1、 地震作用地震作用 結構的地震反應結構的地震反應 結構、構件的地震作用效應結構、構件的地震作用效應 地震作用地震作用和和結構抗震驗算結構抗震驗算是建筑抗震設計的重要環是建筑抗震設計的重要環節，是確定所設計的結構滿足最低抗震設防安全要求的節，是確定所設計的結構滿足最低抗震設防安全要求的關鍵步驟。關鍵步驟。 由于地震作用的復雜性和地震作用發生的強度的不由于地震作用的復雜性和地震作用發生的強度的不確定性，以及結構和體形的差異等，地震作用的計算方確定性，以及結構和體形的差異等，地震作用的計算方法是不同的：法是不同的：(1) (1) 底部剪力法底部剪力法(2(2）振型分解反應譜法）振型分解反應譜法（3

2、3）時程分析法）時程分析法（4 4）靜力彈塑性方法）靜力彈塑性方法地震作用的概念和特點地震作用的概念和特點 地震作用：地震作用： 地震釋放的能量，以地震波的形式向四周擴散，地震地震釋放的能量，以地震波的形式向四周擴散，地震波到達地面后引起地面運動，使地面原來處于靜止的建筑波到達地面后引起地面運動，使地面原來處于靜止的建筑物受到動力作用而產生強烈振動。在振動過程中作用在結物受到動力作用而產生強烈振動。在振動過程中作用在結構上的慣性力就是地震作用。構上的慣性力就是地震作用。( (以前稱為地震荷載以前稱為地震荷載) ) （1 1）不是直接作用在結構上，屬于間接作用；）不是直接作用在結構上，屬于間接作

3、用； （2 2）不僅取決于地震烈度、設計地震分組和場地類別）不僅取決于地震烈度、設計地震分組和場地類別等地震特性，還與結構的動力特性（自振周期、阻尼等）等地震特性，還與結構的動力特性（自振周期、阻尼等）密切相關。密切相關。特特 點？點？結構抗震理論的發展過程結構抗震理論的發展過程 靜力理論階段靜力理論階段 反應譜理論階段反應譜理論階段 動力理論階段動力理論階段 基于性態的抗震設計理論基于性態的抗震設計理論 -Performance-based seismic design二、與各類型結構相應的地震作用分析方法二、與各類型結構相應的地震作用分析方法不超過不超過40m的規則結構：底部剪力法的規則結

4、構：底部剪力法一般的規則結構：兩個主軸的振型分解反應譜法一般的規則結構：兩個主軸的振型分解反應譜法 質量和剛度分布明顯不對稱結構：考慮扭轉或雙向質量和剛度分布明顯不對稱結構：考慮扭轉或雙向地震作用的振型分解反應譜法地震作用的振型分解反應譜法 8、9度時的大跨、長懸臂結構和度時的大跨、長懸臂結構和9度的高層建筑：考度的高層建筑：考慮豎向地震作用慮豎向地震作用 特別不規則、甲類和超過規定范圍的高層建筑：一特別不規則、甲類和超過規定范圍的高層建筑：一維或二維時程分析法的補充計算維或二維時程分析法的補充計算3.2 3.2 單自由度彈性體系的地震反應分析單自由度彈性體系的地震反應分析一、地震作用下單自由

5、度體系的運動方程一、地震作用下單自由度體系的運動方程質點位移質點位移)()()(txtxtXg質點加速度質點加速度)()()(txtxtXg 慣性力慣性力)()(gxmxmtI 彈性恢復力彈性恢復力kxtS)(阻尼力阻尼力xctR)(gxmkxxcxm 運動方程運動方程方程建立方程建立達朗貝爾原理達朗貝爾原理二、單自由度體系動力學分析二、單自由度體系動力學分析1.1.單自由度體系自由振動單自由度體系自由振動（1 1）無阻尼時）無阻尼時0kxxm 02xx mk2)sincos()(00txtxtxmcmk2,20kxxcxm 022xxx )sincos()(dd000txxtxetxdt1時

6、時（2 2）有阻尼時）有阻尼時)(tP)(tx)(tPttt 將荷載看成是連續作用的一系列沖量，求將荷載看成是連續作用的一系列沖量，求出每個沖量引起的位移后將這些位移相加即出每個沖量引起的位移后將這些位移相加即為動荷載引起的位移。為動荷載引起的位移。2.2.單自由度體系受迫振動單自由度體系受迫振動-沖量法沖量法m)(tP)(tx0 xmP（1 1）瞬時沖量的反應瞬時沖量的反應)(tPttPa.t=0 a.t=0 時作用瞬時沖量時作用瞬時沖量mImPx/020)(21mPx0txtxtxsincos)(00tmPsinb.b. 時刻作用瞬時沖量時刻作用瞬時沖量)(tPttP)(sin)(tmPt

