1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔第一章 排隊(duì)論問題的基本理論知識(shí)排隊(duì)是日常生活中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象，本章將介紹排隊(duì)論的一些基本知識(shí)和常見的排隊(duì)論的模型，使我們對(duì)排隊(duì)論有一個(gè)基本的認(rèn)識(shí)。1.1 預(yù)備知識(shí)下圖是排隊(duì)過程的一般模型：各個(gè)顧客由顧客源（總體）出發(fā)，到達(dá)服務(wù)機(jī)構(gòu)（服務(wù)臺(tái)、服務(wù)員）前排隊(duì)等候接受服務(wù)，服務(wù)完成后離開。我們說的排隊(duì)系統(tǒng)就是圖中虛線所包括的部分。排隊(duì)結(jié)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)顧客源顧客到達(dá)排隊(duì)規(guī)則服務(wù)規(guī)則離去 排隊(duì)系統(tǒng)示意圖 一般的排隊(duì)系統(tǒng)都有三個(gè)基本組成部分：輸入過程；排隊(duì)規(guī)則；服務(wù)機(jī)構(gòu)。1. 輸入過程輸入過程考察的是顧客到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的規(guī)律。可以用一定時(shí)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)或前后兩個(gè)顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間來描述，一般分

2、為確定型和隨機(jī)型兩種。對(duì)于隨機(jī)型的情形，要知道單位時(shí)間內(nèi)的顧客到達(dá)數(shù)或到達(dá)的間隔時(shí)間的概率分布。2. 排隊(duì)規(guī)則 排隊(duì)規(guī)則分為等待制、損失制和混合制三種。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，所有服務(wù)機(jī)構(gòu)都被占用，則顧客排隊(duì)等候，即為等待制。在等待制中，為顧客進(jìn)行服務(wù)的次序可以是先到先服務(wù)，或后到先服務(wù)，或是隨機(jī)服務(wù)和有優(yōu)先權(quán)服務(wù)。如果顧客來到后看到服務(wù)機(jī)構(gòu)沒有空閑立即離去，則為損失制。有些系統(tǒng)因留給顧客排隊(duì)等待的空間有限，因此超過所能容納人數(shù)的顧客必須離開系統(tǒng)，這種排隊(duì)規(guī)則就是混合制。3. 服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是一個(gè)或多個(gè)服務(wù)臺(tái)。服務(wù)時(shí)間一般也分成確定型和隨機(jī)型兩種。但大多數(shù)情形服務(wù)時(shí)間是隨機(jī)型的。對(duì)于隨機(jī)型的服務(wù)時(shí)間，需要

3、知道它的概率分布。1.2 模型理論分析1.2.1 模型分類排隊(duì)模型的表示：X/Y/Z/A/B/CX顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間的分布；Y服務(wù)時(shí)間的分布；M負(fù)指數(shù)分布、D確定型、Ek k階愛爾朗分布。Z服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)；A系統(tǒng)容量限制（默認(rèn)為）；B顧客源數(shù)目（默認(rèn)為）；C服務(wù)規(guī)則 （默認(rèn)為先到先服務(wù)FCFS)。1.2.2 模型求解一個(gè)實(shí)際問題作為排隊(duì)問題求解時(shí)，只有顧客到達(dá)的間隔時(shí)間分布和服務(wù)時(shí)間的分布須要實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)來確定，其他的因素都是在問題提出時(shí)給定的。并且必須確定用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，解排隊(duì)問題就是首先求出這些數(shù)量指標(biāo)的概率分布或特征值。這些指標(biāo)通常是：（1）隊(duì)長(zhǎng)：系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)和正

