1、直線與圓的方程復習講義1 直線與方程考點1直線的傾斜角2斜率公式3直線方程的五種形式4兩條直線的位置關系5幾種距離6. 直線系方程二圓與方程考點1圓的定義2圓的標準方程3圓的一般方程4確定圓的方程的方法和步驟5點與圓的位置關系6判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法7圓與圓的位置關系三直線與方程考法題型一直線的傾斜角與斜率例1經過P(0，1)作直線l，若直線l與連接A(1，2)，B(2,1)的線段總有公共點，則直線l的斜率k和傾斜角的取值范圍分別為_，_.思維點撥注意傾斜角是銳角還是鈍角答案1,10，)解析如圖所示，結合圖形：為使l與線段AB總有公共點，則kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故

2、k0時，為銳角又kPA1，kPB1，1k1.又當0k1時，0；當1k0時，.故傾斜角的取值范圍為0，)思維升華直線傾斜角的范圍是0，)，而這個區間不是正切函數的單調區間，因此根據斜率求傾斜角的范圍時，要分與兩種情況討論由正切函數圖象可以看出，當時，斜率k0，)；當時，斜率不存在；當時，斜率k(，0)(1)若直線l與直線y1，x7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，1)，則直線l的斜率為()A. B C D.(2)直線xcos y20的傾斜角的范圍是()A. B.C. D.答案(1)B(2)B解析(1)依題意，設點P(a,1)，Q(7，b)，則有，解得a5，b3，從而可知直線l的斜率為

3、.(2)由xcos y20得直線斜率kcos .1cos 1，k.設直線的傾斜角為，則tan .結合正切函數在上的圖象可知，0或.題型二求直線的方程例2根據所給條件求直線的方程：(1)直線過點(4,0)，傾斜角的正弦值為；(2)直線過點(3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12；(3)直線過點(5,10)，且到原點的距離為5.解(1)由題設知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式設傾斜角為，則sin (00，b0)，點P(3,2)代入得12 ，得ab24，從而SAOBab12，當且僅當時等號成立，這時k，從而所求直線方程為2x3y120.方法二依題意知，直線l的斜率k存在且k0.則直線l的方程為y

4、2k(x3) (k0；當k0時，直線為y1，符合題意，故k0.(3)解由l的方程，得A，B(0,12k)依題意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的條件是k0且4k，即k，Smin4，此時直線l的方程為x2y40.求直線方程忽視零截距致誤典例：(12分)設直線l的方程為(a1)xy2a0 (aR)(1)若l在兩坐標軸上截距相等，求l的方程；(2)若l不經過第二象限，求實數a的取值范圍易錯分析本題易錯點求直線方程時，漏掉直線過原點的情況規范解答解(1)當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，a2，方程即為3xy0.2分當直線不經過原點時，截距存在且均不為0.a2，即

5、a11.4分a0，方程即為xy20.6分(2)將l的方程化為y(a1)xa2，或a1.10分綜上可知a的取值范圍是a1.12分溫馨提醒(1)在求與截距有關的直線方程時，注意對直線的截距是否為零進行分類討論，防止忽視截距為零的情形，導致產生漏解(2)常見的與截距問題有關的易誤點有：“截距互為相反數”；“一截距是另一截距的幾倍”等，解決此類問題時，要先考慮零截距情形，注意分類討論思想的運用.方法與技巧直線的傾斜角和斜率的關系：(1)任何直線都存在傾斜角，但并不是任意直線都存在斜率(2)直線的傾斜角和斜率k之間的對應關系：009090900不存在k0失誤與防范與直線方程的適用條件、截距、斜率有關問題

6、的注意點(1)明確直線方程各種形式的適用條件點斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點式方程不能表示垂直于x、y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線(2)截距不是距離，距離是非負值，而截距可正可負，可為零，在與截距有關的問題中，要注意討論截距是否為零(3)求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應注意分類討論，即應對斜率是否存在加以討論.A組專項基礎訓練(時間：45分鐘)1若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一條直線，則參數m滿足的條件是()Am Bm0Cm0且m1 Dm1答案D解析由解得m1，故m1時方程表示一條直線2直線xsin ycos 0的傾斜角是

7、()A B.C. D.答案D解析tan tan tan ，0，)，.3直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.答案B解析直線的斜率k，1k0，則傾斜角的范圍是.4兩條直線l1：1和l2：1在同一直角坐標系中的圖象可以是()答案A解析化為截距式1，1.假定l1，判斷a，b，確定l2的位置，知A項符合5已知直線PQ的斜率為，將直線繞點P順時針旋轉60所得的直線的斜率為()A. B C0 D1答案A解析直線PQ的斜率為，則直線PQ的傾斜角為120，所求直線的傾斜角為60，tan 60.6若直線l的斜率為k，傾斜角為，而，則k的取值范圍是_答案，0)解析當時，tan 1，k1