7、x動量定理動量定理(2).(2).動荷載的位移反應動荷載的位移反應m)(tP)(ty)(tPtt)(PdtmPtyt)(sin)()(0-杜哈美（杜哈美（Duhamel）積分）積分d )(sin)()(0)(tDtDtemPty計阻尼時計阻尼時若若t=0 時體系有初位移、初速度時體系有初位移、初速度d )(sin)()sin()(0)(tDtDDttemPtAetyb.b. 時刻作用瞬時沖量時刻作用瞬時沖量)(tPttP)(sin)(tmPtx三、單自由度體系地震作用分析三、單自由度體系地震作用分析gxmkxxcxm 運動方程運動方程mtFxxxe/ )(22 或或mcmk2,2其中其中gex

8、mtF )(ttteFmtx0d)(Edd)(sin)(1)(由由Duhamel積分，可得積分，可得零初始條件下零初始條件下質點質點相對相對于地面的位移為于地面的位移為tttex0d)(gdd)(sin)(1 max0)(gmaxd)(sin)(1)(ttdtextxS 最大位最大位移反應移反應質點質點相對相對于地面的速度為于地面的速度為tdtgdttdtextexdtdxtx0)(0d)(g)(sin)(d)(cos)()( 質點的質點的絕對絕對加速度為加速度為xxxxg22 tdtgdttdtextex0)(220d)(g)(sin)(2d)(cos)(2 tttex0d)(gd2d)(s

9、in)( 求求質點速度和加速度反應的最大值質點速度和加速度反應的最大值在求最大值的過程中，作如下的在求最大值的過程中，作如下的三點簡化三點簡化（1）由于阻尼比）由于阻尼比 很小，因此可以忽略上式中很小，因此可以忽略上式中 和和 2項；項；（2） d與與 很相近，所以可以取很相近，所以可以取 d ；（3）用）用sin (t- )取代取代cos (t- )，作這樣的處理不影響上述，作這樣的處理不影響上述兩式的最大值，只是相位上相乘兩式的最大值，只是相位上相乘 /2。質點相對于地面的最大速度反應為質點相對于地面的最大速度反應為max0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS 質點相對于地面

10、的最大加速度反應為質點相對于地面的最大加速度反應為max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 最大相對速度最大相對速度最大加速度最大加速度dvaSSS2max0)(gmaxd)(sin)(1)(ttdtextxS max0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 最大相對位移最大相對位移最大反應之間的關系最大反應之間的關系 求得了單自由度體系在地震動作用下的最大反應以后，下一步將引出地震工程領域內的核心概念“反應譜”？地震反應譜(response spectrum)T1TiSyT反應譜？反應譜？ 單自

11、由度體系在給定地震動作用下某單自由度體系在給定地震動作用下某種反應量的最大值與體系自振周期之間的種反應量的最大值與體系自振周期之間的關系曲線關系曲線max0)(gd)(sin)(1ttdtexS 相對位移反應譜相對位移反應譜t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震記錄)(ms2)(s地震動簡介地震動簡介相對速度反應譜相對速度反應譜t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震記錄)(ms2)(smax0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS 絕對加速度反應譜絕對加速度反應譜t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震記錄)(ms2)

12、(smax0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 標準化加速度反應譜max)(txSga -動力系數（或標準化加速度反應譜）動力系數（或標準化加速度反應譜）阻尼比阻尼比 阻尼比越大，反應越小，曲線越平滑阻尼比越大，反應越小，曲線越平滑結構周期結構周期 對于加速度反應譜，當結構周期小于某個值時幅值對于加速度反應譜，當結構周期小于某個值時幅值隨周期急劇增大，大于某個值時，快速下降。隨周期急劇增大，大于某個值時，快速下降。加速度反應譜的性質（結構方面）加速度反應譜的性質（結構方面）震級震級 震級越大，長周期成分越豐富，反應譜峰點周期越后移震級越大，長周期成分越豐富，反應譜峰點周期越

13、后移震中距震中距 震中距越大，長周期成分越豐富，反應譜峰點周期越后移震中距越大，長周期成分越豐富，反應譜峰點周期越后移場地場地 場地越軟，反應譜峰點周期越后移場地越軟，反應譜峰點周期越后移加速度反應譜的性質（地震動方面）加速度反應譜的性質（地震動方面）1. 由于地震動是一個非常復雜的隨機過程，不能用確由于地震動是一個非常復雜的隨機過程，不能用確定性的函數表示，因此在計算反應譜時，通常對運定性的函數表示，因此在計算反應譜時，通常對運動方程直接積分得到！動方程直接積分得到！2. 目前應用的抗震設計方法是目前應用的抗震設計方法是基于力的抗震設計基于力的抗震設計，加，加速度反應譜是基于力的抗震設計的基

