1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 學(xué) 年 論 文 題 目： 一致收斂判別法總結(jié) 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生姓名： 張學(xué)玉 學(xué) 號： 4 指導(dǎo)教師： 陶菊春 專心-專注-專業(yè)一致收斂判別法總結(jié) 學(xué)生姓名：張學(xué)玉 指導(dǎo)教師：陶菊春摘要： 函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的證明是數(shù)學(xué)分析中的難點，為了開闊思路，更好的理解和掌握函數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法，本文對函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾種判別法進行了分析、歸納、總結(jié)。首先對用定義判斷函數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法進行了研究,介紹了函數(shù)項級數(shù)一致收斂的充要條件,近而提供了證明函數(shù)項級數(shù)一致收斂的一般方法。同時介紹了幾個較為方便適用的關(guān)于函數(shù)序列一致收斂

2、的判別法法。并通過例題的討論說明這些判別法的可行性及特點。Abstract：Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysis of the difficulties, in order to broaden their thinking, to better understand and master the functions Seies Convergence approach, this paper uniformly convergent series of functions of several disc

3、riminant method were analyzed, summarized, summary. First, determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied, introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions, while providing nearly proved uniformly convergent series

4、 of functions of the general method. Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act. And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics.關(guān)鍵詞： 函數(shù)項級數(shù)；函數(shù)序列；一致收斂；判別法Keywords: se

5、ries of functions; function sequence; uniform convergence; Criterion引言： 函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的證明是初學(xué)者的一個難點，教材中給出了用定義法、定理及判別法來證明函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性。初學(xué)者需用靈活的思維以便在使用時選出正確又快捷的證明方法和技巧。為了更好的培養(yǎng)我們這方面的能力，總結(jié)出了函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的若干證明方法。一、定義 設(shè)是函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列.若在數(shù)集上一致收斂于函數(shù)，則稱函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂于函數(shù)，或稱函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂. 定理：若對，>0使得,并且當時有.則當時一致收斂于.例1：若在上可積，

6、且與在上都可積 .設(shè)，則在上一致收斂于. 證明： = = 所以時，一致收斂于.二、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西收斂原理 函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂的充分必要條件是對于任意給定的>0，存在正整數(shù)，使<. 對一切正整數(shù)m>n>N與一切x成立.證明：（必要性） 設(shè)在上一致收斂.記和函數(shù)為，則對任意給定的>0， 存在正整數(shù).使得對一切n>N 與一切 成立 < 于是對一切m>n>N與一切x，成立 = = < （充分性） 設(shè)對任意給定的>0，存在正整數(shù)，使得對一切m>n>N與一切 成立 = < 固定,則函數(shù)項級數(shù)滿足可惜收斂原理，

7、因而收斂。 設(shè) 在<中，固定n. 令m>，則得到 <對一切成立. 因而在上一致收斂于可以相應(yīng)的得出函數(shù)序列一致收斂的柯西收斂原理： 函數(shù)序列在上一致收斂對任給的正數(shù)，總存在正數(shù)N，使得當mnN時，對一切,都有例2： 若在區(qū)間上，對任何正整數(shù)n, . 證明：當在上一致收斂時，級數(shù)在上也一致收斂. 證明：因為在上一致收斂. 故對任給的>0，總存在N0,使得當nN時，對任意 及任意，有 從而由 得 + 所以，由柯西準則知，級數(shù)在上一致收斂.三、設(shè)函數(shù)序列在集合上點態(tài)收斂于，定義與的距離為 =則在上一致收斂于的充分必要條件是: =0.證明： 設(shè)在上一致收斂于，則對任意給定的0，

8、存在, 當n時， < 對一切成立. 于是對n， <， 這就說明 =0. 反過來，若 =0 則對任意給定的0，存在，當 n時， < ， 此式表明 <. 對一切 成立. 所以 在上一致收斂于 .例3：設(shè)=，則在上收斂于極限函數(shù). 證明：由于 = 等號成立當且僅當 .可知 = 因此 在上一致收斂于.例4:證級數(shù)在上不一致收斂但在上內(nèi)閉一致收斂. 證明：=， 知道級數(shù) 在不一致收斂. 對任意 （0<<1）， = 可得 級數(shù)在上內(nèi)閉一致收斂.四、魏爾斯特拉斯判別法： 設(shè)為一個函數(shù)項級數(shù)，若存在一個收斂的正項級數(shù)，且，當n，時，有. 則函數(shù)項級數(shù)一致收斂.證明: 正項級

