1、原子物理學習題解答1.1 電子和光子各具有波長0.20nm,它們的動量和總能量各是多少?解：由德布羅意公式,得：1.2 銫的逸出功為1.9eV,試求: (1)銫的光電效應閾頻率及閾值波長;(2)如果要得到能量為1.5eV的光電子,必須使用多大波長的光照射?解：(1) 由愛因斯坦光電效應公式知,銫的光電效應閾頻率為:閾值波長: (2) 故: 1.4 若一個電子的動能等于它的靜止能量,試求：(1)該電子的速度為多大?(2)其相應的德布羅意波長是多少?解：（1）由題意知，所以 （2）由德布羅意公式得： 1.5 (1)試證明: 一個粒子的康普頓波長與其德布羅意波長之比等于,式中和分別是粒子的靜止能量和

2、運動粒子的總能量. (2)當電子的動能為何值時,它的德布羅意波長等于它的康普頓波長?(1)證明：粒子的康普頓波長:德布羅意波長: 所以, (2)解：當時，有，即：故電子的動能為：1.6 一原子的激發態發射波長為600nm的光譜線,測得波長的精度為,試問該原子態的壽命為多長?解： 由海森伯不確定關系得：1.7 一個光子的波長為300nm,如果測定此波長精確度為.試求此光子位置的不確定量.解： ，或：由海森伯不確定關系得：2.2 當一束能量為4.8MeV的粒子垂直入射到厚度為cm的金箔上時,探測器沿20°方向每秒紀錄到個粒子.試求: (1)僅改變探測器安置方位,沿60°方向每秒

3、可紀錄到多少個粒子?(2)若粒子能量減少一半,則沿20°方向每秒可測得多少個粒子?(3) 粒子能量仍為4.8MeV,而將金箔換成厚度相同的鋁箔, 則沿20°方向每秒可紀錄到多少個粒子?(金和鋁的密度分別為19.3g/cm3和2.7g/cm3,原子量分別為197和27,原子序數分別為79和13.忽略核的反沖).解：由公式, (1) 當時, 每秒可紀錄到的粒子滿足:故 (個)(2) 由于,所以 (個)(3) 由于,故這時:(個)2.3 動能為40MeV的粒子和靜止的鉛核(Z=82)作對心碰撞時的最小距離是多少?解：由公式: , 當對心碰撞時,則2.4 動能為0.87MeV的質子

4、接近靜止的汞核(Z=80),當散射角時,它們之間的最小距離是多少?解：最小距離為: 2.5 試證明粒子散射中粒子與原子核對心碰撞時兩者間的最小距離是散射角為90°時相對應的瞄準距離的兩倍。證明：由庫侖散射公式：，當時，這時而對心碰撞的最小距離： 證畢。2.6 已知氫的賴曼系、巴爾末系和帕邢系的第一條譜線的波長分別為：121.6nm,656.3nm和1875.1nm.由此還可以求出哪些系的哪幾條譜線來?它們的波長各為多少?解: 由題意知: (1) (2) (3)由(1)+(2)式得: 由(1)+(2)+(3)式得: 由(2)+(3)式得: 其中,和分別是賴曼系第二、三條譜線; 是巴爾末

5、系第二條譜線.2.7 試由氫原子里德伯常數計算基態氫原子的電離電勢和第一激發電勢.解: 電子經電勢差為U的電場加速后,若它得到的動能全部被原子吸收恰能使處于基態的原子電離,則U稱為該原子的電離電勢; 若它得到的動能全部被原子吸收恰能使處于基態的原子激發到第一激發態,則U稱為該原子的第一激發電勢.由 , ，對于基態氫原子, Z=1, 由 得電離電勢為13.64V由 得第一激發電勢為10.23V.2.8 對于氫原子、一次電離的氦離子He+和兩次電離的鋰離子Li2+，分別計算它們的：（1）第一、第二玻爾軌道半徑及電子在這些軌道上的速度；（2）電子在基態的結合能；（3）第一激發電勢及共振線的波長。解：

6、（1）He+：(m/s)(m/s)Li2+：(m/s)(m/s)（2）電子在基態的結合能等于把電子從基態電離所需要的能量：對于He+有：(eV)對于Li2+有：(eV)（3）對于He+有：(eV)所以He+的第一激發電勢為40.8V對于Li2+有：(eV)所以Li2+的第一激發電勢為91.8V.共振線波長:2.9 能量為12.6eV的電子射入氫原子氣體中，氣體將發出哪些波長的輻射？解： 由，得，而，但，所以氣體將發出以下三種波長的輻射：2.11 一次電離的氦離子He+從第一激發態向基態躍遷時所輻射的光子，能使處于基態的氫原子電離，從而放出電子，試求該電子的速度。解：He+所輻射的光子能量：氫原