14、礎，因此后面速度反應譜是基于力的抗震設計的基礎，因此后面將主要介紹加速度反應譜。將主要介紹加速度反應譜。3. 在代表未來抗震設計理論發展方向的抗震理論在代表未來抗震設計理論發展方向的抗震理論基于性態的抗震設計理論（基于性態的抗震設計理論（Performance-based seismic design）中，速度和位移反應譜將起到至關中，速度和位移反應譜將起到至關重要的作用！重要的作用！幾個說明幾個說明3.3 3.3 單自由度彈性體系的水平地震作用單自由度彈性體系的水平地震作用一、單自由度體系的水平地震作用一、單自由度體系的水平地震作用結構在地震作用下作用力的最大地震作用為結構在地震作用下作用力

15、的最大地震作用為agmStxtxmtFFmaxmax)()()( GkGgtxtxSmgggamaxmax)()( G-集中于質點處的重力荷載代表值；集中于質點處的重力荷載代表值；g-重力加速度重力加速度max)(txSga -動力系數動力系數gtxkgmax)( -地震系數地震系數k-地震影響系數地震影響系數地震系數地震系數k 地震系數與地震烈度有關，與結構的性能無關地震系數與地震烈度有關，與結構的性能無關。如果如果已知地震時在某處的地震動記錄的峰值加速度；已知地震時在某處的地震動記錄的峰值加速度；如果同時根據該處的地表破壞現象、建筑的損壞程如果同時根據該處的地表破壞現象、建筑的損壞程度等，

16、按地震烈度評定該處的宏觀烈度度等，按地震烈度評定該處的宏觀烈度I，就可提供，就可提供它們之間的一個對應關系，就可以確定出它們之間的一個對應關系，就可以確定出Ik的對應的對應關系（見下表），統計分析研究表明，關系（見下表），統計分析研究表明，烈度每增加烈度每增加一度，地震系數一度，地震系數k的值約增加一倍的值約增加一倍。gtxkgmax)( -地震系數地震系數設防烈度I6789地震系數k0.050.10（0.15） 0.20（0.30）0.40放大系數放大系數 與周期的曲線關系與周期的曲線關系 T，與建筑場地類別、震級、與建筑場地類別、震級、震中距等因素密切相關，通過大量的分析計算，我國抗震規震

17、中距等因素密切相關，通過大量的分析計算，我國抗震規范中將最大動力放大系數范中將最大動力放大系數 max2.25kk25. 2maxmax 水平地震影響系數水平地震影響系數 是地震系數是地震系數k k與動力系數與動力系數 的乘積的乘積，當基本烈度確定后，地震系數當基本烈度確定后，地震系數k k為常數。為常數。 僅隨僅隨 值而變化。值而變化。所以，水平地震影響系數最大值所以，水平地震影響系數最大值 抗震規范中是以水平地震影響系數作為抗震設計依抗震規范中是以水平地震影響系數作為抗震設計依據的，其數值應根據烈度、場地類別、設計地震分組以據的，其數值應根據烈度、場地類別、設計地震分組以及結構自振周期和阻

18、尼比確定。及結構自振周期和阻尼比確定。放大系數放大系數 標準反應譜標準反應譜地震影響系數地震影響系數 二、二、抗震設計反應譜抗震設計反應譜)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT 根據同一類場地上所得到的地面運動加速度記錄分別計根據同一類場地上所得到的地面運動加速度記錄分別計算出它的反應譜曲線，然后將這些譜曲線進行統計分析，求算出它的反應譜曲線，然后將這些譜曲線進行統計分析，求出其中最有代表性的出其中最有代表性的平均反應譜曲線平均反應譜曲線然后然后結合經驗判斷結合經驗判斷確定，確定，通常稱這樣的譜曲線為抗震設計反應譜?。?/p>

19、討論）通常稱這樣的譜曲線為抗震設計反應譜?。ㄓ懻摚?-地震影響系數；地震影響系數；max-地震影響系數最地震影響系數最 大值；大值；地震影響系數最大值（阻尼比為地震影響系數最大值（阻尼比為0.050.05）1.401.400.90(1.20)0.90(1.20)0.50(0.72)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.320.16(0.24)0.16(0.24)0.08(0.12)0.08(0.12)0.040.04多遇地震多遇地震 9 9 8 8 7 7 6 6地震影響地震影響烈度烈度括號數字分別對應于設計基本加速度括號數字分別對應于設計基本加速度0.15g和和0.30g地區的地

20、震影響系數地區的地震影響系數T-結構周期結構周期)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT gT-特征周期；特征周期；)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT 地震特征周期分組的特征周期值（地震特征周期分組的特征周期值（s s）0.90 0.65 0.450.35第三組第三組0.75 0.55 0.400.30第二組第二組0.65 0.45 0.35 0.25第一組第一組 場地類別場地類別-曲線下降段的衰減指數；曲線下降段的衰減指數；1-直線下降段的

