和Tn【解】(1)當n2時，an4Sn11，又an14Sn1，an1an4an，即3(n2)，又a24a113，a11，數列an是首項為a11，公比為q3的等比數列，an(3)n1(2)由(1)可得bnn(3)n1，Tn1(3)02(3)13(3)2(n1)(3)n2n(3)n1，3Tn1(3)12(3)2(n2)(3)n2(n1)(3)n1n(3)n，4Tn1(3)1

7、(3)2(3)n1n(3)n，所以，Tn方向二：若所求問題是與Sn相關的結論，那么用anSnSn1(n2)消去等式中所有項數an，保留Sn與Sn1，在進行整理求解1已知數列an的前n項和為Sn且滿足an2SnSn10(n2)，a1(1)求證：是等差數列；(2)求an的表達式【解】(1)證明：anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0因此2(n2)故由等差數列的定義知是以2為首項，2為公差的等差數列(2)由(1)知(n1)d2(n1)22n，即Sn當n2時，an2SnSn1，又a1，不適合上式an2(2015江西名校聯盟調考)已知正項數列an的前n項和為Sn，且a

8、2Snan10(1)求數列Sn的通項公式；(2)求證：2(Sn+11)(提示：)【解】(1)anSnSn1(n2)，由a2Snan10，得(SnSn1)22Sn(SnSn1)10，整理得SS1當n1時，a2S1a110，且a10，解得a11，故由等差數列的定義知S是以1為首項，1為公差的等差數列Sn，則Sn(2)由(1)知2()， 2(1)2()2()2(1) 即2(Sn11) 【總結】此類題目往往伴隨著等差、等比數列的判定，所以需要對數列的判定方法熟練掌握角度三：an與Sn的延伸應用解此類題目中不僅需要深刻理解“數列的前n項和”的實際意義，還需要對an關系式的形式結構很熟練的掌握，這樣才能在

9、題目中對已知等式靈活地變換當然在解決問題的時候仍然需要從求誰的角度出發分析，確定等式的變換方向方向一：關于雙重前n項和此類題目中一般出現“數列an的前n項和為Sn，數列Sn的前n項和為Tn”的條件，在解答時需要確定清楚求的是與an，Sn，Tn中誰相關的問題，確定已知等式的運用方向但一般是求解最底層的an1(2015湖北武漢質檢)設數列an的前n現和為Sn，數列Sn的前n項和為Tn，滿足Tn2Snn2，nN*(1)求a1的值；(2)求數列an的通項公式【解】(1)當n1時，T12S11，且T1S1a1，解得a11，(2)當n2時，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1 S

10、n2Sn12n1 則Sn12Sn2n1 由，得an12an2， an122(an2)，即2(n2)， 易求得，a123，a226，則2，數列an2是首項為3，公比為2的等比數列， an232n1，則an32n12(nN*)2(2015安徽滁州期末聯考)設數列an的前n項和為Sn，數列Sn的前n項和為Tn，且2Tn4Sn(n2n)，nN*(1)證明：數列an1為等比數列；(2)設bn，證明：b1b2bn3【解】(1)當n1時，2T14S12，且T1S1a1，解得a11，當n2時，2T22(a1a1a2)4(a1a2)6，解得a23，當n2時，2Tn14Sn1(n1)2(n1)2Sn2Tn2Tn1

11、4Sn(n2n)4Sn1(n1)2(n1)整理得Sn2Sn1n 則Sn12Snn1 由，得an12an1， an112(an1)，即2(n2)， 顯然2，數列an1是首項為2，公比為2的等比數列，(2)由(1)知，an12n，則bn則b1b2bn，令Tn，則Tn ，由，得Tn1 1則Tn3，即b1b2bn3方向二：已知等式在整理過程中需要因式分解此類問題大多數時候會伴隨“各項均為正數的數列an”這樣的條件，運用在因式分解后對因式進行符號的判定，對因式進行的取舍1(2015山東青島一模)各項均為正數的數列an滿足a4Sn2an1(nN*)，其中Sn為an的前n項和(1)求a1，a2的值；(2)求

12、數列an的通項公式【解】(1)當n1時，T12S11；又T1S1a1，則a12a11，解得a11；(2)當n2時，SnTnTn1(2Snn2)2Sn1(n1)22Sn2Sn12n1， 整理得Sn2Sn12n1 Sn12Sn2n1 由，得an12an2an122(an2)，即2(n2)又T22S24；得a24當n1時，a123，a226，則2，數列an2是以3為首項，2為公比的等比數列則an232n1，所以an32n122已知數列an的各項均為正數，前n項和為Sn，且Sn，nN*(1)求證：數列an是等差數列；(2)設bn，Tnb1b2bn，求Tn【解】(1)由已知得，當n1時，a1S1 (an