4、在服務(wù)的顧客總數(shù)，其期望值記為；排隊(duì)長(zhǎng)（隊(duì)列長(zhǎng)）：系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)，其期望值記為；系統(tǒng)中顧客數(shù)=在隊(duì)列中等待服務(wù)的顧客數(shù)+正被服務(wù)的顧客數(shù)（2）逗留時(shí)間：一個(gè)顧客在系統(tǒng)中停留時(shí)間，包括等待時(shí)間和服務(wù)時(shí)間，其其期望值記為； 等待時(shí)間：一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待時(shí)間,其期望值記為； 逗留時(shí)間=等待時(shí)間+服務(wù)時(shí)間（3）忙期：從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑這段時(shí)間長(zhǎng)度；系統(tǒng)狀態(tài)：即指系統(tǒng)中的顧客數(shù)；狀態(tài)概率：用表示,即在t時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率；要解決排隊(duì)問題，首先要確定排隊(duì)系統(tǒng)的到達(dá)間隔時(shí)間分布與服務(wù)時(shí)間分布。要研究到達(dá)間隔時(shí)間分布與服務(wù)時(shí)間分布需要首先根據(jù)現(xiàn)有系統(tǒng)原始資料

5、統(tǒng)計(jì)出它們的經(jīng)驗(yàn)分布，然后與理論分布擬合，若能對(duì)應(yīng)，我們就可以得出上述的分布情況。1、經(jīng)驗(yàn)分布經(jīng)驗(yàn)分布是對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的某些時(shí)間參數(shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)分析，并依據(jù)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果假設(shè)其統(tǒng)計(jì)樣本的總體分布，選擇合適的檢驗(yàn)方法進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng)通過檢驗(yàn)時(shí)，我們認(rèn)為時(shí)間參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從該假設(shè)分布。2、泊松分布下面我們?cè)谝欢ǖ募僭O(shè)條件下，推出顧客的到達(dá)過程就是一個(gè)泊松過程。若設(shè)表示在時(shí)間區(qū)間0,t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)(t>0)，表示在時(shí)間區(qū)間(t2>t1)內(nèi)有n(0)個(gè)顧客到達(dá)的概率，即 （t2>t1，n0）當(dāng)符合于下述三個(gè)條件時(shí)，我們說顧客到達(dá)過程就是泊松過程。(1)再不相重疊的的時(shí)間區(qū)間內(nèi)顧

6、客到達(dá)數(shù)是相互獨(dú)立的。(2)對(duì)于足夠小的t，在時(shí)間區(qū)間t，t+Dt)內(nèi)有1個(gè)顧客到達(dá)的概率為（>0 是常數(shù)，稱為概率強(qiáng)度）。(3)對(duì)充分小的t,在時(shí)間區(qū)間t,t+t）內(nèi)有2個(gè)或2個(gè)以上顧客到達(dá)的概率是t一高階無窮小，即為了求，即，需要研究它在時(shí)刻t到t+t時(shí)刻的改變量，也就是要建立的微分方程。就可以得到： t>0，n=0,1,2,負(fù)指數(shù)分布設(shè)T為時(shí)間間隔，分布函數(shù)為，即：。此概率等價(jià)于在0，t）區(qū)間內(nèi)至少有1個(gè)顧客到達(dá)的概率。沒有顧客到達(dá)的概率為： ，則 （t>0），其概率密度函數(shù)為： （t>0）。由前知，表示單位時(shí)間內(nèi)顧客平均到達(dá)數(shù)，這里1/表示顧客到達(dá)的平均間隔時(shí)間

7、，兩者是吻合的。下面我們?cè)僬勔幌路?wù)時(shí)間的分布：對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間，實(shí)際是系統(tǒng)處于忙期時(shí)兩顧客相繼離開系統(tǒng)的時(shí)間間隔，一般地也服從負(fù)指數(shù)分布，即： 。其中：m表示單位時(shí)間內(nèi)能被服務(wù)完成的顧客數(shù)，即平均服務(wù)率。1/m表示一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。令則稱為服務(wù)強(qiáng)度。第二章 單服務(wù)員排隊(duì)模型在自動(dòng)存取款機(jī)服務(wù)中的應(yīng)用2.1理論分析1. 穩(wěn)態(tài)概率的計(jì)算已知顧客到達(dá)服從參數(shù)為的泊松過程，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。在間刻t+t，系統(tǒng)中有n個(gè)顧客不外乎有下列四種情況。情況時(shí)刻的t顧客區(qū)間(t, t+Dt)時(shí)刻t+Dt的顧客(t, t+Dt)的概率0, t+Dt的概率(略去o(Dt)到達(dá)離去An×