21、斜率調整直線下降段的斜率調整系數；系數；2-阻尼調整系數，小于阻尼調整系數，小于 0.55時，應取時，應取0.55。55 . 005. 09 . 08/ )05. 0(02. 017 . 106. 005. 012解：解：（1 1）求結構體系的自振周期）求結構體系的自振周期kN/m249601248021222hiKct 4 .71s/m8 . 9/kN700/2gGms336. 024960/4 .712/2KmT（2 2）求水平地震影響系數）求水平地震影響系數查表確定查表確定max16. 0max地震影響系數最大值（阻尼比為地震影響系數最大值（阻尼比為0.050.05）1.400.90(1

22、.20)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影響地震影響烈度烈度例：例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質量集中于屋單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質量集中于屋蓋處。已知設防烈度為蓋處。已知設防烈度為8度，設計地震分組為二組，度，設計地震分組為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的重力荷載代表值G=700kN，框架柱線剛，框架柱線剛度度 阻尼比為阻尼比為0.05。試求該結構多遇地。試求該結構多遇地震時的水平地震作用。震時的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicch=5mh=5

23、m查表確定查表確定max16. 0max解：解：例例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質量集中于屋：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質量集中于屋蓋處。已知設防烈度為蓋處。已知設防烈度為8 8度，設計地震分組為二組，度，設計地震分組為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的重力荷載代表值G=700kNG=700kN，框架柱線剛，框架柱線剛度度 , ,阻尼比為阻尼比為0.050.05。試求該結構多。試求該結構多遇地震時的水平地震作用遇地震時的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicc（1 1）求結構體系的自振周期）求結構體系的自振周期kN/m249601248021222hi

24、Kct 4 .71s/m8 . 9/kN700/2gGms336. 024960/4 .712/2KmT（2 2）求水平地震影響系數）求水平地震影響系數h=5mh=5m查表確定查表確定gT3 . 0gT地震特征周期分組的特征周期值（地震特征周期分組的特征周期值（s s）0.90 0.65 0.450.35第三組第三組0.75 0.55 0.400.30第二組第二組0.65 0.45 0.35 0.25第一組第一組 場地類別場地類別解：解：例：例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質量集中于屋單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質量集中于屋蓋處。已知設防烈度為蓋處。已知設防烈度為8度，設計地震分組為二

25、組，度，設計地震分組為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的重力荷載代表值G=700kN，框架柱線剛，框架柱線剛度度 ,阻尼比為阻尼比為0.05。試求該結構多遇地震時的。試求該結構多遇地震時的水平地震作用。水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicc（1 1）求結構體系的自振周期）求結構體系的自振周期kN/m24960Kt 4 .71ms336. 0T（2 2）求水平地震影響系數）求水平地震影響系數16. 0maxh=5mh=5m3 . 0gTggTTT5)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT m

26、ax2)(TTg9 . 055 . 005. 09 . 017 . 106. 005. 012144. 016. 0)336. 0/3 . 0(9 . 0（3 3）計算結構水平地震作用）計算結構水平地震作用kN8 .100700144.0GF三三、重力荷載代表值的確定、重力荷載代表值的確定 結構的重力荷載代表值等于結構和構配件自重標準結構的重力荷載代表值等于結構和構配件自重標準值值G Gk k加上各可變荷載組合值。加上各可變荷載組合值。niikQikQGG1ikQ-第第i i個可變荷載標準值個可變荷載標準值；Qi-第第i i個可變荷載的組合值系數個可變荷載的組合值系數； 不考慮不考慮 軟鉤吊車

27、軟鉤吊車 0.3 硬鉤吊車硬鉤吊車 0.5 其它民用建筑其它民用建筑 0.8 藏書庫、檔案庫藏書庫、檔案庫 1.0按實際情況考慮的樓面活荷載按實際情況考慮的樓面活荷載 不考慮不考慮 屋面活荷載屋面活荷載 0.5屋面積灰荷載屋面積灰荷載 0.5 雪荷載雪荷載組合值系數組合值系數可變荷載種類可變荷載種類按等效均布荷載考慮按等效均布荷載考慮的樓面活荷載的樓面活荷載吊車懸吊物重力吊車懸吊物重力組合值系數組合值系數3.4 3.4 多自由度彈性體系的地震反應分析多自由度彈性體系的地震反應分析 振型分解反應譜法振型分解反應譜法ii+1m1m2mimn集中質量法集中質量法：結構重力荷載、樓面荷載集中于樓面，并

28、：結構重力荷載、樓面荷載集中于樓面，并假設這些點質點由無重的彈性直桿支撐于地面。假設這些點質點由無重的彈性直桿支撐于地面。一一. .多自由度彈性體系動力分析回顧多自由度彈性體系動力分析回顧1.1.自由振動分析自由振動分析 0ykym 運動方程運動方程11212111ymykyk 22222121ymykyk 設方程的特解為設方程的特解為)sin()sin(2211tXytXy0121212111XmXkXk0222222121XmXkXk1)(1ty2)(2ty00)00(2122122211211XXmmkkkk 0)(2Xmk 02mk-頻率方程頻率方程-振型方程振型方程解解: :例例.

