1、圓與方程一、圓的標準方程1、情境設置：在直角坐標系中，確定直線的基本要素是什么？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要素又是什么呢？什么叫圓？在平面直角坐標系中，任何一條直線都可用一個二元一次方程來表示，那么，圓是否也可用一個方程來表示呢？如果能，這個方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：確定圓的基本條件為圓心和半徑，設圓的圓心坐標為A(a,b)，半徑為r。（其中a、b、r都是常數，r>0）設M(x,y)為這個圓上任意一點，那么點M滿足的條件是（引導學生自己列出）P=M|MA|=r,由兩點間的距離公式讓學生寫出點M適合的條件化簡可得： 引導學生自己證明為圓的方程，得出結論。方程就是

2、圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程，我們把它叫做圓的標準方程。1. 圓的標準方程：方程表示圓心為A（a，b），半徑長為r的圓.2. 求圓的標準方程的一般步驟為：(1)根據題意，設所求的圓的標準方程為(2)根據已知條件，建立關于a，b，r的方程組；(3)解此方程組，求出a，b，r的值； .(4)將所得的a，b，r的值代回所設的圓的方程中，就得到所求的圓的標準方程3. 求圓的標準方程的常用方法：（1）幾何法：根據題意，求出圓心坐標與半徑，然后寫出標準方程；（2）待定系數法：先根據條件列出關于a，b，r的方程組，然后解出a，b，r，再代入標準方程.二、圓的一般方程1.方程表示的曲線不一定是圓，只

3、有當時，它表示的曲線才是圓，我們把形如的表示圓的方程稱為圓的一般方程.2. 對于方程 .(1)當D2E24F0時，方程表示（1）當時，表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓；（2）當時，方程只有實數解，即只表示一個點（-，-）;（3）當時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形3.圓的一般方程的特點：(1)x2和y2的系數相同，不等于0沒有xy這樣的二次項(2)圓的一般方程中有三個特定的系數D，E，F，因之只要求出這三個系數，圓的方程就確定了(3)與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯.例1求過三點A（0，0），B（1，

4、1），C（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。 分析：據已知條件，很難直接寫出圓的標準方程，而圓的一般方程則需確定三個系數，而條件恰給出三點坐標，不妨試著先設出圓的一般方程 解：設所求的圓的方程為：在圓上，所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程，可以得到關于的三元一次方程組.即解此方程組，可得：所求圓的方程為：；得圓心坐標為（4，-3）.或將左邊配方化為圓的標準方程，,從而求出圓的半徑，圓心坐標為(4,-3) 練習：1判斷二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑.2若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圓，則a的值為 （ ）A.-1.

5、B.2 C.-1或2 D.13.一個圓經過點與，圓心在直線上，求此圓的方程.4.求經過兩點，且在兩坐標軸上的四個截距之和為4的圓的方程.5.一圓與y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2，求圓的方程。6已知圓滿足：截y軸所得弦長為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1；圓心到直線l：x-2y=0的距離為，求該圓的方程三、點與圓的位置關系1.判斷方法：點到圓心的距離與半徑的大小關系點在圓內；點在圓上；點在圓外即（1）點在圓上等價于；（2）點在圓內部等價于；（3）點在圓外部等價于2.涉及最值：（1）圓外一點，圓上一動點，討論的最值（2）圓內一點，圓上一動點，討論的最值

6、思考：過此點作最短的弦？（此弦垂直）練習：1.已知點在圓上，求的值2.設點P(2,-3)和圓(x+4)2+(y-5)2=9上各點距離為d,則d的最大值為_四、直線與圓的位置關系I 復習準備：1. 在初中我們知道直線現圓有三種位置關系：（1）相交，有一兩個公共點；（2）相切，只有一個公共點；（3）相離，沒有公共點。2. 在初中我們知道怎樣判斷直線與圓的位置關系？現在如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系？3.判斷方法（為圓心到直線的距離）（1）相離沒有公共點（2）相切只有一個公共點（3）相交有兩個公共點4.直線與圓相切（1）知識要點基本圖形(如圖)主要元素：切點坐標、切線方程、切線長等問題：

7、直線與圓相切意味著什么？：圓心到直線的距離恰好等于半徑（2）常見題型求過定點的切線方程切線條數：點在圓外兩條；點在圓上一條；點在圓內無求切線方程的方法及注意點i）點在圓外如定點，圓：，第一步：設切線方程 第二步：通過，從而得到切線方程特別注意：（i）以上解題步驟僅對存在有效，當不存在時，應補上千萬不要漏了?。╥i）點在圓上（1）若點在圓上，則切線方程為（2）若點在圓上，則切線方程為求切線長：利用基本圖形，求切點坐標：利用兩個關系列出兩個方程3.直線與圓相交（1）求弦長及弦長的應用問題垂徑定理及勾股定理常用弦長公式：（掌握，圓錐曲線將會涉及）（2）判斷直線與圓相交的一種特殊方法（一種巧合）：直線