8、×n1-Dt+o(Dt)1Dt+o(Dt)Pn(t)(1-Dt)(1-Dt)Bn+1×n1-Dt+o(Dt)Dt+o(Dt)Pn+1(t) (1-Dt)(Dt)Cn-1×nDt+o(Dt)1-Dt+o(Dt)Pn-1(t) (Dt)(1-Dt)DnnDt+o(Dt)Dt+o(Dt)Pn(t) (Dt)(Dt)由于這四種情況是互不相容的，所以Pn(t+t)應(yīng)是這四項(xiàng)之和，將所有的高階無窮小合并，則有： 令t0，得關(guān)于Pn(t)的微分差分方程：當(dāng)n=0時(shí)，只有表中的（A）、（B）兩種情況。 (1)所以 (2)穩(wěn)態(tài)時(shí)，Pn(t)與時(shí)間無關(guān)，可以寫成Pn， 它對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

9、為0，所以由(1)、(2)兩式得： (3) (4)上式即為關(guān)于Pn的差分方程。由此可得該排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖：這種系統(tǒng)狀態(tài)(n)隨時(shí)間變化的過程就是生滅過程,它可以描述細(xì)菌的生滅過程。得到： (5) (否則排隊(duì)無限遠(yuǎn)，無法服務(wù)完) (6)上式就是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率，以它為基礎(chǔ)可以算出系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)。2. 系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)計(jì)算(1) 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（隊(duì)長(zhǎng)期望值Ls）： (0<<1) (7)(2) 隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)Lq（隊(duì)列長(zhǎng)期望值）： (8) (3) 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間Ws： (4)顧客在隊(duì)列中的等待時(shí)間的期望值： 3. 系統(tǒng)的忙期與閑期：系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率：系統(tǒng)處于繁

10、忙狀態(tài)的概率：2.2實(shí)例2.2.1 問題提出與模型說明問題提出顧客排隊(duì)等待接受服務(wù)，在任何一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)中都是不可避免的。在存取款機(jī)排隊(duì)等待取錢或存錢的排隊(duì)問題也非常嚴(yán)重，為此, 這里擬用排隊(duì)論的理論和方法, 建立評(píng)價(jià)指標(biāo),通過實(shí)例來探究如何提高工作效率？如何使系統(tǒng)更加優(yōu)化？ 模型說明某街道口只有一個(gè)自動(dòng)存取款機(jī)，從而該種情況是單列單服務(wù)臺(tái)的情況，即為M/M/1模型的情況。2.2.2 調(diào)查方法及數(shù)據(jù)處理調(diào)查內(nèi)容（1）顧客到達(dá)時(shí)間。（2）服務(wù)時(shí)間。調(diào)查方法顧客到達(dá)的頻率與時(shí)間段有關(guān)，一般在9：00lO：30和下午2：3O一4：00顧客到達(dá)率比其它的時(shí)間高。我們把時(shí)間分成兩段，考慮08：009：00

11、、9：OO一1O：00的情況，分別代表了一般情況和繁忙時(shí)的情況。（1）服務(wù)時(shí)間：顧客開始用自動(dòng)存取款機(jī)到服務(wù)完成。 （2）顧客到達(dá)時(shí)間：顧客進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)。以上兩項(xiàng)調(diào)查，抽樣的時(shí)間均是分散的、隨機(jī)的。不可連續(xù)和集中抽樣。具體數(shù)據(jù)如下：其中，顧客編號(hào)i，到達(dá)時(shí)間，服務(wù)時(shí)間，到達(dá)間隔，排隊(duì)等待時(shí)間。表1 08：009：00的統(tǒng)計(jì)12345678910111202812192529344249546032573162429423476458756010110010003表2 09：0010：00的統(tǒng)計(jì)1234567891011121314151002691115192228364145485056