29、.求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型. . 已知已知: :.;2121mmmkkk0222221122111mkkkmkm12k1EI1EI1km20121212111XmXkXk0222222121XmXkXkkkkk22111kkk2112kk220222mkkkmk0)(2(222kmkmkmk /618. 01mk /618. 12618. 01;618. 1122122111XXXX 618. 111X 618. 012X1 11.6181.6181 10.6180.618 1X 2X按振型振動時的運動規律按振型振動時的運動規律m1)(1tym2)(2ty)sin()()s

30、in()(2211iiiiiitXtytXty按按 i 振型振動時，質點的位移為振型振動時，質點的位移為質點的加速度為質點的加速度為)sin()()sin()(222211iiiiiiiitXtytXty 質點上的慣性力為質點上的慣性力為)sin()()sin()(222222211111iiiiiiiitXmymtItXmymtI 質點上的慣性力與位移同頻同步。質點上的慣性力與位移同頻同步。11X21X211iiXm222iiXm 振型可看成是將按振型振動時的慣性力幅值作為靜荷振型可看成是將按振型振動時的慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移。載所引起的靜位移。2.振型的正交性振型的正交性i振型

31、振型NiiiiXXXX21i振型上的慣性力振型上的慣性力NiiiNiNiiNiiiiXXXmmmXmXmXm212122222121 iiXm21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXj振型振型NjjjjXXXX21i振型上的慣性力在振型上的慣性力在j振型上作的虛功振型上作的虛功jiijiiijXXmXXmW22221121iTjiXmX2iiXm121iiXm222NiiNXm2i振型振型j振型振型j振型上的慣性力振型上的慣性力jjNiiNiiiiXmXmXmXm222221212.振型的正交性振型的正交性i振型上的慣性力在振型上的慣性力在j振型上作的虛功振型上作的虛功i

32、TjiijXmXW21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXi振型振型j振型振型j振型上的慣性力在振型上的慣性力在i振型上作的虛功振型上作的虛功jTijjiXmXW2iTjjXmX2jjXm121jjXm222NjjNXm2ijjiWW由虛功互等定理由虛功互等定理0)(22iTjijXmX0iTjXmX 在任一線性變形體系中，第一狀態外力在第二狀態在任一線性變形體系中，第一狀態外力在第二狀態位移上所作的功等于第二狀態外力在第一狀態位移上所作位移上所作的功等于第二狀態外力在第一狀態位移上所作的功！的功！振型對剛度的正交性振型對剛度的正交性: iiiXmXk2 iTjiiTjX

33、mXXkX2 0iTjXkX振型正交性的應用振型正交性的應用1.1.檢驗求解出的振型的正確性。檢驗求解出的振型的正確性。例例: :試驗證振型的正確性試驗證振型的正確性mmm22.2.對耦聯運動微分方程組作解對耦聯運動微分方程組作解 耦運算等等耦運算等等. . 1897. 0;123. 221XXmlEImEIl1y2y 31748718718712lEIk mmmXmXT00031. 01897. 0200123. 221 )/(000154. 01897. 07/487/187/187/12123. 2321lEIXkXT三三. .振型分解法振型分解法( (不計阻尼不計阻尼) )運動方程運動

34、方程 )()()(tPtyktym 1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN設設NiiitDXty1)()(),2, 1(Nj )() )() )(11tPtDXktDXmNiiiNiii )() )() )(11tPXtDXkXtDXmXTjNiiiTjNiiiTj )()()(tPXtDXkXtDXmXTjjjTjjjTj )()()(*tPtDKtDMjjjjj 代入運動方程，得代入運動方程，得方程兩端左乘方程兩端左乘TjX)(tDj*jM)(*tPj*jK折算體系折算體系*2/jjjMK),2, 1(Nj)()()(*tPtDKtDMjjjjj jTjj

35、XmXM*-j振型廣義質量振型廣義質量-j振型廣義荷載振型廣義荷載 jTjjXkXK* )(*tPXPTjj-j振型廣義剛度振型廣義剛度*)()()(jjjjjjMtPtDMKtD *2)()()(jjjjjMtPtDtD 相當于一個折算的單自由度體系相當于一個折算的單自由度體系計算步驟計算步驟: :2.2.求廣義質量、廣義荷載求廣義質量、廣義荷載; ;3.3.求廣義坐標求廣義坐標; ;4.4.按下式求位移：按下式求位移：NjijjtDXty)()(1.1.求振型、頻率：求振型、頻率：njXjj,2, 1,jTjjXmXM* )(*tPXPTjj),2, 1(nj*2)()()(jjjjjMt