13、0)，a11當n2時，由得2anaanaan1 即(anan1)(anan11)0，anan10，anan11(n2)所以數列an是以1為首項，1為公差的等差數列(2)由(1)可得ann，Sn，bnTnb1b2b3bn11方向三：需對已知等式變形后，再求解1(2015江西五校聯考)已知正項數列an中，其前n項和為Sn，且an21(1)求數列an的通項公式；(2)設bn，Tn = b1b2b3bn，求Tn【解】(1)由已知得，4Sn(an1)2當n2時，4Sn1(an11)2，則4Sn4Sn1(an1)2(an11)2，整理得 (an1)2(an11)20，(anan12)(anan1)0又an

14、0，則anan12，當n1時，4S1(a11)2，得a11；故數列an是首項為1，公差為2的等差數列；an2n1(2)由(1)可得bn，Tn2(2015浙江溫州中學月考)設數列an的前n項和為Sn，已知a12，a28，Sn14Sn15Sn(n2)，Tn是數列log2an的前n項和(1)求數列an的通項公式；(2)求Tn【解】(1)當n2時，Sn14Sn15Sn，Sn1Sn4(SnSn1)，即an14an，當n1時，a24a1；故數列an是以2為首項，4為公比的等比數列an24n122n1(2)由(1)可知log2anlog222n12n1， Tnlog2a1log2a2log2a3log2an

15、1352n1n23(2015江西三縣聯考)已知數列an的各項均為正數，記A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)=a3a4an2，其中nN*(1)若a11，a25，且對任意nN*，三個數A(n)，B(n)，C(n)依次組成等差數列，求數列an的通項公式；(2) a11，對任意nN*，三個數A(n)，B(n)，C(n)依次組成公比為q的等比數列，求數列an的前n項和An【解】(1)任意nN*，三個數A(n)，B(n)，C(n)依次組成等差數列，B(n)A(n)C(n)B(n)，則an1a1an2a2，即an2an1a2a14，故數列an是首項為1，公差為4的等差數列；an1(n1)

16、44n3(2)若對任意nN*，三個數A(n)，B(n)，C(n)依次組成公比為q的等比數列，B(n)qA(n)，C(n)qB(n)，則C(n)B(n)qB(n)A(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2qa1， 當n1時，由B(1)qA(1)，可得a2qa1； 則an2qan1a2qa10，又an0，則q，故數列an是以1為首項，q為公比的等比數列An4(2015遼寧沈陽診斷考試)設數列an的前n項和為Sn，a110，an19Sn10(1)求證：lg an是等差數列；(2)設Tn 是數列的前n項和，求Tn；(3)求使Tn(m25m)對所有的nN*恒成立的整數m的取值集合【解】

17、(1)證明：當n2時，an9Sn110，an1an9(SnSn1)，則an110an，即10，當n1時，a29a110100，則10，故數列an是以10為首項，10為公比的等比數列an10n，則lg ann，lg an1lg ann1n1，故數列lg an是首項為1，公差為1的等差數列(2)解：由(1)知3， Tn33(3)Tn3， 當n1時，Tn取最小值依題意有(m25m)，解得1m6， 故整數m的取值集合為0,1,2,3,4,51(2015江蘇揚州外國語中學模擬)已知數列an的前n項和Sn2n3，則數列an的通項公式為 【解析】當n2時，anSnSn12n32n132n1當n1時，a1S1

18、1，不滿足上式【答案】an2(2015遼寧沈陽二中月考)已知數列an滿足a1a2n1，求數列an的通項公式【解】當n2時，a1a2n21由已知等式減去上式，得a2n1a2n21(a21)a2n2，ann(a21)a2n2，當n1時，a1a21，滿足上式；ann(a21)a2n23(2015安徽江淮十校聯考)已知函數f(x)是定義在(0，)上的單調函數，且對任意的正數x，y都有f(xy)= f(x)f(y)，若數列an的前n項和為Sn，且滿足f(Sn2)f(an)= f(3)(nN*)，則an為( )A2n1BnC2n1Dn1【解析】由f(xy)= f(x)f(y)，f(Sn2)f(an)= f