12、60324723325165432524334436854326401026544000246312.2.3模型求解1、根據(jù)表1計(jì)算得：平均時(shí)間間隔為平均到達(dá)率為平均服務(wù)時(shí)間為平均服務(wù)率為2、根據(jù)表2計(jì)算得：平均時(shí)間間隔為平均到達(dá)率為平均服務(wù)時(shí)間為平均服務(wù)率為把以上兩表結(jié)合起來為表3，分析服務(wù)時(shí)間的分布規(guī)律，求出均值和方差。表3 服務(wù)時(shí)間和頻數(shù)服務(wù)時(shí)間X12345679頻率P27644221服務(wù)時(shí)間的期望值為：服務(wù)率期望值：2.2.4 討論理論上講，顧客到達(dá)會(huì)形成泊松流，因?yàn)椋?1)在不相重疊的時(shí)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)是相互獨(dú)立的，即無后效性；(2)對(duì)于充分小的時(shí)間區(qū)間內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率與時(shí)刻無關(guān)

13、，而與區(qū)問長(zhǎng)成正比；在我們把時(shí)問段分開之后來分析，這一點(diǎn)也是滿足的；(3)對(duì)于充分小的時(shí)間區(qū)間，有2個(gè)或2個(gè)以上顧客到達(dá)的概率極小。顧客到達(dá)滿足以上三個(gè)條件，形成泊松流；所以顧客到達(dá)率服從負(fù)指數(shù)分布。而服務(wù)時(shí)問可看作服從正態(tài)分布。然而在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)比較少的情況下，并不能得出一一般規(guī)律，來精確的算出參數(shù) (到達(dá)率)和(服務(wù)率)。本文對(duì)此問題只做簡(jiǎn)單的分析。從表1中可以看出，在8：009：00時(shí)間區(qū)問內(nèi)，有l(wèi)2個(gè)顧客到達(dá)，其中有5個(gè)顧客必須等待，平均等待。而在表2中可以得出，在9：0010：00時(shí)間區(qū)間內(nèi)，有16個(gè)顧客到達(dá)，有11個(gè)顧客必須等待，平均等待時(shí)間：。根據(jù)以上分析，在8：009：00時(shí)間區(qū)間

14、內(nèi)，顧客平均到達(dá)率，平均服務(wù)率是，在9：00 1O：00時(shí)問區(qū)問內(nèi)分別為和。可以看出，平均服務(wù)律是高于平均到達(dá)率的。但是，通過表3的數(shù)據(jù)分析，在8：001O：OO時(shí)間區(qū)間內(nèi)平均服務(wù)率為，由于表3中的數(shù)據(jù)量比較大，所以更具有代表性。如果這樣分析，平均服務(wù)率就小于9：001O：OO的顧客平均到達(dá)率027，這樣就會(huì)使排隊(duì)越來越長(zhǎng)而直到高峰期過后才能得到緩解。我們認(rèn)為在這個(gè)系統(tǒng)中，當(dāng)平均等待時(shí)間超過1分鐘，系統(tǒng)被視為效率低下，而低于1分鐘被視為系統(tǒng)有閑置。通過以上分析，在9：0010：00時(shí)間區(qū)間內(nèi)，等待問題比較嚴(yán)重，而在8；009：00系統(tǒng)有閑置現(xiàn)象。現(xiàn)實(shí)中，合理的把等待時(shí)間控制在內(nèi)很難(為很小的數(shù)

15、)。2.3 MM1模型中的最優(yōu)服務(wù)率問題已知有設(shè)進(jìn)入系統(tǒng)的顧客單位時(shí)間帶來的損失為,單位時(shí)間服務(wù)臺(tái)每服務(wù)一位顧客的服務(wù)成本為,則單位時(shí)間總費(fèi)用的期望值為：由 解得：由 及 最優(yōu)服務(wù)率為最優(yōu)服務(wù)率隨著進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)和損失費(fèi)的增加而增加,隨著服務(wù)成本的增加而減小。某生產(chǎn)廠家有多臺(tái)機(jī)器,每臺(tái)機(jī)器連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間服從指數(shù)分布,平均為1小時(shí),每臺(tái)故障機(jī)器的損失費(fèi)為3200元/小時(shí).有1個(gè)維修工人,每次維修時(shí)間服從指數(shù)分布, 每臺(tái)故障機(jī)器的修理費(fèi)用為100元/小時(shí),求最優(yōu)的每臺(tái)機(jī)器維修時(shí)間。由題意知：最優(yōu)服務(wù)率為： 即最優(yōu)的機(jī)器維修時(shí)間為：第三章 中式快餐店排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化3.1 理論分析當(dāng)系統(tǒng)容量最大為N

