1、2011高教社杯全國大學生數學建模競賽題目A題 城市表層土壤重金屬污染分析隨著城市經濟的快速發展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環境質量的影響日顯突出。對城市土壤地質環境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量數據資料開展城市環境質量評價，研究人類活動影響下城市地質環境的演變模式，日益成為人們關注的焦點。按照功能劃分，城區一般可分為生活區、工業區、山區、主干道路區及公園綠地區等，分別記為1類區、2類區、5類區，不同的區域環境受人類活動影響的程度不同。現對某城市城區土壤地質環境進行調查。為此，將所考察的城區劃分為間距1公里左右的網格子區域，按照每平方公里1個采樣點對表層土（010 厘米深度）進

2、行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度數據。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業活動的自然區取樣，將其作為該城區表層土壤中元素的背景值。附件1列出了采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值?，F要求你們通過數學建模來完成以下任務：(1) 給出8種主要重金屬元素在該城區的空間分布，并分析該城區內不同區域重金屬的污染程度。(2) 通過數據分析，說明重金屬污染的主要原因。(3) 分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(

3、4) 分析你所建立模型的優缺點，為更好地研究城市地質環境的演變模式，還應收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？題 目 A題 城市表層土壤重金屬污染分析摘 要：本文研究的是某城區警車配置及巡邏方案的制定問題，建立了求解警車巡邏方案的模型，并在滿足D1的條件下給出了巡邏效果最好的方案。在設計整個區域配置最少巡邏車輛時，本文設計了算法1：先將道路離散化成近似均勻分布的節點，相鄰兩個節點之間的距離約等于一分鐘巡邏路程。由警車的數目,將全區劃分成個均勻的分區，從每個分區的中心點出發，找到最近的道路節點，作為警車的初始位置，由Floyd算法算出每輛警車3分鐘或2分鐘行駛路程范圍內的節點。考慮區

4、域調整的概率大小和方向不同會影響調整結果，本文利用模擬退火算法構造出遷移幾率函數，用遷移方向函數決定分區的調整方向。計算能滿足D1的最小車輛數，即為該區應該配置的最小警車數目，用MATLAB計算，得到局部最優解為13輛。在選取巡邏顯著性指標時，本文考慮了兩個方面的指標：一是全面性，即所有警車走過的街道節點數占總街道節點數的比例，用兩者之比來評價；二是均勻性，即所有警車經過每個節點數的次數偏離平均經過次數的程度，用方差值來大小評價。問題三：為簡化問題，假設所有警車在同一時刻，大致向同一方向巡邏，運動狀態分為四種：向左，向右，向上，向下，記錄每個時刻，警車經過的節點和能夠趕去處理事故的點，最后匯總

5、計算得相應的評價指標。 在考慮巡邏規律隱蔽性要求時，文本將巡邏路線進行隨機處理，方向是不確定的，采用算法2進行計算，得出相應巡邏顯著指標，當車輛數減少到10輛或巡邏速度變大時，用算法2計算巡邏方案和對應的參數，結果見附錄所示。 本文最后還考慮到4個額外因素，給出每個影響因素的解決方案。關鍵詞：模擬退火算法；Floyd算法；離散化參賽密碼 （由組委會填寫） 一 問題的重述110警車在街道上巡邏，既能夠對違法犯罪分子起到震懾作用，降低犯罪率，又能夠增加市民的安全感，同時也加快了接處警時間，提高了反應時效，為社會和諧提供了有力的保障?，F給出某城市內一區域，其道路數據和地圖數據已知，該區域內三個重點部