7、子電離所需要的能量為，所以，放出的電子動能為，速度為： m/s2.14 已知氫和重氫的里德伯常數之比為0.999728,而它們的核質量之比為mH/mD=0.50020.計算質子質量與電子質量之比.解: 由和知:解得: 2.15 當靜止的氫原子從第一激發態向基態躍遷放出一個光子時,(1)試求這個氫原子所獲得的反沖速度是多大?(2)試估計氫原子的反沖能量與所發光子能量之比.解: (1) 放出的光子的動量: 由動量守恒定律得氫原子的反沖速度為: (2) 反沖能量 顯然 可見反沖能量是可以忽略不計的.3.2 一粒子在一維無限深勢井中運動，已給，求歸一化常數A；又若，A=？，粒子在何處幾率最大？解：由歸

8、一化條件，在粒子可能出現的空間發現粒子的總幾率等于1，因此：得: .同理，若，由歸一化條件可得：則 ， .粒子出現幾率最大處對應:,有 易求得 (由波函數的連續性，x=0,或x=a兩個解舍去)所以, 粒子在處出現的幾率最大.4.2 鈉原子基態為3s，已知其主線系第一條線（共振線）波長為589.6nm，漫線系第一條線的波長為819.3nm，基線系第一條線的波長為1845.9nm，主線系的系限波長為241.3nm，試求3S,3P,3D,4F各譜項的項值。解：由題意知：由 得： 由 得： 又由 得： 4.4 處于3D激發態的鋰原子，向低能級躍遷時可產生哪些光譜線？在能級圖上表示出來：（1）不考慮精細

9、結構；（2）考慮精細結構。解：（1）不考慮精細結構時，如圖（a）所示。32S1/222S1/222P3/222P1/232P3/232P1/232D5/232D3/2（2）考慮精細結構時，如圖（b）所示。2S2P3S3P3D(圖a) （圖b）4.6 鈉原子共振線的雙線波長分別為589.0nm和589.6nm，試求3P能級精細結構的裂距。解：5.1某原子含有若干封閉殼層和封閉次殼層,當未滿次殼層內有同科電子p5(或p4)時,試證明按L-S耦合,可能的原子態和單個p電子(或p2)可能形成的原子態相同.同樣可推知,原子中未滿次殼層同科電子d9與d電子、(d8與d2電子) 可能形成的原子態相同.證明:

10、 若未滿次殼層的情況能容納的電子總數為N=2(2l+1).未滿殼時的電子數為x,則(nl)x與(nl)N-x的角動量L和自旋角動量S相等,這是由于滿殼層時有, ; , 于是(nl)x的總角動量對應的與(nl)N-x的總角動量對應的等值反號,它們對應的角動量大小L是相同的.類似地, 與也是等值反號,對應的自旋角動量大小S相同.這樣,對l=1的p次殼層,由于最多可容納6個電子,所以p5與p1或者p4與p2的電子組態具有相同的角量子數L和自旋量子數S,因此可能形成的原子態相同.同樣,對于同科d電子,由于滿殼層時有10個電子,所以d9與d或d8與d2電子的各角量子數分別相等,可能形成的原子態也相同.5

11、.2已知氦原子的2p3d 組態所構成的光譜項之一為3D,問這兩個電子的軌道角動量L1和L2之間的夾角,自旋角動量S1和S2之間的夾角分別是多少?解: 對組態為2p3d的兩個電子l1 =1 , l2 =2 , s1 = s2 = 1/ 2.軌道角動量大小為 , 它們構成的光譜項3D對應的 l = 2 , s = 1即它們總的軌道角動量L的大小為 它們總的自旋角動量S的大小為 由L = L1 + L2 ,如右圖所示,可得軌道角動量L1和L2之間的夾角則: , .類似地自旋角動量S1和S2的大小為 則自旋角動量S1和S2之間的夾角得: , .5.3按L-S耦合寫出下列組態所組成的全部原子態,并寫出原

12、子態符號.(1) (2) (3) (4) (5) 解: (1) , , ® , .構成1S0,3S1.(2) , , ® , .構成的原子態如表(2).(3) , , ® , .構成的原子態如表(3).(4) , , ® , .構成的原子態如表(4).(5) , ® , .構成的原子態如表(5).S=0S=1L=11P13P2,1,0(2) S=0S=1L=21D23D3,2,1(3)S=0S=1L=11P13P2,1,0L=21D23D3,2,1L=31F33F4,3,2(4) S=0S=1L=01S03S1L=11P13