16、時(shí)，排隊(duì)系統(tǒng)中多于N個(gè)的顧客將被拒絕。當(dāng)N=1時(shí)，即為瞬時(shí)制；N時(shí)，即為容量無限制的情況。 現(xiàn)在研究系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率. 對(duì)于，前面的式子仍然成立，當(dāng)n=1,2,N-1時(shí)，也仍能成立。但當(dāng)n=N時(shí)，有下面兩種情況：情況時(shí)刻t的顧客區(qū)間t, t+t時(shí)刻t+t的顧客數(shù)概率AN無離去（肯定不到達(dá)）NPN(t)·(1-t)BN-1一人到達(dá)（無離去）NPN-1(t)·t其狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖為:在穩(wěn)態(tài)情況下有：解得 ： (1,nN) 下面計(jì)算其運(yùn)行指標(biāo)：(1) 平均隊(duì)長(zhǎng)Ls： (1) （2）隊(duì)列長(zhǎng)（期望值）：當(dāng)研究顧客在系統(tǒng)平均逗留時(shí)間和在隊(duì)列中平均等待時(shí)間，要注意平均到達(dá)率 是在系統(tǒng)中有

17、空時(shí)的平均到達(dá)率，當(dāng)系統(tǒng)已滿是則到達(dá)率為0，因此可以驗(yàn)證：有效到達(dá)率 。（3）顧客逗留時(shí)間（期望值）：（4）顧客等待時(shí)間（期望值）：3.2 實(shí)例3.2.1 問題提出與模型分析問題提出隨著經(jīng)濟(jì)水平的提高,外出用餐的人越來越多,由于服務(wù)生產(chǎn)與消費(fèi)的同步性、服務(wù)的不可儲(chǔ)藏性,以及顧客到達(dá)的隨機(jī)性,讓顧客進(jìn)行排隊(duì)等待是不可避免的。文中以學(xué)校附近一個(gè)中式快餐店為例,針對(duì)其周末晚上人滿為患的現(xiàn)象并結(jié)合工作日的客流狀況對(duì)其排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行研究,進(jìn)而提出優(yōu)化策略。模型分析本文中小型飯店的排隊(duì)模型是單隊(duì)單服務(wù)臺(tái)模型，即為M/M/1模型。由于快餐店容量有限為7桌，所以其排隊(duì)模型M/M/1/K/FCFS(K=7),為單

18、服務(wù)臺(tái)模型：顧客的相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為的的負(fù)指數(shù)分布(顧客到達(dá)過程為Poisson 流)，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布,服務(wù)臺(tái)數(shù)為1，系統(tǒng)空間為K，客源容量無限,實(shí)行先到先服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則。3.2.2數(shù)據(jù)調(diào)查與模型求解調(diào)查方法：對(duì)該中式快餐店客流量進(jìn)行連續(xù)一周人工調(diào)查統(tǒng)計(jì),由于其主要客源是學(xué)生,所以分別調(diào)查周末和工作日兩種情況下的客流量變化。對(duì)每晚（客流高峰期）兩小時(shí)的顧客數(shù)進(jìn)行調(diào)查記錄。數(shù)據(jù)處理：根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)可以得出：平均到達(dá)率 根據(jù)統(tǒng)計(jì)服務(wù)員對(duì)每位顧客的服務(wù)時(shí)間可得該中式快餐店的平均服務(wù)率為：通過計(jì)算可以得出：1、周末的服務(wù)指標(biāo)服務(wù)強(qiáng)度沒有顧客的概率系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)隊(duì)列中等待的平均顧客

