1、高中平面幾何定理匯總及證明1. 共邊比例定理有公共邊AB的兩個三角形的頂點分別是P、Q，AB與PQ的連線交于點M，則有以下比例式成立： PAB的面積： QAB的面積PM：QM. 證明：分如下四種情況，分別作三角形高，由相似三角形可證SPAB=(SPAM-SPMB)=(SPAM/SPMB-1)×SPMB=(AM/BM-1)×SPMB(等高底共線，面積比=底長比）同理，SQAB=(AM/BM-1)×SQMB所以，SPAB/SQAB=SPMB/SQMB=PM/QM(等高底共線，面積比=底長比）定理得證！特殊情況：當PBAQ時，易知PAB與QAB的高相等，從而S

2、PAB=SQAB，反之，SPAB=SQAB，則PBAQ。 2. 正弦定理在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r為外接圓半徑，R為直徑）證明：現將ABC，做其外接圓，設圓心為O。我們考慮C及其對邊AB。設AB長度為c。若C為直角，則AB就是O的直徑，即c= 2r。  （特殊角正弦函數值） 若C為銳角或鈍角，過B作直徑BC交 O于C，連接C'A，顯然BC'= 2r=R。若C為銳角，則C'與C落于AB

3、的同側，此時C'=C（同弧所對的圓周角相等）在RtABC'中有若C為鈍角，則C'與C落于AB的異側，BC的對邊為a，此時C'=A，亦可推出  。考慮同一個三角形內的三個角及三條邊，同理，分別列式可得  。3. 分角定理在ABC中，D是邊BC上異于B,C或其延長線上的一點，連結AD，則有BD/CD=(sinBAD/sinCAD)*(AB/AC)。證明：SABD/SACD=BD/CD (1.1)SABD/SACD=(1/2)×AB×AD×sinBAD/(1/2) ×AC

4、5;AD×sinCAD = (sinBAD/sinCAD) ×(AB/AC) (1.2)由1.1式和1.2式得BD/CD=(sinBAD/sinCAD) ×(AB/AC) 4. 張角定理在ABC中，D是BC上的一點，連結AD。那么sinBADAC+sinCADAB=sinBACAD。證明：設1=BAD，2=CAD由分角定理，SABD/SABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin1/sinBAC) (BD/BC)*(sinBAC/AD)=sin1/AC (1.1)SACD/SABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin2/sinBAC) (CD/BC)*

5、(sinBAC/AD)=sin2/AB (1.2)(1.1)式+(1.2)式即得 sin1/AC+sin2/AB=sinBAC/AD 5. 帕普斯定理直線l1上依次有點A,B,C，直線l2上依次有點D,E,F，設AE,BD交于G，AF,DC交于I，BF,EC交于H，則G,I,H共線。6. 蝴蝶定理設S為圓內弦AB的中點，過S作弦CF和DE。設CF和DE各相交AB于點M和N，則S是MN的中點。證明：過O作OLED，OTCF，垂足為L、T，連接ON，OM，OS，SL，ST，易明ESDCSFES/CS=ED/FC根據垂徑定理得：LD=ED/2，FT=FC/2ES/CS=EL/CT又E=CESLCST

6、SLN=STMS是AB的中點所以OSABOSN=OLN=90°O，S，N，L四點共圓，（一中同長）同理，O，T，M，S四點共圓STM=SOM，SLN=SONSON=SOMOSABMS=NS 7. 西姆松定理過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。證明：若L、M、N三點共線，連結BP，CP，則因PLBC，PMAC，PNAB，有B、L、P、N和P、M、C、L分別四點共圓，有NBP = NLP = MLP= MCP.故A、B、P、C四點共圓。若A、P、B、C四點共圓，則NBP= MCP。因PLBC，PMAC，PNAB，有B、L

7、、P、N和P、M、C、L四點共圓，有NBP = NLP= MCP= MLP.故L、M、N三點共線。西姆松逆定理：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。證明：PMAC，PNAB ,所以A,M,N,P共圓8. 清宮定理設P、Q為ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點，P關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F，則D、E、F在同一直線上.證明：A、B、P、C四點共圓，因此PCE=ABP點P和V關于CA對稱所以PCV=2PCE又因為P和W關于AB對稱，所以PBW=2ABP從這三個式子，有PCV=PB

8、W另一方面，因為PCQ和PBQ都是弦PQ所對的圓周角，所以PCQ=PBQ兩式相加，有PCV+PCQ=PBW+PBQ即QCV=QBW即QCV和QBW有一個頂角相等，因此但是，所以同理 ，于是根據梅涅勞斯定理的逆定理，D、E、F三點在同一直線上。9. 密克定理三圓定理：設三個圓C1, C2, C3交于一點O，而M, N, P分別是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交點。設A為C1的點，直線MA交C2于B，直線PA交C3于C。那么B, N, C這三點共線。逆定理：如果是三角形，M, N, P三點分別在邊AB, BC, CA上，那么AMP、BMN、CPN 的外接圓交于一點O。完全

