1、第27節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量應用舉例一、考點考綱明確目標1、理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。2、了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系。3、掌握數(shù)量積的坐標表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算。4、能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系。5、會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題。6、會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題。二、基礎再現(xiàn)回歸課本1向量數(shù)量積的定義（1）兩個向量的夾角：已知兩個非零向量，如下圖所示，作，則稱為向量與向量的夾角，記作.注意： 兩個向量夾角的范圍是； 當時,垂直，記； 當時，同向；當時，反向。（2）一個向量在另一個向量

2、上的射影：如圖所示， 過作于，則,叫做向量在向量方向上的射影。ABB1注意： 向量在向量方向上的射影是數(shù)量 ； 當為銳角時它為正值 ；當為鈍角時它為負值 ；特別地，當時它等于0 ；當時它等于；當時它等于。（3）向量的數(shù)量積已知兩個向量和，它們的夾角為，則把叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即：=.注意：兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角的余弦值有關：當時，；當時，；當時，.（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)：若是單位向量，則（）；（可以解決有關向量垂直的問題）=；（可以進行數(shù)量積的運算，求向量的模）；（可以求兩向量的夾角，同時也建立了向量與三角的聯(lián)系）對任意兩個向量，有，

3、當且僅當時等號成立（5）向量數(shù)量積的運算律：給定向量和實數(shù)，有：交換律：；=；分配律： 。 注意：數(shù)量積的運算只適用于交換律、加乘分配律和數(shù)乘結合律，但不適合乘法結合律，即：一般地，.2平面向量數(shù)量積的坐標表示：（1）平面向量數(shù)量積的坐標表示：已知兩個非零向量，則即，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和。（2）向量模的坐標表示：設，則兩點間的距離公式是；若，則.（3）兩個向量夾角的余弦公式：設是兩個非零向量，是與的夾角，則有：（4）兩個向量垂直與平行的充要條件：設，則：；。（5）直線的方向向量：把與直線共線的向量稱為直線的方向向量.設直線方程為：，則直線的方向向量為；設直線方程為：，則直

4、線的方向向量為.3向量的應用：（1）平面幾何中的向量問題：向量的運算與幾何圖形的性質(zhì)密切相關，向量的運算可以用圖形簡明地表示，而圖形的性質(zhì)又可以反映到向量的運算上來.（2）向量在物理中的應用： 由于物理學中有很多矢量，因此在其研究過程中若引入向量的基本方法，可以收到較好的效果.（3）與非零向量同向的單位向量：.三、三基檢測知己知彼1已知向量= (3 ,3 ) , =(x, 4) , 若，則x=（ ）A.4 B.4 C.6 D.6答案：B解析： -3x-12=0 即x=-42（04，全國）已知均為單位向量，它們的夾角為，那么等于（ ）.答案：C解析：=3已知向量，若，則= ( ) A、B、C、D

5、、答案：D解析：， 可得：n=34已知向量，滿足，則與的夾角大小是答案：解析：根據(jù)公式5已知向量，滿足，與的夾角為60°，則答案： 解析：考查向量的夾角和向量的模長公式，以及向量三角形法則、余弦定理等知識，如圖，由余弦定理得：四、典例研究提升能力考點一、平面向量的數(shù)量積運算及向量的模例題1已知|a|3，|b|4，a與b的夾角為，求：(1)(3a2b)·(a2b)；(2)|ab|. 解：(1)·b|·|b|·cos3×4×()6 .9，16.(32b)·(2b)38·b43×98×(6)

6、649148 .(2)|b|2·b92×(6)162512 .|b|即時練習：已知（1）求與的夾角；（2）求；（3）若，作，求的面積。解：（1）（2）（3）計算的夾角的正弦，再用面積公式求值.由(1)知規(guī)律總結：1向量的數(shù)量積有兩種計算方法，一是利用公式a·b|a|·|b|cos來計算，二是利用a·bxxyy來計算； 2利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法： (1)|a|aa·a； (2)|a±b|(a±b) a±2a·bb考點二、平面向量之間的夾角問題例二、已知單位

