1、WORD格式均值不等式歸納總結專業資料整理WORD格式1. (1) 假設a, bR ，那么 a2b22ab (2)假設 a,ba 2b 2R ，那么ab2時取“=2. (1) 假設a,bR*，那么abab (2)假設 a,bR*，那么 a b2 ab2時取“=當且僅當當且僅當a ba b專業資料整理WORD格式a b2(3)假設a, b*，那么ab(當且僅當ab 時取“=R2專業資料整理WORD格式3.假設假設x0，那么 x1(當且僅當x1 時取“=2xx0，那么 x12 (當且僅當 x1 時取“=x專業資料整理WORD格式假設 x0 ，那么x12即x12或 x 1-2(當且僅當ab 時取“=

2、xxx專業資料整理WORD格式4.假設ab0 ，那么ab2ba假設 ab0 ，那么abba5.假設a, bR ，那么(a b)22(當且僅當ab 時取“=2即ab2或ab-2 (當且僅當 ab 時取“=babaa 2b 2當且僅當 ab 時取“=2專業資料整理WORD格式ps.(1) 當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大(2) 求最值的條件“一正，二定，三取等(3) 均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值X圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用專業資料整理WORD格式應用一：求最值例 1：求以下函

3、數的值域111y3x22yx2x2x專業資料整理WORD格式11解： (1)y 3x 223x 2·6 值域為 6 ，+2x 22x2121(2) 當 x0 時， yxx·2；xx當 x0 時， yx111= x2x· =2xxx值域為，22 ，+解題技巧技巧一：湊項例 x5 ，求函數y 4 x21的最大值。44 x5解：因4x 5 0，所以首先要“調整符號，又(4 x2)1不是常數，所以對4 x 54x 2 要進展拆、湊項，54 x 0 ，y 4x 215 4x132 3 1x, 54x54x45當且僅當54x1，即 x1 時，上式等號成立，故當x1 時，yma

4、x1。4x5評注：此題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。技巧二：湊系數例 1. 當時，求 yx(82x) 的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式， 但其和不是定值。 注意到 2x (8 2 x) 8為定值，故只需將 y x(8 2x) 湊上一個系數即可。專業資料整理WORD格式當，即 x2 時取等號當 x2 時， yx(82x) 的最大值為8。專業資料整理WORD格式評注：此題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設 0x3，求函數 y4x(3 2x) 的最大值。232x32

5、x2解：y4x(392x) 2 2x(3 2x) 20x23 2x 022當且僅當 2x32x, 即 x30, 3時等號成立。42技巧三：別離例 3. 求yx27 x 10 ( x1) 的值域。x 1解析一：此題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有 x1的項，再將其別離。當,即時, y2 x 1)45 9 當且僅當x1時取“號。x1技巧四：換元解析二：此題看似無法運用均值不等式，可先換元，令 t=x 1，化簡原式在別離求最值。2t25t 44(t 1) 7(t1 +10ty=t5tt當,即 t=49當t=2即x1時取“號。時, y 2 t5t評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后

6、將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為AB( A 0, B 0) ，g(x)恒正y mg( x)g(x)或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。a技巧五：在應用最值定理求最值時， 假設遇等號取不到的情況， 結合函數f ( x)xx的單調性。例：求函數 yx25 的值域。x24專業資料整理WORD格式解：令 x24 t(t2) ，那么yx25241t12)x2xx24(t4t因 t0, t11 ，但 t1解得 t1 不在區間2,，故等號不成立，考慮單調性。tt因為 yt1在區間 1,單調遞增，所以在其子區間2,為單調遞增函數，故ty5 。2所以，所求函數的值域為5 ,。2

7、練習求以下函數的最小值，并求取得最小值時，x的值 .x23x 1 ,( x 0)111y2y2x, x3(3) y, x (0, )2sin xxx3sin x20x1，求函數yx(1x) 的最大值 .；30x2，求函數 yx(2 3x)3的最大值 .條件求最值1.假設實數滿足ab2 ，那么 3a3b的最小值是.分析：“和到“積是一個縮小的過程而，且 3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正數， 3a3b2 3a3b2 3a b6當 3a3b時等號成立，由 ab 2 及 3a3b得 ab 1即當 ab 1時， 3a3b的最小值是 6變式：假設 log 4 x log 4

