1、2015-2016學年北京市清華附中高一（下）期末數學試卷（理科）一、選擇題1已知集合U=1，2，3，4，集合A=1，3，4，B=2，4，則集合（UA）B=（）A2B4C1，3D2，42x20是x0的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也必要條件3在等比數列an中，a2=6，a3=18，則a1+a2+a3+a4=（）A26B40C54D804設等差數列an的公差為d，前n項和為Sn若a1=d=1，則的最小值為（）A10BCD +25為了得到函數y=sin（2x）的圖象，可以將函數y=sin2x的圖象（）A向右平移個單位長度B向左平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個

2、單位長度6已知平面向量，滿足|=2，（ +2）（）=6，則與的夾角為（）ABCD7己知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的xR，都有f（x+2）=f（x）當0x1對，f（x）=x2若直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象在0，2內恰有兩個不同的公共點，則實數a的值是（）A0B0或C0或D或8設ABC，P0是邊AB上一定點，滿足，且對于邊AB上任一點P，恒有則（）AABC=90°BBAC=90°CAB=ACDAC=BC二、填空題9已知兩點A（1，1），B（1，2），若=，則C點坐標是_10在等差數列an中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，則此數列的前

3、13項之和等于_11設函數，則實數a的取值范圍是_12若正數a，b滿足a+b=10，則+的最大值為_13在平面直角坐標系xOy中，A（1，0），函數y=ex的圖象與y軸的交點為B，P為函數y=ex圖象上的任意一點，則的最小值_14已知點A（，），B（，1），C（，0），若這三個點都在函數f（x）=sinx的圖象上，則正數的 所有取值的集合為_三、解答題.15已知an是等差數列，滿足a1=3，a4=12，數列bn滿足b1=4，b4=20，且bnan為等比數列（1）求數列an和bn的通項公式；（2）求數列bn的前n項和16已知函數f（x）=sinxcosx+cos2x（1）求f（x）的最小正周期；

4、（2）求f（x）的單調遞減區間；（3）若函數f（x）在區間0，m上恰好有10個零點，求正數m的最小值17如圖，A、B是單位圓O上的點，C、D分別是圓O與x軸的兩個交點，ABO為正三角形（1）若點A的坐標為，求cosBOC的值；（2）若AOC=x（0x），四邊形CABD的周長為y，試將y表示成x的函數，并求出y的最大值18已知函數f（x）=（x2+ax+a）ex，其中aR（1）求函數f（x）的單調區間；（2）若存在m，n（2，3），且mn，使得f（m）=f（n），求實數a的取值范圍19設函數f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中aR（1）當a=0時，求證：f（x）x，對任意的x（0，+）成

5、立；（2）討論函數f（x）極值點的個數，并說明理由；（3）若x0，f（x）0成立，求a的取值范圍20設集合S=x|x=，kN*（1）請寫出S的一個4元素，使得子集中的4個元素恰好構成等差數列；（2）若無窮遞減等比數列an中的每一項都在S中，且公比為q，求證：q（0，）；（3）設正整數n1，若S的n元子集A滿足：對任意的x，yA，且xy，有|xy|，求證：n152015-2016學年北京市清華附中高一（下）期末數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題1已知集合U=1，2，3，4，集合A=1，3，4，B=2，4，則集合（UA）B=（）A2B4C1，3D2，4【考點】交、并、補集的混合運算【分析

6、】根據補集與并集的定義，進行計算即可【解答】解：集合U=1，2，3，4，A=1，3，4，B=2，4，UA=2，（UA）B=2，4故選：D2x20是x0的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據x20，得到x的范圍和x0比較即可【解答】解：由x20得到：x0，而x0推不出x0，不是充分條件，由x0能推出x0，是必要條件，x20是x0的必要不充分條件，故選：B3在等比數列an中，a2=6，a3=18，則a1+a2+a3+a4=（）A26B40C54D80【考點】等比數列的前n項和【分析】根據等比數列an中，a2=6，a