19、數(shù)系統(tǒng)中顧客逗留時(shí)間的期望值在隊(duì)列中排隊(duì)等待時(shí)間的期望2、工作日的服務(wù)指標(biāo)服務(wù)強(qiáng)度沒有顧客的概率系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)系統(tǒng)中顧客逗留時(shí)間的期望值在隊(duì)列中排隊(duì)等待時(shí)間的期望3.2.3討論一般情況下,顧客等待1015分鐘是可以忍耐的，上述情況下顧客在周末的等待時(shí)間為29.4分鐘，這很容易造成顧客的不滿。下面我們將從兩個(gè)角度對(duì)該快餐店排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化：（1） 服務(wù)效率的提高中式飯店的服務(wù)流程包含很多細(xì)節(jié),內(nèi)容也非常廣泛。如果我們認(rèn)真對(duì)其流程進(jìn)行調(diào)查研究,找出服務(wù)的潛在失敗點(diǎn)和等待點(diǎn)并著手進(jìn)行流程優(yōu)化設(shè)計(jì),就能大大提高服務(wù)效率。通過觀察并進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)該快餐店服務(wù)效率存在問題，仍可提高

20、。該飯店也通過引進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)備并對(duì)服務(wù)人員進(jìn)行培訓(xùn)以實(shí)行標(biāo)準(zhǔn)化流程的規(guī)范操作,帶來效率和品質(zhì)的提升。服務(wù)效率的提高必然會(huì)使顧客排隊(duì)等待的時(shí)間降低，這里不再作定量的分析。（2） 在忙期適當(dāng)?shù)脑黾幼雷舆@也是排隊(duì)系統(tǒng)的常規(guī)優(yōu)化方案設(shè)計(jì)。在上例的分析中我們看到在周末排隊(duì)等候的隊(duì)列較長(zhǎng)，等待時(shí)間也較長(zhǎng)，這不但會(huì)使顧客產(chǎn)生不滿，而且一些顧客由于不愿等待如此長(zhǎng)的時(shí)間而離開，從而使飯店蒙受損失，適當(dāng)?shù)脑黾幼雷訒?huì)使隊(duì)長(zhǎng)和等待時(shí)間都有所增加。第四章 排隊(duì)論在門診注射室管理中的應(yīng)用4.1 理論分析標(biāo)準(zhǔn)的M/M/C模型與標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型的各特征規(guī)定相同，另外，各服務(wù)臺(tái)工作是相互獨(dú)立且平均服務(wù)率相同，即1=2=3=c

21、=，于是整個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均服務(wù)率為：c(nc時(shí)) ，n(n<c時(shí))。令 ，只有當(dāng) 時(shí)，才不會(huì)形成無限隊(duì)列。隊(duì)列C個(gè)服務(wù)臺(tái)從下圖的隊(duì)列圖，分析系統(tǒng)中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖見下圖。由上圖知，當(dāng)nc時(shí)，顧客被服務(wù)離去的速率為n,當(dāng)n>c時(shí)，為c，故可得差分方程： (1nc) (n>c)這里： ， 1利用遞推法解該差分方程可求得狀態(tài)概率為：當(dāng)(nc), 當(dāng)(n>c)， 系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)為：4.2實(shí)例4.2.1 問題提出排隊(duì)論, 就是對(duì)排隊(duì)現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的理論,也稱隨機(jī)服務(wù)理論, 是運(yùn)籌學(xué)中一個(gè)獨(dú)立的分支。作為一種工具或方法, 已在許多行業(yè)的管理領(lǐng)域包括醫(yī)院的管理領(lǐng)域應(yīng)用。門

22、診注射室的服務(wù)工作, 是一種隨機(jī)性服務(wù), 即患者的到達(dá)時(shí)間、到達(dá)數(shù)量、注射所用時(shí)間, 都是一種隨機(jī)現(xiàn)象。這種服務(wù)以什么指標(biāo)才能比較客觀地表示、反映注射室的工作質(zhì)、工作效率？如何評(píng)價(jià)注射室的人員、設(shè)備配備的合理性？為此, 筆者擬用排隊(duì)論的理論和方法, 建立評(píng)價(jià)指標(biāo), 為尋求既不使患者排隊(duì)成龍, 又不浪費(fèi)醫(yī)院人力物力的最優(yōu)方案,提供科學(xué)依據(jù), 使注射室管理從經(jīng)驗(yàn)管理轉(zhuǎn)為科學(xué)管理。4.2.2 調(diào)查方法及數(shù)據(jù)處理調(diào)查內(nèi)容：（1）單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的患者數(shù)。（2）服務(wù)時(shí)間。調(diào)查方法(1)服務(wù)時(shí)間：從某患者進(jìn)人注射室開始記時(shí), 到該患者接受注射后走出注射室止。共隨機(jī)記錄了593人次的服務(wù)時(shí)間。(2)單位時(shí)間內(nèi)