8、 y112 ，求的最小值 .并求 x,y 的值xy技巧六：整體代換專業資料整理WORD格式屢次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否那么就會出錯。專業資料整理WORD格式2：x0, y 0 ，且191，求 xy 的最小值。xy錯 解 ：x 0, y 0 ， 且19，199故1x yx y 22 xy 12 xyxyxyxy min12 。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x y 2xy 等號成立條件是xy ，在1929等號成立條件是 19即 y9x ,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因xyxyxy此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否

9、有誤的一種方法。正解： x0, y 0, 191， x y x y19y9 x10 61016xyxyxy當且僅當 y9x 時，上式等號成立，又191 ，可得x4, y12時， x y min 16 。xyxy變式： 1假設 x, y R且 2 x y1，求11 的最小值xy(2)a, b, x, yR 且ab1 ，求xy 的最小值xy技巧七y 2 x，y 為正實數，且 x 21，求 x1y2的最大值 .2a 2b 2分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab。21同 時 還 應 化 簡1y2中y2前 面 的 系 數 為，x1y2 x21y21y 22· 2 x·2

10、22專業資料整理WORD格式下面將 x，1y 2分別看成兩個因式：221y 2y 211y 2x 2()2 x 223222x·22即 x1y22242 ·x1y 232224技巧八：ab為正實數， 2b30，求函數y1，的最小值 .ab aab分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或根本不等式求解，對此題來說，這種途徑是可行的；二是直接用根本不等式，對此題來說，因條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用根本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進展。專業資料整理WORD格式302b30 2b2b 2

11、30b專業資料整理WORD格式法一： a，ab·b專業資料整理WORD格式b1b1b1專業資料整理WORD格式由 a0得， 0b15專業資料整理WORD格式2t234t311616專業資料整理WORD格式令 t b+1，1t16， ab 2t 34 t專業資料整理WORD格式ttt專業資料整理WORD格式16專業資料整理WORD格式2t·t8專業資料整理WORD格式1專業資料整理WORD格式 ab18 y當且僅當t4，即b3， a6時，等號成立。專業資料整理WORD格式18專業資料整理WORD格式法二：由得：30 aba 2ba 2b 22 ab 30 ab專業資料整理WO

12、RD格式22 ab專業資料整理WORD格式令 uab那么u222 u300，52 u321 ab 3 2，ab18，y18點評：此題考察不等式ababa, b2R的應用、不等式的解法及運算能力；如何由不等式ab a2ba,bR 出發求得ab的X圍，關鍵是尋找到30a b與 ab 之間的關系，由此想到不等式a b2ab a,bR ，這樣將條件轉換為含 ab 的不等式，進而解得ab 的X圍.變式： 1.a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2. 假設直角三角形周長為 1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、 ，為正實數， 3x2 10，求函數 W3x2y的最值 .x yyab

13、a 2b 2解法一：假設利用算術平均與平方平均之間的不等關系，2，此題很2簡單3x 2y 2 3x2 2y2 23x2y25解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用根本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值條件靠攏。專業資料整理WORD格式W 0 ，W23x2y23x· 2y1023x· 2y10專業資料整理WORD格式(3x)2·(2y)210(3 x2y)20專業資料整理WORD格式 W202 5變式 : 求函數y2 x152 x( 1x5 ) 的最大值。22解析：注意到 2x1與 52x的和為定值。y 2( 2 x 1 52x )242(2

14、x1)(5 2 x) 4 (2 x 1) (5 2 x) 8又 y 0 ，所以0 y 2 2專業資料整理WORD格式當且僅當2x1 = 52x ，即x3 時取等號。2故 ymax2 2 。專業資料整理WORD格式評注：此題將解析式兩邊平方構造出“和為定值，為利用均值不等式創造了條件。總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用均值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式1a, b,c為兩兩不相等的實數，求證：a 2b2c2abbcca1正數a，b，c滿足abc1，求證： (1a)(1b)(1c)8abc例 6： a、b、cR ，且 a b c 1。求證：111111 8abc分析：不等式右邊數字8，使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2連乘，又111 ab c2bc ，可由此變形入手。aaaa解： a、b、cR a b c 1。11 a b c 2 bc。同理12 ac12 ab。，1aaa1b，1cabc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得1111112 bc 2ac 2ab8。當且僅當 a b c1 時取等號。abcabc3應用三：均值不等式與恒成立問題例： x0, y0 且191 ，求使不等式 xy m 恒成立的實數m的取值X圍。xy解：令 xyk, x 0, y0,