6、位的坐標分別為：（5112，4806），（9126， 4266），（7434 ，1332）。該區域內共有307個道路交叉口，為簡化問題，相鄰兩個交叉路口之間的道路近似認為是直線，且所有事發現場均在下圖的道路上。該市擬增加一批配備有GPS衛星定位系統及先進通訊設備的110警車。設110警車的平均巡邏速度為20km/h，接警后的平均行駛速度為40km/h。警車配置及巡邏方案要盡量滿足以下要求：D1. 警車在接警后三分鐘內趕到現場的比例不低于90；而趕到重點部位的時間必須在兩分鐘之內。D2. 使巡邏效果更顯著； D3. 警車巡邏規律應有一定的隱蔽性?，F在我們需要解決以下幾個問題：一. 若要求滿足D1

7、,該區最少需要配置多少輛警車巡邏？二. 請給出評價巡邏效果顯著程度的有關指標。三請給出滿足D1且盡量滿足D2條件的警車巡邏方案及其評價指標值。四. 在第三問的基礎上，再考慮D3條件，給出你們的警車巡邏方案及其評價指標值。五如果該區域僅配置10輛警車，應如何制定巡邏方案，使D1、D2盡量得到滿足？ 六. 若警車接警后的平均行駛速度提高到50km/h，回答問題三。七. 你們認為還有哪些因素、哪些情況需要考慮？給出你們相應的解決方案。二 問題分析本題為城區道路網絡中警車配置及巡邏問題。在進行警車配置時，首先要考慮警車在接警后在規定時間內趕到現場的比例，在此條件下，以車數最少為目標，建模、求解；在制定

8、巡邏方案時，要考慮巡邏的效果及隱蔽性問題。問題一只要求滿足D1，求最少的警車配置數，可以認為警車是不動的，在三分鐘或兩分鐘內它能到達的區域就是它的覆蓋范圍。據此，在滿足所有街道的覆蓋率不低于90%的條件下，尋找最優解。問題二要評價巡邏效果，有兩個方面需要考慮：一是巡邏的全面性，即經過一段時間后警車走過的街道數占總街道數的比例；二是巡邏的不均勻性，即經過一段時間后警車經過每一條街道的次數相差不大，用方差來衡量。問題三是在滿足D1的條件上盡量滿足問題二所給的指標，并給出評價方案的指標。首先找到一組滿足D1的各警車位置，然后在和各警車位置相連的點中隨機尋找一個點，判斷新的點是否滿足D1，如果滿足則警

9、車行駛到該點，否則重新尋找，直到滿足為止。一段時間后統計所有車走過的點數及每個點被走過的次數，用問題二給出的兩個指標進行評價。綜合兩個指標，可判斷此路徑的好壞，重復這個過程，直到綜合評價指標達到一個滿意的值為止。問題四增加了隱蔽性要求，首先給出評價隱蔽性的指標，隱蔽性可用路線的隨機性來評價，將它加入到問題三的模型中去進行求解。問題五限制警車數量為10，要綜合考慮D1、D2，先分配這10輛車使道路的覆蓋率最高，然后按照問題三的步驟進行求解，其中每一步對D1的判斷只需使道路的覆蓋率盡量高即可。問題六同問題三，只需將車速改為50km/h即可。三 模型的假設1. 警車都在路上巡邏，巡警去處理案件的時間

10、不考慮；2. 所有事發現場都在道路上，案件在道路上任一點是等概率發生的；3. 警車初始停靠點是隨機的，但盡量讓它們分散分布，一輛警車管轄一個分區；4. 假定各個劃分區域內，較短時間內，最多會發生一個案件；5. 假設區域內的每條道路都是雙行線，不考慮轉彎對結果造成的影響；6. 如果重點部位不在道路上的，假設這些重點部位在離它們最近的道路上；7. 圖中水域對巡邏方案沒有影響。四 符號說明 表示警車數目 表示警車初始?？奎c到各道路的最短距離 表示整個區域的總道路長度 表示不能在3分鐘內到達的區域的道路的長度 表示非重點部位的警車在3分鐘內不能到達現場的比例 表示三分鐘內能從接警位置趕到事發現場的最大