36、PtDtD ),2, 1(nj)(tDj*jM)(*tPj*jK折算體系折算體系例一例一. .求圖示體系的穩態振幅求圖示體系的穩態振幅. .mmm21解解: :mXmXMT211*1 tPtPtPXtPTsin0sin11)()(1*11m2m)(1tytPsin)(2tyEIEI3/415.3mlEI3231045.22692. 5mlEImlEI 111X 112XmXmXMT222*2 tPtPXtPTsin)()(2*2*1*11211/)()()(MtPtDtD )(1tD*1MtPsin*1KtEIPlsin10411.232*2*22222/)()()(MtPtDtD tEIPl

37、tDsin101054.0)(322tDtDstsin)(1,11tmPsin/11222211 2211)(DXDXty例二例二. .求圖示體系在突加荷載作用下的位移反應求圖示體系在突加荷載作用下的位移反應. .解解: :12k1EI1EI1k2kNP8已知已知: :;102;1033231kNkkNk;1020021kgmmm加荷前靜止。加荷前靜止。ss/125.24;/1899. 921 211X 2/ 112XkgXmXMT5100011*1kgXmXMT1275022*2 kNtPXtPT168021)()(1*1 kNtPXtPT4)()(2*2tdtMPtD011*1*11)si

38、n()()()cos1(11*1*1tMP)cos1(0032.01t)cos1(000534.0)(22ttD)(2/11)(21)()(2121tDtDtytytty211cos000534.0cos0032.000267.0tty212cos000267.0cos0064.000667.0三三.振型分解法振型分解法(計阻尼計阻尼)阻尼力阻尼力 )(tycfD1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN1Df2DfDNf NNNNNNcccccccccc212222111211-阻尼矩陣阻尼矩陣ijc-當質點當質點j有單位速度有單位速度 ,其余質點速度為其余質點

39、速度為0時時, 質點質點i上的阻尼力上的阻尼力.)1(jy 若下式成立若下式成立 jiCjiXcXjjTi*0則將則將 稱作正交阻尼矩陣稱作正交阻尼矩陣, 稱作振型稱作振型j的廣義阻尼系數的廣義阻尼系數. c*jc運動方程運動方程 Pykycym 設設NiiitDXty1)()(),2, 1(Nj)()()()(*tPtDKtDCtDMjjjjjjj 1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN1Df2DfDNf令令*2jjjjMC*2/)()()(2)(jjjjjjjjMtPtDtDtD j-第第j j振型阻尼比振型阻尼比( (由試驗確定由試驗確定).).計算步驟

40、計算步驟: : 1.1.求振型、頻率求振型、頻率; ;2.2.求廣義質量、廣義荷載求廣義質量、廣義荷載; ;4.4.求廣義坐標求廣義坐標; ;5.5.求位移求位移; ;NiiitDXty1)()(3.3.確定振型阻尼比確定振型阻尼比; ;四四. .正交阻尼矩陣的構成正交阻尼矩陣的構成 kamac10其中其中，a 0 、 a1由試驗確定由試驗確定。通過實測獲得兩個振型阻尼比通過實測獲得兩個振型阻尼比 和和 。ji iTiiTiiTiXkXaXmXaXcX10*1*0*iiiKaMac)(21210iiiaa同理同理)(21210jjjaa-瑞利阻尼矩陣瑞利阻尼矩陣*2iiiiMc又因為例例. .

41、已知圖示體系已知圖示體系求：求： c,3m1EI1EIkm21EIkkmmmk /445.01mk /247.12mk /802.1305.021解解. .)(21211011aa)(21221022aamka/0328.00kma/0591.01)(21231033aa0624.0 kamac10mm111m1EI1EIkm21EIkkmm解解. .)(21211011aa)(21221022aamka/0328.00kma/0591.01)(21231033aa0624.0 kamac10mm111 kk110121012 kmc0919.00591.000591.0151.00591.0

42、00591.0151.0五、計算水平地震作用的振型分解反應譜法五、計算水平地震作用的振型分解反應譜法Ni, 2 , 1作用于作用于i質點上的力有質點上的力有m1m2mimNxixg(t)im)(giixxm )(tSi)(tRi）giiixxmI (慣性力慣性力彈性恢復力彈性恢復力niniiixkxkxkS2211阻尼力阻尼力niniiixcxcxcR2211運動方程運動方程gijnjijnjjijiixmxkxcxm 11 )(txImxkxcxmg 設設NiiitDXtx1)()( )() )()() )(111txImtDXktDXctDXmgNiiiNiiiNiii )() )() )

43、() )(111txImXtDXkXtDXcXtDXmXgTjNiiiTjNiiiTjNiiiTj )()()()(txImXtDXkXtDXcXtDXmXgTjjjTjjjTjjjTj 代入運動方程，得代入運動方程，得方程兩端左乘方程兩端左乘TjX )(txImxkxcxmg )()()(*txImXtDKDCtDMgTjjjjjjj )()(2)(2txXMXIMXtDDtDgjTjTjjjjjjj )()()()(txImXtDXkXtDXcXtDXmXgTjjjTjjjTjjjTj jTjjXmXM*-j-j振型廣義質量振型廣義質量-j-j振型廣義阻尼系數振型廣義阻尼系數 jTjjXk