7、3=18，求得數列的首項與公比，即可求和【解答】解：等比數列an中，a2=6，a3=18，=3， =2a1+a2+a3+a4=2+618+54=40故選B4設等差數列an的公差為d，前n項和為Sn若a1=d=1，則的最小值為（）A10BCD +2【考點】等差數列的前n項和【分析】由已知條件推導出=，由此利用均值定理取最小值【解答】解：等差數列an的公差為d，前n項和為Sna1=d=1，=1+=+=，當且僅當，即n=4時，取最小值故選：B5為了得到函數y=sin（2x）的圖象，可以將函數y=sin2x的圖象（）A向右平移個單位長度B向左平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度【考點

8、】五點法作函數y=Asin（x+）的圖象【分析】先將函數變形，再利用三角函數的圖象的平移方法，即可得到結論【解答】解：函數y=sin（2x）=sin2（x），為了得到函數y=sin（2x）的圖象，可以將函數y=sin2x的圖象向右平移個單位長度故選A6已知平面向量，滿足|=2，（ +2）（）=6，則與的夾角為（）ABCD【考點】平面向量數量積的運算【分析】根據條件進行向量數量積的運算即可得出，從而可求出的值，進而便可得出向量的夾角【解答】解：；=6；故選：C7己知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的xR，都有f（x+2）=f（x）當0x1對，f（x）=x2若直線y=x+a與函數y=f（

9、x）的圖象在0，2內恰有兩個不同的公共點，則實數a的值是（）A0B0或C0或D或【考點】根的存在性及根的個數判斷；函數奇偶性的性質【分析】由題意可得函數的圖象，屬性結合可得當直線為圖中的m，或n是滿足題意，求出其對應的a值即可【解答】解：由對任意的xR，都有f（x+2）=f（x）可知，函數的周期為T=2，結合函數為偶函數，且當0x1對，f（x）=x2可作出函數y=f（x）和直線y=x+a的圖象，當直線為圖中的直線m，n時，滿足題意，易知當直線為m時，過原點，a=0，當直線為n時，直線與曲線相切，聯立，消y可得x2xa=0，由=1+4a=0可得a=，故a的值為0，或，故選C8設ABC，P0是邊A

10、B上一定點，滿足，且對于邊AB上任一點P，恒有則（）AABC=90°BBAC=90°CAB=ACDAC=BC【考點】平面向量數量積的運算【分析】設|=4，則|=1，過點C作AB的垂線，垂足為H，在AB上任取一點P，設HP0=a，則由數量積的幾何意義可得|2（a+1）|+a0恒成立，只需=（a+1）24a=（a1）20即可，由此能求出ABC是等腰三角形，AC=BC【解答】解：設|=4，則|=1，過點C作AB的垂線，垂足為H，在AB上任取一點P，設HP0=a，則由數量積的幾何意義可得，=|=|2（a+1）|，=a，于是恒成立，整理得|2（a+1）|+a0恒成立，只需=（a+1）

11、24a=（a1）20即可，于是a=1，因此我們得到HB=2，即H是AB的中點，故ABC是等腰三角形，所以AC=BC故選：D二、填空題9已知兩點A（1，1），B（1，2），若=，則C點坐標是【考點】平面向量的坐標運算【分析】利用向量的坐標運算和數乘運算即可得出【解答】解： =，=故答案為：10在等差數列an中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，則此數列的前13項之和等于26【考點】數列的函數特性【分析】利用等差數列的性質與求和公式即可得出【解答】解：等差數列an中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，6a4+6a10=24，2a7=4，即a7=2則此數列的前13項之

12、和S13=13a7=26故答案為：2611設函數，則實數a的取值范圍是3a1【考點】其他不等式的解法；分段函數的解析式求法及其圖象的作法；指數函數的單調性與特殊點【分析】由于函數為分段函數，可分別討論當a0和a0兩種情況，進而求出實數a的取值范圍【解答】解：函數f（x）為分段函數，當a0時，1，得0a1當a0時，1，解得a3，即3a0，故答案為：3a112若正數a，b滿足a+b=10，則+的最大值為【考點】函數的最值及其幾何意義【分析】對無理數可以先求平方，再利用均值定理求出最值，最后得出原表達式的最大值【解答】解：正數a，b滿足a+b=10，令y=+，則y2=a+2+b+3+2，a+b=10