9、四線形定理如果ABCDEF是完全四線形，那么三角形的外接圓交于一點 O，稱為密克點。四圓定理設C1, C2,C3, C4為四個圓，A1和B1是C1和C2的交點，A2和B2是C2 和C3的交點，A3和B3是C3和C4的交點，A4和B4是C1和C4的交點。那么A1, A2, A3, A4四點共圓當且僅當B1, B2, B3, B4四點共圓。證明：在ABC的BC,AC,AB邊上分別取點W,M,N，對AMN,BWN和CWM分別作其外接圓，則這三個外接圓共點。該定理的證明很簡單，利用“圓內接四邊形對角和為180度”及其逆定理。現在已知U是和的公共點。連接UM和UN，四邊形BNUW和四邊形CMUW分別是和

10、的內接四邊形，UWB+UNB=UNB+UNA=180度UWB=UNA。同理UWB+UWC=UWC+UMC=180度UWB=UMC。UMC+UMA=180度UNA+UMA=180度，這正說明四邊形ANUM是一個圓內接四邊形，而該圓必是，U必在上。10. 婆羅摩笈多定理圓內接四邊形ABCD的對角線ACBD，垂足為M。EFBC，且M在EF上。那么F是A D的中點。證明：ACBD，MEBCCBD=CMECBD=CAD，CME=AMFCAD=AMFAF=MFAMD=90°，同時MAD+MDA=90°FMD=FDMMF=DF，即F是AD中點逆定理：若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則一邊

11、中點與對角線交點的連線垂直于對邊。證明：MAMD，F是AD中點AF=MFCAD=AMFCAD=CBD，AMF=CMECBD=CMECME+BME=BMC=90°CBD+BME=90°EFBC11. 托勒密定理圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)圓內接四邊形ABCD，求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC證明：過C作CP交BD于P，使1=2，又3=4，ACDBCP得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC 。又ACB=DC

12、P，5=6，ACBDCP得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD 。 +得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC即AC·BD=AB·CD+AD·BC12. 梅涅勞斯定理當直線交三邊所在直線于點時，。證明：過點C作CPDF交AB于P，則兩式相乘得梅涅勞斯逆定理：若有三點F、D、E分別在邊三角形的三邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點共線。證明：先假設E、F、D三點不共線，直線DE與AB交于P。由梅涅勞斯定理的定理證明（如利用平行線分線段

13、成比例的證明方法）得：(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 AP/PB=AF/FB ； (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ； AB/PB=AB/FB ； PB=FB；即P與F重合。 D、E、F三點共線。13. 塞瓦定理在ABC內任取一點O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。ADC被直線BOE所截，(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1ABD被直線COF所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 /約分得：(DB

14、/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=114. 圓冪定理相交弦定理：如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點P，連接AD、BC，由于B與D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知：B=D，同理A=C，所以。所以有：，即：。割線定理：如圖，連接AD、BC。可知B=D，又因為P為公共角，所以有，同上證得。切割線定理：如圖，連接AC、AD。PAC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有PBC=D，又因為P為公共角，所以有 ，易證 圖，PA、PC均為切線，則PAO=PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此 。

15、所以PA=PC，所以 。綜上可知， 是普遍成立的。弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角度數的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數。點對圓的冪P點對圓O的冪定義為 點P在圓O內P對圓O的冪為負數；點P在圓O外P對圓O的冪為正數；點P在圓O上P對圓O的冪為0。三角形五心：內心：三角形三條內角平分線的交點外心：三角形三條邊的垂直平分線（中垂線）的相交點重心：三角形三邊中線的交點垂心：三角形的三條高線的交點旁心：三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心九點圓心：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點連結三角形各頂點與垂心所得三線段的

16、中點九點共圓的圓心15. 根心定理三個兩兩不同心的圓，形成三條根軸，則必有下列三種情況之一：（1） 三根軸兩兩平行；（2） 三根軸完全重合；（3） 三根軸兩兩相交，此時三根軸必匯于一點，該點稱為三圓的根心。平面上任意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點，這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。根軸定義：A與B的根軸L1：到A與B的切線相等的點。B與C的根軸L2：到B與C的切線相等的點。證明設A、B、C三個圓，圓心不重合也不共線。考察L1與L2的交點P。因為P在L1上，所以：P到A的切線距離=P到B的切線距離。因為P在L2上，所以：P到B的切線距離=P到C的切線距離