8、過定點，而定點恰好在圓內.（3）關于點的個數問題練習：1.直線3x-4y+1=0被圓(x-3)2+y2=9截得的弦長為 （ ） (A) (B)4 (C) (D)2 2.若直線ax+y=1與圓(x-)2+(y-2)2=1 有兩個不同交點，則a的取值范圍是 （ ）A.(0, ) B.(- ,0) C.( ,+) D.(-,- )3.已知點M(a,b)(a,b0)是圓C:x2+y2=r2內一點，直線l是以M為中點的弦所在的直線，直線m的方程是ax+by=r2,那么 （ ）A.l/m且m與圓C相切 B. lm且m與圓C相切C.l/m且m與圓C相離 D. lm且m與圓C相離4.直線(x+1)a+b(y+

9、1)=0與圓x2+y2=2的位置關系是 （ ）A.相離 B.相切 C.相交或相切 D.不能確定5.把直線x-2y+l=0向左平移1個單位長度，再向下平移兩個單位長度后，所得直線正好與圓x2+y2+2x-4y=0相切，則實數l的值為 （ ）A.3或13 B.-3或13 C.3或-13 D.-3或-136.直線與圓交于兩點，則三角形（是原點）的面積等于 。7.若經過點的直線與圓相切，求此直線在y軸上的截距. 8.過點向圓引切線，求切線方程.9.已知圓：，直線：（）（1）證明：不論取什么值，直線與圓均有兩個交點；（2）求其中弦長最短的直線方程.五、對稱問題1.圓本身關于直線對稱，則直線過圓心。2.圓

10、關于直線對稱的方程轉化為圓心關于直線對稱，半徑不變。練習：1、曲線x2+y2+2x-2y=0關于 （ ）A.直線x=軸對稱 B. 直線y=-x軸對稱C.點（-2,）中心對稱 D.點（-,0）中心對稱2.若圓，關于直線對稱，則實數的值_ .3.已知圓C與圓關于直線對稱，則圓C的方程為 （ ） A. B. C. D.4.已知圓：與圓：關于直線對稱，則直線的方程為_ .5.圓關于點對稱的曲線方程是_.六、最值問題方法主要有三種：（1）數形結合；（2）代換；練習：1.在圓x2+y2=4上，與3x-4y-12=0距離最長的點的坐標是 （ ）A. (,- ) B. (,- ) C. (- ,) D. (-

11、 ,)2.在圓上，在圓，則的最小值是 。3.一束光線從點A(-1,1)出發，經x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是（ ）A.4 B.5 C.31 D.2 4.從點(m,3)向圓x2+y2-2x=0作切線，則切線長的最小值是 （ ）A.2 B. C.3 D. 5.已知實數，滿足方程，求：（1）的最大值和最小值；（2）的最小值；（3）的最大值和最小值.七、圓與圓的位置關系1.判斷方法：幾何法（為圓心距）（1）外離 （2）外切（3）相交 （4）內切（5）內含2.兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.補充說明：若與相切，則表示其中一條公切線方程；若與相離，則

12、表示連心線的中垂線方程.3圓系問題（1）過兩圓：和：交點的圓系方程為（）說明：1）上述圓系不包括；2）當時，表示過兩圓交點的直線方程（公共弦）（2）過直線與圓交點的圓系方程為（3）兩圓公切線的條數問題相內切時，有一條公切線；相外切時，有三條公切線；相交時，有兩條公切線；相離時，有四條公切線練習：1.若圓C1: x2+y2-2mx+m2=4和圓C2: x2+y2+2x-4my=8-4m2相交，則m的取值范圍是（ ）A. (- ,- ) B.(0,2) C. (- ,)(0,2) D. (- ,- )(0,2)2.兩個圓C1:x2+y2+2x+2y-2=0與C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公

13、切線有且僅有 （ ）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條3求以圓C1x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程 八、軌跡方程（1）定義法（圓的定義）：略（2）直接法：通過已知條件直接得出某種等量關系，利用這種等量關系，建立起動點坐標的關系式軌跡方程.練習：1.已知M (-1,0), N (3,0), 則以MN為斜邊的直角三角形直角頂點P的軌跡方程( )(A) (B)(C) (D) 2.過原點O作圓x2+y2+6x=0的弦OA (1)求弦OA中點M的軌跡方程； (2)延長OA到N，使|OA|=|AN|，求N點的軌跡方程.3.如圖，圓

14、與圓的半徑都是1，=4，過動點P分別作圓、圓的切線PM、PN（M、N分別為切點），使得，試建立適當的坐標系，并求動點P的軌跡方程。PMO1O24 如圖，已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于求動點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。 xQyO九、空間直角坐標系I 復習準備：1.提問：平面直角坐標系的建立方法，點的坐標的確定過程、表示方法？2.討論：一個點在平面怎么表示？在空間呢？ II 講授新課：1.空間直角坐標系：如圖，是單位正方體.以A為原點，分別以OD,O,OB的方向為正方向，建立三條數軸。這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.(1)點A叫做坐標原點 (2)x 軸，y軸，z軸叫做坐標軸. (3)過每兩個坐標軸的平面叫做坐標面。2. 右手法則： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。3.有序實數組（1).空間一點M的坐標可以用有序實數組來表示，有序實數組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作（x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的