13、，15=a+2+b+32（當a+2=b+3時等號成立），y230，+的最大值為故答案為：13在平面直角坐標系xOy中，A（1，0），函數y=ex的圖象與y軸的交點為B，P為函數y=ex圖象上的任意一點，則的最小值1【考點】平面向量數量積的運算【分析】由題意可得向量的坐標，進而可得=x0+，構造函數g（x）=x+ex，通過求導數可得其極值，進而可得函數的最小值，進而可得答案【解答】解：由題意可知A（1，0），B（0，1），故=（0，1）（1，0）=（1，1），設P（x0，），所以=（x0，），故=x0+，構造函數g（x）=x+ex，則g（x）=1+ex，令其等于0可得x=0，且當x0時，g（x）

14、0，當x0時，g（x）0，故函數g（x）在x=0處取到極小值，故gmin（x）=g（0）=1，故的最小值為：1故答案為：114已知點A（，），B（，1），C（，0），若這三個點都在函數f（x）=sinx的圖象上，則正數的 所有取值的集合為|=8k+2，kN|=12k+2，或12k+4，kN2，4【考點】y=Asin（x+）中參數的物理意義【分析】由條件利用正弦函數的圖象特征，分類討論，求得每種情況下正數的值，從而得出結論【解答】解：若三個點都在函數f（x）=sinx的圖象上，則有sin（）=，sin（）=1，sin=0，則，即，求得正數的 所有取值的集合為：|=8k+2，kN|=12k+2，或

15、12k+4，kN2，4故答案為：|=8k+2，kN|=12k+2，或12k+4，kN2，4三、解答題.15已知an是等差數列，滿足a1=3，a4=12，數列bn滿足b1=4，b4=20，且bnan為等比數列（1）求數列an和bn的通項公式；（2）求數列bn的前n項和【考點】數列的求和；數列遞推式【分析】（1）利用等差數列、等比數列的通項公式先求得公差和公比，即可求數列的通項公式；（2）利用分組求和的方法求解數列的和，由等差數列及等比數列的前n項和公式即可求解數列的和【解答】解：（1）設等差數列an的公差為d，由題意得d=3an=a1+（n1）d=3n（n=1，2，）數列an的通項公式為：an=

16、3n；設等比數列bnan的公比為q，由題意得：q3=8，解得q=2bnan=（b1a1）qn1=2n1從而bn=3n+2n1（n=1，2，）數列bn的通項公式為：bn=3n+2n1；（2）由（1）知bn=3n+2n1（n=1，2，）數列3n的前n項和為n（n+1），數列2n1的前n項和為=2n1數列bn的前n項和為n（n+1）+2n116已知函數f（x）=sinxcosx+cos2x（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的單調遞減區間；（3）若函數f（x）在區間0，m上恰好有10個零點，求正數m的最小值【考點】正弦函數的單調性；三角函數的周期性及其求法【分析】（1）根據二倍角及輔助角公

17、式求得f（x）的解析式，利用周期公式即可求得f（x）的最小正周期；（2）令2k+2x+2k+，函數f（x）單調遞減，解得f（x）的單調遞減區間；（3）根據正弦函數圖象，f（x）=0，sin（2x+）=0，解得2x+=k，（kZ），當k=10，為f（x）的第10個零點，求得m的最小值【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+，=sin（2x+）最小正周期T=，f（x）的最小正周期；（2）令2k+2x+2k+，（kZ），解得：k+xk+，（kZ），函數的單調遞減區間為：k+，k+（kZ）；（3）函數f（x）在區間0，m上恰好有10個零點，由正弦函數周期性，可

18、知：f（x）=0，sin（2x+）=0，解得：2x+=k，（kZ），x=，當k=10，x=，正數m的最小值17如圖，A、B是單位圓O上的點，C、D分別是圓O與x軸的兩個交點，ABO為正三角形（1）若點A的坐標為，求cosBOC的值；（2）若AOC=x（0x），四邊形CABD的周長為y，試將y表示成x的函數，并求出y的最大值【考點】在實際問題中建立三角函數模型；三角函數的最值；平面直角坐標系與曲線方程【分析】（1）根據ABO為正三角形求得BOA，利用點A的坐標求得sinAOC和cosAOC，進而利用兩角和公式求得cosBOC（2）利用余弦定理分別求得AC和BD，進而根據ABO為正三角形求得AB，