44、XK* jTjjXcXC*-j-j振型廣義剛度振型廣義剛度 )()()(*txMIMXtDMKDMCtDgjTjjjjjjjj *2*jjjMK*2jjjjMC由于 )()(2)(2txXMXIMXtDDtDgjTjTjjjjjjj nijiinijiijTjTjjxmxmXMXIMX121-j-j振型的振型參與系數振型的振型參與系數)()(2)(2txtDDtDgjjjjjjj NiiitDXtx1)()(NjjjiitDxtx1)()(第j振型第i質點的位移jix這樣，原來的運這樣，原來的運動微分方程分解動微分方程分解成成n個廣義坐標個廣義坐標的獨立微分方程的獨立微分方程)()(2)(2t

45、xtDDtDgjjjjjjj )(tx)(txgm)(22txxxxg tttextx0d)(gdd)(sin)(1)( ttjjtextDjj0j)(gjd)(sin)()( )(tjjttjtextjj0j)(gjd)(sin)(1)( )(tj)(txg*jMjj已知：對于單自由度體系已知：對于單自由度體系對于對于j j振型折算體系（右圖）振型折算體系（右圖）Nj, 2 , 1如何解如何解j振型對應的廣義坐標方程振型對應的廣義坐標方程i 質點相對于基底的位移與加速度為質點相對于基底的位移與加速度為Njjjjitx1)(Njjjjiitxtx1)()( i 質點質點 t 時刻時刻的水平地震

46、作用為的水平地震作用為)()()(txtxmtFgiii )()(1txxtxmgjijNjjjjii NjjitF1)(NjjjiitDxtx1)()(-t-t時刻第時刻第j j振型振型i i質點的水平地震作用質點的水平地震作用)()()(11txxtxtxxgjijnjggjijnj 證明：見郭書P68)()()(txxtxmtFgjjijjjiiji 其中：maxmax)()()(txtxmtFFgjjjiijiji 體系體系j j振型振型i i質點水平地震作用標準值為：質點水平地震作用標準值為：ijjijjiGxF 所以，體系所以，體系j j振型振型i i質點水平地震作用標準值計算公式

47、為質點水平地震作用標準值計算公式為)()()(txxtxmtFgjjijjjiiji -t-t時刻第時刻第j j振型振型i i質點的水平地震作用質點的水平地震作用GtxtxmtFFgmaxmax)()()( 對于單自由度體系對于單自由度體系-相應于相應于j j振型自振周期的地震影響系數；振型自振周期的地震影響系數；jjix- j- j振型振型i i質點的水平相對位移；質點的水平相對位移；j- j- j振型的振型參與系數；振型的振型參與系數；iG- i- i質點的重力荷載代表值。質點的重力荷載代表值。m1m2mi11F12FiF1nF121F22FiF2nF21 jF2jFjiFjnF1nF2n

48、FniFnnF1振型地震作用標準值2振型j振型n振型求得各振型的地震作用標準值后，求得各振型的地震作用標準值后，按靜力方法求得地震作用效應按靜力方法求得地震作用效應（彎矩、位移等），（彎矩、位移等），那么該如何那么該如何進行組合呢？進行組合呢？ijjijjiGxF-體系體系j j振型振型i i質點水平地震作用標準值計算公式質點水平地震作用標準值計算公式振型組合規則振型組合規則完全二次式方法完全二次式方法CQC（Complete quadratic combination method）ninjjiijSSS11平方和開平方平方和開平方SRSS（square root of sum-square

49、 method） njjSS12振型較為密集，振型之間相關振型較為密集，振型之間相關性較大時，如考慮平移、扭轉性較大時，如考慮平移、扭轉耦聯振動的線性結構體系耦聯振動的線性結構體系振型較為稀疏，振型振型較為稀疏，振型之間相關性較小時，之間相關性較小時，如串聯多自由度體系如串聯多自由度體系參與振型個數的確定參與振型個數的確定1 1、方法一：主要選取貢獻大的較低頻率的幾個振型，一、方法一：主要選取貢獻大的較低頻率的幾個振型，一般建筑（動力自由度較少）取般建筑（動力自由度較少）取1 13 3個振型；高層個振型；高層 9 91515個振型。個振型。2 2、方法二：一般可取振型、方法二：一般可取振型有效