23、到達(dá)的患者數(shù)：以5分鐘為一個(gè)時(shí)間單位,任意選取若干個(gè)時(shí)間單位，記錄每個(gè)5分鐘到達(dá)的患者數(shù)。共隨機(jī)抽取了168個(gè)時(shí)間單位。以上兩項(xiàng)調(diào)查，抽樣的時(shí)間均是分散的、隨機(jī)的，不可連續(xù)和集中抽樣。調(diào)查資料經(jīng)統(tǒng)計(jì)處理后如下：1、 單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的患者數(shù)單位時(shí)間（5分鐘）內(nèi)到達(dá)的患者數(shù)（人）頻數(shù)概率060.041150.092300.183340.204430.265160.096100.06790.05840.02910.01合計(jì)1681.002、 服務(wù)時(shí)間服務(wù)時(shí)間(分鐘)頻數(shù)概率11700.2922030.3431520.264560.09560.01660.01合計(jì)5931.00經(jīng)曲線擬合檢驗(yàn), 服務(wù)時(shí)

24、間的概率分布服從負(fù)指數(shù)分布, 單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)患者數(shù)的概率分布服從泊松分布。從而求出排隊(duì)系統(tǒng)的兩個(gè)重要參數(shù), 患者平均到達(dá)率和平均服務(wù)率。又因注射室內(nèi)有兩個(gè)注射凳服務(wù)臺(tái)C=2，故符合排隊(duì)論中M/M/C型排隊(duì)模型。應(yīng)用M/M/C型計(jì)算公式計(jì)算各項(xiàng)指標(biāo)。4.2.3模型求解（1）基本參數(shù) 1、患者平均到達(dá)率 2、平均服務(wù)率（2）注射室運(yùn)行狀態(tài)指標(biāo)（C=2） 1、服務(wù)強(qiáng)度說明注射室有79%的時(shí)間是忙期，21%的時(shí)間是空閑的。2、空閑概率：即注射室沒有病人的概率。 （3）反映患者排隊(duì)情況指標(biāo) 1、隊(duì)列長(zhǎng)：等待注射的患者數(shù)。 期望值 2、隊(duì)長(zhǎng)：隊(duì)列長(zhǎng)+正在接受注射的患者數(shù)。 期望值 3、 平均等待時(shí)間 4、平均逗留時(shí)間現(xiàn)假設(shè)只配備一名護(hù)士負(fù)責(zé)注射,即C=1,那么服務(wù)強(qiáng)度。在排隊(duì)論中，當(dāng)時(shí)，說明系統(tǒng)處于超負(fù)荷狀態(tài), 將會(huì)持續(xù)出現(xiàn)排隊(duì)成龍現(xiàn)象。故此時(shí)不可取的。4.2.4 討論1、排隊(duì)論的應(yīng)用, 可以為合理使用人力、物力提供客觀依據(jù)。由下表可見注射室現(xiàn)有的服務(wù)臺(tái)C=2時(shí)，注射室有71%的時(shí)間被利用，在等注射的人數(shù)為2.68個(gè)，等待時(shí)間為3.77分鐘。如果服務(wù)臺(tái)增為3個(gè)時(shí)，注射室將53%的時(shí)間被利用, 排隊(duì)等待的平均人數(shù)小于1，平均等待時(shí)間不足半分鐘。若服務(wù)臺(tái)增為4 個(gè), 排隊(duì)人數(shù)和排隊(duì)時(shí)間幾乎為0 , 但是注射室被利用的時(shí)間只有39% , 61%的時(shí)間處于空閑, 造成人力浪