17、。所以：P到A的切線距離=P到B的切線距離=P到C的切線距離。也就是：P到A的切線距離=P到C的切線距離。所以：P在A與C的根軸上。所以：三個根軸交于一點。16. 雞爪定理設ABC的內心為I，A內的旁心為J，AI的延長線交三角形外接圓于K，則KI=KJ=KB=KC。證明：由內心和旁心的定義可知IBC=ABC/2，JBC=(180°-ABC)/2IBC+JBC=ABC/2+90°-ABC/2=90°=IBJ同理，ICJ=90°IBJ+ICJ=180°IBJC四點共圓，且IJ為圓的直徑AK平分BACKB=KC（相等的圓周角所對的弦相等）又IBK=I

18、BC+KBC=ABC/2+KAC=ABI+BAK=KIBKB=KI由直角三角形斜邊中線定理逆定理可知K是IJ的中點KB=KI=KJ=KC逆定理：設ABC中BAC的平分線交ABC的外接圓于K。在AK及延長線上截取KI=KB=KJ，其中I在ABC的內部，J在ABC的外部。則I是ABC的內心，J是ABC的旁心。證明：利用同一法可輕松證明該定理的逆定理。取ABC的內心I'和旁心J，根據定理有KB=KC=KI'=KJ'又KB=KI=KJI和I'重合，J和J重合即I和J分別是內心和旁心17. 費爾巴哈定理三角形的九點圓與其內切圓以及三個旁切圓相切設ABC的內心為I，九點圓的

19、圓心為V。三邊中點分別為L，M，N，內切圓與三邊的切點分別是P，Q，R，三邊上的垂足分別為D，E，F。不妨設AB>AC。假設I與V相切于點T，那么LT與I相交，設另一個交點為S。過點S作I的切線，分別交AB和BC于V，U，連接AU。又作兩圓的公切線TX，使其與邊AB位于LT的同側。由假設知XTL=LDT而TX和SV都是I的切線，且與弦ST所夾的圓弧相同，于是XTL=VST因此LDT=VST則UDT+UST=180°這就是說，S，T，D，U共圓。而這等價于：LU×LD=LS×LT又 LP²=LS×LT故有 LP²=LU×

20、LD另一方面，T是公共的切點，自然在V上，因此 L，D，T，N共圓，進而有LTD=LND由已導出的S，T，D，U共圓，得LTD=STD=180°-SUD=VUB=AVU-B而LND=NLB-NDB=ACB-NBD=C-B（這里用了LNAC，以及直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半）所以，就得到AVU=C注意到AV，AC，CU，UV均與I相切，于是有AIR=AIQUIS=UIPRIS=QIS三式相加，即知AIU=180°也即是說，A，I，U三點共線。另外，AV=AC，這可由AIVAIC得到。（這說明，公切點T可如下得到：連接AI，并延長交BC于點U，過點U作I的切線，切點為S，

21、交AB于V，最后連接LS，其延長線與I的交點即是所謂的公切點T。）連接CV，與AU交于點K，則K是VC的中點。前面已得到：LP²=LU×LD而2LP=(BL+LP)-(CL-LP)=BP-CP=BR-CQ=(BR+AR)-(CQ+AQ)=AB-AC=AB-AV=BV即 LP=BV然而LK是CBV的中位線于是 LK=BV因之 LP=LK故 LK²=LU×LD由于以上推導均可逆轉，因此我們只需證明： LK²=LU×LD。往證之這等價于：LK與圓KUD相切于是只需證：LKU=KDU再注意到 LKAB（LK是CBV的中位線），即有LKU=BA

22、U又AU是角平分線，于是LKU=CAU=CAK于是又只需證：CAK=KDU即證：CAK+CDK=180°這即是證：A，C，D，K四點共圓由于 AKKC（易得），ADDC所以 A，C，D，K確實共圓。這就證明了I與V內切。旁切圓的情形是類似的。證畢另略證：OI2=R2-2RrIH2=2r2-2Rr'OH2=R2-4Rr'(其中r是垂心H的垂足三角形的內切圓半徑，R、r是三角形ABC外接圓和內切圓半徑)FI2=1/2(OI2+IH2)-1/4OH2=(1/2R-r)2FI=1/2R-r這就證明了九點圓與內切圓內切（九點圓半徑為外接圓半徑一半。F是九點圓圓心，I為內心）18. 莫利定理將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形證明：設ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ為各角的三等分線，三邊長為a,b,c,三內角為3，3，3，則+=60°。在ABC中，由正弦定理，得AF=csin/sin(+)。不失一般性，ABC外接圓直徑為1，則由正弦定理，知c=sin3，所以AF=（sin3*sin）/sin(60°-)= sin*s