13、P2,1,0L=21D23D3,2,1L=31F33F4,3,2L=41G43G5,4,3(5)3s1S04s1S03p1P14s3S13p3P23p3P13p3P0(5.4題圖)5.4已知Mg原子(Z=12)的光譜項的各多重態(原子態)屬于L-S耦合,則該原子由3s4s組態向3s3s組態躍遷時,將出現哪些譜線?畫出能級躍遷圖.(提示:中間有3s3p組態,三重態為正常次序)解: 3s3s構成基態1S0；3s3p構成3p1P1和3p3P2,1,0; 3s4s構成4s1S0和4s3S1。出現的譜線如圖所示：5.6 已知He原子的一個電子被激發到2p軌道,而另一個電子還在1s軌道,試作出能級躍遷圖來

14、說明可能出現哪些光譜線的躍遷.1S01P13S13P13P03P21s2s2p2p2s(5.6題圖)解: 原子基態為1s1s1S0;激發態1s2p構成原子態1s2p1P1和1s2p3P2,1,0.激發態1s2s構成原子態1s2s1S0和1s2s3S1. 可能出現的光譜線的躍遷如圖所示.5.7 Pb原子基態的兩個價電子都在6p軌道,若其中一個價電子被激發到7s軌道,而其價電子間相互作用屬于j-j耦合.問此時Pb原子可能有哪些狀態.解: 鉛原子的基態為6p6p3P0(6p6p構成的原子態有1S0;3P2,1,0;1D2);激發態6p7s的兩個電子量子數 ,s1=1/2; l2=0,s2=1/2 由

15、j-j耦合可得: j1=3/2,1/2 ;j2=1/2.由j1=1/2, j2=1/2 得j=1,0 構成(1/2,1/2)1,(1/2,1/2)0兩個原子態;j1=3/2, j2=1/2 得j=2,1 構成(3/2,1/2)2,(3/2,1/2)1兩個原子態.可見,共有4個不同的原子態.1S01P13S13P13P03P22s3s3p3p3s(5.8題圖)2p2p5.8鈹原子基態的電子組態是2s2,若其中有一個電子被激發到3p態,按L-S耦合可構成哪些原子態?寫出有關的原子態符號,從這些原子態向低能態躍遷時,可以產生幾條光譜線?解: 鈹原子(Z=4)基態為2s21S0,對于激發態2s3p,

16、, , , 所以, 構成的原子態有:1P1,3P2,1,0四個原子態;2s3s組態有1S0,3S1兩個譜項,2s2p組態有1P1,3P2,1,0,可以產生的光譜線如圖所示.5.9 求出第二周期個原子基態光譜項,并與表5.1.3相比較.解: Li(鋰)原子,Z=3,基態電子組態1s,譜項:2S1/2. (l=0,s=1/2)Be(鈹)原子,Z=4,基態電子組態2s2,譜項:1S0. (l=0,s=0)B(硼)原子,Z=5,基態電子組態2p,譜項:2P1/2. (l=1,s=1/2)C(碳)原子,Z=6,基態電子組態2p2.l1=l2=1,s1=s2=1/2,按照泡利原理,ml=(1,0,-1),

17、 ,(ml1,ms1)與(ml2,ms2)中至少應有一個不相同.依據洪特定則,S最大取1,這時L最大為1.又由于這時兩個電子少于半滿電子數,為正序,故基態譜項為3P0.N(氮)原子,Z=7,基態電子組態2p3.l1=l2=l3=1,s1=s2=1/2,ml=(1,0,-1),ms=±1/2,當三個電子ml分別取1,0,-1時,它們的自旋磁量子數可相同,于是取S=3/2,這時,故基態譜項為4S3/2.O(氧)原子,Z=8,基態電子組態2p4.在2p3的基礎上再加一個2p電子,這時最大S等于1, L最大為1.故基態譜項為3P2.(4個電子大于半滿電子數,反序)F(氟)原子,Z=9,基態電子組態2p5.在2p3的基礎上再加兩個2p電子,這時最大S等于1/2, L=1.故基態譜項為2P3/2.(反序)Ne(氖)原子,Z=10,基態電子組態2p6.相當于兩個2p3相加,這時S=0,L=0.故基態為1S0.5.10.(1)波長為0.21nm的X射線在NaCl晶體的天然晶面上“反射”.已知掠入角為21°5