9、數(shù)收斂 對任意的0 存在，當n時，對任意的有又 故 對任意的，有 函數(shù)項級數(shù)一致收斂例5： 函數(shù)項級數(shù)（a1）在0，+）上一致收斂. 證明 ： 記 =， 則=. 于是容易知道在外達到最大值，即，0，+）. 由于a1，正項級數(shù)收斂. 由魏爾斯特拉斯判別法 （a1）在0，+）上一致收斂.五、阿貝爾判別法： 設(shè)（）在區(qū)間上一致收斂； （）對于每一個，是單調(diào)的； （）在上一致有界，即對一切和正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得 ， 則 級數(shù)在上一致收斂. 證明： 由（），任給>0，存在某正數(shù)，使得當>及任何正整數(shù)，對一切，有 又由（），（）及阿貝爾引理 得到 .于是根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則，得

10、級數(shù)在上一致收斂.例6：設(shè)收斂，則在上一致收斂. 證明：顯然關(guān)于單調(diào)， 且 ，.對一切成立； 是數(shù)項級數(shù)，它的收斂性就意味著關(guān)于的一致收斂性. 由 阿貝爾判別法，得到 在上一致收斂.六、狄利克雷判別法： 設(shè) （）的部分和函數(shù)列 = 在上一致有界； （）對于每一個，是單調(diào)的； （）在上一致收斂于0 ， 則 級數(shù)在上一致收斂. 證明：由（），存在正數(shù)，對一切，有.因此當為任何正整數(shù)時， 對任何一個 ，再由（）及阿貝爾引理，得到 再由（），對任給的>0，存在正數(shù)，當>時，對一切，有<,所以 <于是由一致收斂性的柯西準則，得級數(shù)在上一致收斂.例7：設(shè)單調(diào)收斂于0，則與在上內(nèi)閉一

11、致收斂.證明： 數(shù)列收斂于0，意味著關(guān)于 一致收斂于0. 另外，對任意 當 時， =； =； 由狄利克雷判別法，得到 與在上一致收斂， 故 與在上內(nèi)閉一致收斂.七、設(shè)函數(shù)序列在閉區(qū)間上點態(tài)收斂于，如果 （1） 在上連續(xù)； （2）在上連續(xù)； （3）關(guān)于單調(diào)，即對任意固定的，是單調(diào)數(shù)列.則 在上一致收斂于.證明： 用反證法。 設(shè)在上不一致收斂于，則 , ，： . 依次取： ， 1， ： ， ，： ， ，： ， 于是得到數(shù)列，. 由威爾斯特拉斯定理知，數(shù)列必有收斂子列.為了敘述方便，不妨設(shè) ，. 由于， 所以對0，存在,成立 . 由條件（1）與（2）， 在連續(xù)， 由于 ，存在正整數(shù)， 使 對一切成立

12、. 現(xiàn)利用條件（3），即關(guān)于的單調(diào)性，則當與時， . 由于 ，當充分大時，總能滿足與，于是成立 ， 這就與 產(chǎn)生矛盾. 從而得 在上一致收斂于八、設(shè)函數(shù)項級數(shù)在閉區(qū)間上點態(tài)收斂于，如果 （1） 在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在閉區(qū)間上連續(xù)； （3）對任意固定的，是正項級數(shù)或負向技術(shù). 則在上一致收斂于.例8：設(shè)，在區(qū)間上連續(xù)，且對一切成立.證明；若在上點態(tài)收斂于一個連續(xù)函數(shù)，則也必然收斂于一個連續(xù)函數(shù). 證明： 設(shè)任意閉區(qū)間 . 由于0 在連續(xù)，和函數(shù) 在上連續(xù)， 則由迪尼定理可知在一致收斂. 于是 由柯西收斂原理，可知0， 成立 此即說明 在一致收斂. 因此在上連續(xù). 由于 的任意性，即得到在上連續(xù).參考文獻 1、華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析M.北京：高等教育出版社，2010 2、復(fù)旦大學(xué).數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社，2004 3、 裴禮文.