19、(3)，得Sn23an，Sn123an1(n2)，兩式相減得2an3an1；當n1時，S123a1a12，則a11所以數列an是首項為1，公比為的等比數列【答案】ann14(2015遼寧鞍山二中期中)設數列an是等差數列，數列bn的前n項和Sn 滿足Sn(bn1)，且a2b1，a5b2(1)求數列an和bn的通項公式；(2)設cnanbn，Tn為cn的前n項和，求Tn【解】(1)當n2時，Sn1(bn11)，則bnSnSn1(bn1)(bn11)，整理得bn3bn1，當n1時，b1(b11)，解得b13；故數列bn是以3為首項，3為公比的等比數列bn3n，設等差數列an的公差為d，由a2b13

20、，a5b29，則解得d2，a11，an2n1，an2n1，bn3n(2)由(1)知cnanbn(2n1)3n，Tn3332533(2n1)3n，3Tn 32333534(2n3)3n(2n1)3n1，由，得2Tn32(32333n )(2n1)3n132(2n1)3n1(22n)3n16，Tn(n1) 3n135在數列an中，已知a11，an2(an1an2a2a1) (n2，nN*)，則數列的通項公式是 【解析】由已知n2時，an2Sn1 ；當n3時，an12Sn2 整理得3 (n3)，an【答案】an6(2015廣東桂城摸底)已知各項均為正數的數列an的前n項和為Sn，且aan2Sn(1)

21、求a1；(2)求數列an的通項公式；(3)若bn(nN*)，Tnb1b2bn，求證：Tn【解】(1)當n1時，aa12S1，且an0，得a11； (2)當n2時，aan12Sn1 ；且aan2Sn ； 由，得(anan1)(anan11)0， 又an0，則anan11，故數列an是首項為1，公差為1的等差數列；ann(3)證明：由(2)知，bn， 當n1時，b11，不等式成立； 當n2時，2， Tnb1b2bn1121，Tn7(2015大連雙基測試)已知數列an的前n項和Snn22n1(nN*)，則an_【解析】當n2時，anSnSn12n1，當n1時，a1S14211，因此an【答案】8(2

22、014煙臺一模)已知數列an前n項和為Sn，首項為a1，且，an，Sn成等差數列(1)求數列an的通項公式；(2)數列bn滿足bn(log2a2n1)(log2a2n3)，求數列的前n項和【解】(1)，an，Sn成等差數列，2anSn，當n1時，2a1S1，a1，當n2時，Sn2an，Sn12an1，兩式相減得：anSnSn12an2an1，2，所以數列an是首項為，公比為2的等比數列，即an2n12n2(2)bn(log2a2n1)(log2a2n3)(log222n12)(log222n32)(2n1)(2n1)，數列的前n項和Tn9(2014山西四校聯考)已知數列an的前n項和為Sn，S

23、n2ann，則an_【解析】當n2時，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，an12(an11)，數列an1是首項為a112，公比為2的等比數列，an122n12n，an2n1【答案】2n110(2014湖南卷)已知數列an的前n項和Sn，nN*(1)求數列an的通項公式；(2)設bn2an(1)nan，求數列bn的前2n項和【解】(1)當n1時，a1S11；當n2時，anSnSn1n又a11滿足上式，故數列an的通項公式為ann(2)由(1)知，bn2n(1)nn，記數列bn的前2n項和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n，B12342n

24、，則A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn故數列bn的前2n項和T2nAB22n1n211已知數列an是各項均為正數的等比數列，a34，an的前3項和為7(1)求數列an的通項公式；(2)若a1b1a2b2anbn(2n3)2n3，設數列bn的前n項和為Sn，求證：2【解】(1)設數列an的公比為q，由已知得q0，且數列an的通項公式為an2n1(2)【證明】當n1時，a1b11，且a11，解得b11當n2時，anbn(2n3)2n3(2n23)2n13(2n1)2n1an2n1，當n2時，bn2n1b11211滿足bn2n1，數列bn的通項公式為bn2n1(nN*)數列bn是首項為

25、1，公差為2的等差數列Snn2 當n1時，12 當n2時，2212設數列an的前n項和為Sn，a11，an2 (n1) (nN*)(1)求證：數列an為等差數列，并分別寫出an和Sn關于n的表達式；(2)是否存在自然數n，使得S1(n1)22 013？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由【解】(1)由an2(n1)，得Snnan2n(n1) (nN*)當n2時，anSnSn1nan(n1)an14(n1)，即anan14，故數列an是以1為首項，以4為公差的等差數列于是，an4n3，Sn2n2n (nN*)(2)由Snnan2n(n1)，得2n1 (nN*)，又S1(n1)21357(2n1)(n1)2n2(n1)22n1令2n1