7、向量與的夾角為，且，求：（1）；（2）與的夾角。解：因為是夾角為的單位向量，所以.又易求得 綜上,知 即時練習：（2007廣東文）已知ABC三個頂點的直角坐標分別為A(3，4)、B(0，0)、C(，0) (1)若，求的值；(2)若，求sinA的值解: (1) 由 得 (2) .規(guī)律總結：已知a與b為不共線向量，且a與b的夾角為，則： 當時，； 當時，； 當時，.考點三、平面向量間的平行與垂直及其應用例三：已知向量（）.向量，且.() 求向量；() 若,，求.解：（），即又由聯(lián)立方程解得， （）即，又，即時練習：求過點，且平行于向量的直線方程。 解：設點是所求直線上的任意一點，則., ,即 .規(guī)

8、律總結：1.證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件： ababxyxy0(b0).2.證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：aba·b0x1x2y1y20.五、想一想 議一議 改一改（易錯、易漏題的改正）在中,則的值為 ( )A 20 B C D 解：.=。即答案：A想一想：上面的做法對不對？如果不對，請寫出正確的做法。上面的做法是錯誤的，正確答案如下：解: 向量間的夾角是共始點由題意可知,故=.答案: B六、高考真題開拓視野1（2009浙江卷文）已知向量，若向量滿足，則（ ）A B C D答案：解析：不妨設，則，對于，則有；又，則有，則有2（2010遼寧文數(shù)

9、）（8）平面上三點不共線，設,則的面積等于（ ）（A） （B）（C） （D）答案：C.解析：3（2009遼寧卷）平面向量a與b的夾角為， 則（ ） （A） (B) (C) 4 (D)12答案：B解析：由已知|a|2,|a2b|2a24a·b4b244×2×1×cos60°412 七、強化訓練當堂鞏固1若向量，則實數(shù)的值為（ ）（A） （B）（C）2 （D）6答案：D解析：所以m =62若非零向量a，b滿足|，則a與b的夾角為（ ）A. 300 B.600C. 1200 D. 1500答案：C解析：可得：3已知向量a = (2,1)， a

10、3;b = 10，a+ b =，則b =（） （A） （B） （C）5 （D）25答案：C解析：由知（a+b）2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 選C。4已知向量答案：解析：， 即5已知向量和向量的夾角為，則向量和向量的數(shù)量積=。答案：3解析：考查數(shù)量積的運算。 6已知平面向量=61. （1）求的大小； （2）求ABC的面積.解：（1）原式展開得： （2）八、課后練習題組一平面向量的數(shù)量積運算及向量的模1（2010安徽文數(shù)）設向量,則下列結論中正確的是（ ）(A) (B)(C) (D)與垂直答案：.D解析：，所以與垂直.2（2010天津文數(shù)）如圖，在ABC中，則=（）（A） （B） （

11、C） （D）答案：D解析： 3設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，則（）（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1答案：C解析：由16，得|BC|44而24（2010江西）已知向量，滿足，與的夾角為60°，則答案： 解析：考查向量的夾角和向量的模長公式，以及向量三角形法則、余弦定理等知識，如圖，由余弦定理得：5設向量，其中求：（1）若，求的值；（2）求面積的最大值解：依題意得，所以，所以因為，所以（2）由，得所以，所以當時，的面積取得最大值題組二平面向量之間的夾角問題6若且,則向量與的夾角為（ ）A. B. C. D. 答案：C解析：且 7已知，則向量與向量的夾角是（ ）ABCD答案：C解析：因為由條件得8已知求：（1）求與的夾角；（2）求；（3）若，作，求的面積解：（1）（2）（3）計算的夾角的正弦，再用面積公式求值.由(1)知題組三平面向量間的平行與垂直及其應用9.已知，向量與垂直，則實數(shù)的值為（ ）（A） （B） （C） （D）答案：A解析：向量（31，2），（1,2），因為兩個向量垂直，故有（31，2）×（1