19、CD可知，四邊相加得到y的函數解析式，利用兩角和公式化簡整理后，利用x的范圍和正弦函數的性質求得函數的最大值【解答】解：（1）ABO為正三角形，BOA=60°，點A的坐標為，tanAOC=，sinAOC=，cosAOC=，cosBOC=cos（AOC+60°）=cosAOCcos60°sinAOCsin60°=（2）由余弦定理可知AC=2sin，BD=2sin（），AB=OB=1，CD=2，=，0x當x=時，ymax=518已知函數f（x）=（x2+ax+a）ex，其中aR（1）求函數f（x）的單調區間；（2）若存在m，n（2，3），且mn，使得f（m）

20、=f（n），求實數a的取值范圍【考點】利用導數研究函數的單調性【分析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）結合（1）得到f（x）在（0，2a）遞增，在（2a，+）遞減，滿足條件，從而得到關于a的不等式，解出即可【解答】解：（1）f（x）=（x2+ax+a）ex，f（x）=，a20即a2時，2a0，令f（x）0，解得：2ax0，令f（x）0，x0或x2a，f（x）在（，2a）遞減，在（2a，0）遞增，在（0，+）遞減；a2=0即a=2時，f（x）=0，f（x）在R遞減；a20即a2時，2a0，令f（x）0，解得：0x2a，令f（x）0，x2a或x0，f（x）在（

21、，0）遞減，在（0，2a，）遞增，在（2a，+）遞減；（2）由（1）得：22a3，解得：1a019設函數f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中aR（1）當a=0時，求證：f（x）x，對任意的x（0，+）成立；（2）討論函數f（x）極值點的個數，并說明理由；（3）若x0，f（x）0成立，求a的取值范圍【考點】利用導數研究函數的極值；導數在最大值、最小值問題中的應用【分析】（1）求出f（x）的表達式，令g（x）=ln（x+1）x，根據函數的單調性求出g（x）g（0）=0，從而證出結論；（2）求出f（x）的導數，令g（x）=2ax2+axa+1，通過討論a的范圍，判斷函數的單調性，從而求出函數

22、的極值的個數；（3）通過討論a的范圍，結合函數的單調性求出滿足題意的a的范圍即可【解答】解：（1）a=0時，f（x）=ln（x+1），定義域是（1，+），令g（x）=ln（x+1）x，g（x）=1=0，g（x）在（0，+）遞減，g（x）g（0）=0，故f（x）x，對任意的x（0，+）成立；（2）函數f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中aR，x（1，+）f（x）=，令g（x）=2ax2+axa+1（i）當a=0時，g（x）=1，此時f（x）0，函數f（x）在（1，+）上單調遞增，無極值點（ii）當a0時，=a28a（1a）=a（9a8）當0a時，0，g（x）0，f（x）0，函數f（x）在

23、（1，+）上單調遞增，無極值點當a時，0，設方程2ax2+axa+1=0的兩個實數根分別為x1，x2，x1x2x1+x2=，x1，x2由g（1）0，可得1x1，當x（1，x1）時，g（x）0，f（x）0，函數f（x）單調遞增；當x（x1，x2）時，g（x）0，f（x）0，函數f（x）單調遞減；當x（x2，+）時，g（x）0，f（x）0，函數f（x）單調遞增因此函數f（x）有兩個極值點（iii）當a0時，0由g（1）=10，可得x11x2當x（1，x2）時，g（x）0，f（x）0，函數f（x）單調遞增；當x（x2，+）時，g（x）0，f（x）0，函數f（x）單調遞減因此函數f（x）有一個極值點綜上所述：當a0時，函數f（x）有一個極值點； 當0a時，函數f（x）無極值點； 當a時，函數f（x）有兩個極值點 （3）由（2）可知：當0a時，函數f（x）在（0，+）上單調遞增f（0）=0，x（0，+）時，