8、.當時，tan 1或0即可，解得1a或a0.綜上可知，實數a的取值范圍是(，)(0，)8若ab0，且A(a,0)、B(0，b)、C(2，2)三點共線，則ab的最小值為_答案16解析根據A(a,0)、B(0，b)確定直線的方程為1，又C(2，2)在該直線上，故1，所以2(ab)ab.又ab0，故a0，b0，b0)過點(1,1)，則該直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為()A1 B2C4 D8答案C解析直線axbyab (a0，b0)過點(1,1)，abab，即1，ab(ab)2224，當且僅當ab2時上式等號成立直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為4.12過點P(2,3)且與兩坐標軸圍成的三

9、角形面積為12的直線共有()A1條 B2條C3條 D4條答案C解析設過點P(2,3)且與兩坐標軸圍成的三角形面積為12的直線的斜率為k，則有直線的方程為y3k(x2)，即kxy2k30，它與坐標軸的交點分別為M(0，2k3)、N.再由12|OM|ON|2k3|2|，可得|4k12|24，即4k1224，或4k1224.解得k或k或k，故滿足條件的直線有3條13若直線l1：yk(x6)與直線l2關于點(3,1)對稱，則直線l2恒過定點_答案(0,2)解析直線l1：yk(x6)恒過定點(6,0)，定點關于點(3,1)對稱的點為(0,2)又直線l1：yk(x6)與直線l2關于點(3,1)對稱，故直線

10、l2恒過定點(0,2)14已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動點P(x，y)，則xy的最大值是_答案3解析直線AB的方程為1，設P(x，y)，則x3y，xy3yy2(y24y)(y2)243.即當P點坐標為時，xy取最大值3.15設點A(1,0)，B(1,0)，直線2xyb0與線段AB相交，則b的取值范圍是_答案2,2解析b為直線y2xb在y軸上的截距，如圖，當直線y2xb過點A(1,0)和點B(1,0)時b分別取得最小值和最大值b的取值范圍是2,2題型一兩條直線的平行與垂直例1已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的a，b的值(1)l1l2，且l1過

11、點(3，1)；(2)l1l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等思維點撥本題考查兩直線平行或垂直成立的充要條件，解題易錯點在于忽略斜率不存在的情況解(1)方法一由已知可得l2的斜率存在，k21a.若k20，則1a0，a1.l1l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1過點(3，1)，3a40，即a(矛盾)此種情況不存在，k20.即k1，k2都存在，k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.又l1過點(3，1)，3ab40.由聯立，解得a2，b2.方法二由于l1l2，所以a(a1)(b)10.即ba2a.又因為l1過點(3，1)所以3ab40.聯立可得經驗證，符合題意故a2，b2.

12、(2)l2的斜率存在，l1l2，直線l1的斜率存在，k1k2，即1a.又坐標原點到這兩條直線的距離相等，且l1l2，l1，l2在y軸上的截距互為相反數，即b.聯立，解得或a2，b2或a，b2.思維升華(1)當直線方程中存在字母參數時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況同時還要注意x、y的系數不能同時為零這一隱含條件(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數間的關系得出結論已知兩直線l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)方法一當sin 0時，直線l1的斜率不存在，l2的斜率為0，顯然l1

13、不平行于l2.當sin 0時，k1，k22sin .要使l1l2，需2sin ，即sin .所以k，kZ，此時兩直線的斜率相等故當k，kZ時，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得2sin210，所以sin .所以k，kZ.又B1C2B2C10，所以1sin 0，即sin 1.故當k，kZ時，l1l2.(2)因為A1A2B1B20是l1l2的充要條件，所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kZ.故當k，kZ時，l1l2.題型二兩直線相交例2求經過直線l1：3x2y10和l2：5x2y10的交點，且垂直于直線l3：3x5y60的直線l的方程思維點撥可先求出l1與l2的交點，再用點斜式

14、；也可利用直線系方程求解解方法一先解方程組得l1，l2的交點坐標為(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率為，于是由直線的點斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.方法二由于ll3，故l是直線系5x3yC0中的一條，而l過l1，l2的交點(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程為5x3y10.方法三由于l過l1，l2的交點，故l是直線系3x2y1(5x2y1)0中的一條，將其整理，得(35)x(22)y(1)0.其斜率為，解得，代入直線系方程得l的方程為5x3y10.思維升華(1)兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標的點即為