50、質量有效質量達到總質量達到總質量9090時所時所需的振型數。需的振型數。振型有效質量振型有效質量：njjijnjjijEixGxGW1221/)(振型分解反應譜法的步驟振型分解反應譜法的步驟（1）進行振型分析，求結構的自振周期、振型和）進行振型分析，求結構的自振周期、振型和振型參與系數振型參與系數 ；（2）由地震影響系數譜曲線確定多自由度體系）由地震影響系數譜曲線確定多自由度體系j振振型質點型質點i的水平地震作用標準值；的水平地震作用標準值；（3）計算）計算j振型地震作用標準值下的效應，可按靜振型地震作用標準值下的效應，可按靜力方法計算地震作用效應，包括：軸力、彎距、力方法計算地震作用效應，包

51、括：軸力、彎距、剪力和變形等；剪力和變形等；（4）按）按振型最大值組合規則振型最大值組合規則計算體系水平地震作計算體系水平地震作用標準值的效應。（用標準值的效應。（注意：一定是結構的地震效應進注意：一定是結構的地震效應進行組合，而不是對地震作用進行組合，因為總的地震作用行組合，而不是對地震作用進行組合，因為總的地震作用與各振型地震作用最大值之間不存在組合關系與各振型地震作用最大值之間不存在組合關系！）！）例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設防烈度為抗震設防烈度為8度，度，類場地，設計地震分組為第二組。類場地

52、，設計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1）求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01X 000. 1666. 0667. 02X 000. 1035. 3019. 43Xs467.01Ts208.02Ts134.03T（2）計算各振型的地震影響系數）計算各振型的地震影響系數1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影響地震影響烈度烈度地震影響系數最大值（阻尼比為

53、地震影響系數最大值（阻尼比為0.05）查表得查表得16.0max地震特征周期分組的特征周期值（地震特征周期分組的特征周期值（s）0.90 0.65 0.450.35第三組第三組0.75 0.55 0.400.30第二組第二組0.65 0.45 0.35 0.25第一組第一組 場地類別場地類別s4.0gT)(sT0 1 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設防烈度為抗震設防烈度為8 8度，度，類場地，設計地震分組

54、為第二組。類場地，設計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01X 000. 1666. 0667. 02X 000. 1035. 3019. 43Xs467.01Ts208.02Ts134.03T（2 2）計算各振型的地震影響系數）計算各振型的地震影響系數查表得查表得16.0maxs4.0gT第一振型第一振型ggTTT51max21)(TTg139.0第二振型第二振型gTT2s1.016.0max22第三振型第三振型gTT 3s1.0

55、16.0max2355 . 005. 09 . 07 . 106. 005. 012例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設防烈度為抗震設防烈度為8 8度，度，類場地，設計地震分組為第二組。類場地，設計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01X 000. 1666. 0667. 02X 000. 1035. 3019. 43Xs467.01Ts208.

56、02Ts134.03T（2 2）計算各振型的地震影響系數）計算各振型的地震影響系數139.0116.0216.03（3 3）計算各振型的振型參與系數）計算各振型的振型參與系數第一振型第一振型31213111/iiiiiixmxm363.11180667.0270334.02701180667.0270334.0270222第二振型第二振型31223122/iiiiiixmxm428.01180)666.0(270)667.0(2701180)666.0(270)667.0(270222第三振型第三振型31233133/iiiiiixmxm063. 01180)035. 3(270019. 42

57、701180)035. 3(270019. 4270222例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設防烈度為抗震設防烈度為8 8度，度，類場地，設計地震分組為第二組。類場地，設計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01X 000. 1666. 0667. 02X 000. 1035. 3019. 43Xs467.01Ts208.02Ts134.03T（2

58、 2）計算各振型的地震影響系數）計算各振型的地震影響系數139.0116.0216.03（3 3）計算各振型的振型參與系數）計算各振型的振型參與系數363.11428.02063. 03（4 4）計算各振型各樓層的水平地震作用）計算各振型各樓層的水平地震作用ijjijjiGxFkN4 .1678 .9270334.0363.1139.011F第一振型第一振型kN4 .3348 .9270667.0363.1139.012FkN2 .3348 .9180000.1363.1139.013FkN4 .167kN4 .334kN2 .334第一振型第一振型例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震

59、時的層間剪力。例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設防烈度為抗震設防烈度為8 8度，度，類場地，設計地震分組為第二組。類場地，設計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01X 000. 1666. 0667. 02X 000. 1035. 3019. 43Xs467.01Ts208.02Ts134.03T（2 2）計算各振型的地震影響系數）計算各振型的地震影響系數139.0116.0216.03（3 3）計算

60、各振型的振型參與系數）計算各振型的振型參與系數363.11428.02063. 03（4 4）計算各振型各樓層的水平地）計算各振型各樓層的水平地震作用震作用ijjijjiGxFkN4 .167kN4 .334kN2 .334第一振型第一振型kN9 .1208 .9270)667.0()428.0(16.021F第二振型第二振型kN7 .1208 .9270)666.0()428.0(16.022FkN8 .1208 .9180000.1)428.0(16.023FkN8 .120kN7 .120kN9 .120第二振型第二振型例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振