15、交點(2)常見的三大直線系方程與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且mC)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAym0(mR)過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.如圖，設一直線過點(1,1)，它被兩平行直線l1：x2y10，l2：x2y30所截的線段的中點在直線l3：xy10上，求其方程解與l1、l2平行且距離相等的直線方程為x2y20.設所求直線方程為(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直線過(1,1)，(1)(1)(2)120.解得.所求直線方程為2x7

16、y50.題型三距離公式的應用例3正方形的中心為點C(1,0)，一條邊所在的直線方程是x3y50，求其他三邊所在直線的方程思維點撥中心C到各邊的距離相等解點C到直線x3y50的距離d.設與x3y50平行的一邊所在直線的方程是x3ym0(m5)，則點C到直線x3ym0的距離d，解得m5(舍去)或m7，所以與x3y50平行的邊所在直線的方程是x3y70.設與x3y50垂直的邊所在直線的方程是3xyn0，則點C到直線3xyn0的距離d，解得n3或n9，所以與x3y50垂直的兩邊所在直線的方程分別是3xy30和3xy90.思維升華正方形的四條邊兩兩平行和垂直，設平行直線系和垂直直線系可以較方便地解決，解

17、題時要結合圖形進行有效取舍本題的解法可以推廣到求平行四邊形和矩形各邊所在直線的方程運用點到直線的距離公式時，需把直線方程化為一般式；運用兩平行線的距離公式時，需先把兩平行線方程中x，y的系數化為相同的形式已知點P(2，1)(1)求過P點且與原點距離為2的直線l的方程；(2)求過P點且與原點距離最大的直線l的方程，并求出最大距離(3)是否存在過P點且與原點距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由解(1)過P點的直線l與原點距離為2，而P點坐標為(2，1)，可見，過P(2，1)垂直于x軸的直線滿足條件此時l的斜率不存在，其方程為x2.若斜率存在，設l的方程為y1k(x2)，即kxy2

18、k10.由已知，得2，解之得k.此時l的方程為3x4y100.綜上，可得直線l的方程為x2或3x4y100.(2)作圖可證過P點與原點O距離最大的直線是過P點且與PO垂直的直線，由lOP，得klkOP1.所以kl2.由直線方程的點斜式得y12(x2)，即2xy50，即直線2xy50是過P點且與原點O距離最大的直線，最大距離為.(3)由(2)可知，過P點不存在到原點距離超過的直線，因此不存在過P點且與原點距離為6的直線題型四對稱問題例4已知直線l：2x3y10，點A(1，2)求：(1)點A關于直線l的對稱點A的坐標；(2)直線m：3x2y60關于直線l的對稱直線m的方程；(3)直線l關于點A(1

19、，2)對稱的直線l的方程思維點撥解決對稱問題，不管是軸對稱還是中心對稱，一般都要轉化為點之間的對稱問題解(1)設A(x，y)，再由已知解得A(，)(2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關于直線l的對稱點必在m上設對稱點為M(a，b)，則解得M(，)設m與l的交點為N，則由得N(4,3)又m經過點N(4,3)，由兩點式得直線方程為9x46y1020.(3)設P(x，y)為l上任意一點，則P(x，y)關于點A(1，2)的對稱點為P(2x，4y)，P在直線l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.思維升華(1)解決點關于直線對稱問題要把握兩點，點M與點N關于直線l對稱，則線段M

20、N的中點在直線l上，直線l與直線MN垂直(2)如果是直線或點關于點成中心對稱問題，則只需運用中點公式就可解決問題(3)若直線l1、l2關于直線l對稱，則有如下性質：若直線l1與l2相交，則交點在直線l上；若點B在直線l1上，則其關于直線l的對稱點B在直線l2上(2013湖南)在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發，經BC，CA發射后又回到原點P(如圖)若光線QR經過ABC的重心，則AP等于()A2 B1C. D.答案D解析建立如圖所示的坐標系：可得B(4,0)，C(0,4)，故直線BC的方程為xy4，ABC的重心為，設P(a,0)，其中0a0)，則

21、有解得故圓的方程是x2y26x2y10.巧妙解法(幾何法)曲線yx26x1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(32，0)，(32，0)故可設C的圓心為(3，t)，則有32(t1)2(2)2t2，解得t1.則圓C的半徑為3，所以圓C的方程為(x3)2(y1)29.溫馨提醒(1)一般解法(代數法)：可以求出曲線yx26x1與坐標軸的三個交點，設圓的方程為一般式，代入點的坐標求解析式(2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質，知道圓心一定在圓上兩點連線的垂直平分線上，從而設圓的方程為標準式，簡化計算顯然幾何法比代數法的計算量小，因此平時訓練多采用幾何法解題.方法與技巧1確定一個圓的方程，需要三個獨立條件“選形式、定參數”是求圓的方程的基本方法，是指根據題設條件恰當選擇圓的方