11、距離是 表示整個區域總的離散點個數 表示第區內的節點個數 表示區內調整函數 表示模擬退火的時間，表征溫度值 表示區間調整函數 表示全面性指標 表示不均勻性指標 表示綜合評價指標 表示第輛車經過每條道路的次數 表示整個區域每條道路經過的平均次數五 模型的建立與算法的設計5.1 滿足D1時，該區所需要配置的最少警車數目和巡邏方案5.1.1 滿足D1條件時，區域最少警車的規律 題目要求警車的配置和巡邏方案滿足D1要求時，整個區域所需要配置的警車數目最少。由假設可知警車都在道路上，且所有事發現場也都在道路上，但區域內總的道路長度是個定值的；警車在接警后趕到事發現場有時間限制和概率限制：三分鐘內趕到普通

12、區域案發現場的比例不低于90，而趕到重點部位的時間必須控制在兩分鐘之內。由此可知每輛警車的管轄范圍不會很大，于是考慮將整個區域分成若干個分區，每輛警車管轄一個分區域。由上面的分析，求解整個區域的警車數目最少這個問題可轉化為求解每一輛警車所能管轄的街道范圍盡量的大。于是我們尋找出使每輛警車管轄的范圍盡量大的規律。為了簡化問題，我們不考慮趕到現場的90%的幾率的限制，僅對警車能在三分鐘內趕到事發現場的情況作定性分析，其分析示意圖如圖1所示。警車的初始?？课恢檬请S機的分布在道路上的任一節點上，我們假設一輛警車停靠在A點上。 圖1 一輛警車管轄范圍分析示意圖由于警車的平均巡邏速度為20km/h，接警后

13、的平均行駛速度為40km/h，由于距離信息比較容易得到，于是我們將時間限制轉化為距離限制，這樣便于分析和求解。當警車接警后，在三分鐘內能從接警位置趕到事發現場的最大距離是，其中。如圖1所示，我們設警車初始?？课恢迷贏點，A點是道路1，2，3，4的道路交叉口。我們僅以警車在道路1巡邏為例來進行分析，警車以的速度在道路1上A到點之間巡邏，與初始?？奎cA的距離為。由于案件有可能在道路上任一點發生，當警車巡邏到A點時，若案發現場在道路2，3，4上發生時，警車以40km/h的速度向事發現場行駛，警車能在三分鐘內從點趕到現場的最大距離為。如果警車在道路1上繼續向前行駛，則該警車能在三分鐘內趕到現場的距離繼

14、續縮小，當警車從初始點向A點行駛但沒有達到點時，此時該警車的最大管轄范圍比警車到達點時的最大管轄范圍大。為了使警車的管轄范圍盡量大，警車的巡邏范圍越小越好，當時，即警車在初始停靠點靜止不動時，警車的管轄范圍達到最大值。圖1所分析的是特殊的情況，道路1，2，3，4對稱分布，現在我們來對一般的情況進行分析，如圖2所示。 圖2.1 圖2.2 圖2 一輛警車最大管轄范圍分析示意圖圖2.1所示的情況是道路分布不對稱，與圖1相比，圖2.1所示的道路方向和角度都發生了改變，圖2.3中的情形更為復雜。參照對圖1的分析方法，我們分析這兩種情形下，警車巡邏時能在三分鐘內趕到現場的最大距離的規律，我們只分析圖2.2

15、的情況，道路1，2，3，4，5相交于點C,同時道路1與道路6也有個道路交叉口D， 由于警車巡邏時是在道路上行駛的，行走的路線是分段直線,并不影響路徑的長度，所以當警車巡邏到距離初始?？奎cC點遠處的D，此時若有案件發生時，該警車要在三分鐘內能趕到現場處理案件，最大行駛距離在之內，如果警車在道路1上繼續向前行駛，則該警車能在三分鐘內趕到現場的距離繼續縮小，當警車沒有行駛到D點時，此時該警車的最大管轄范圍比大，為了使警車的管轄范圍盡量大，警車的巡邏范圍越小越好。當時，即警車靜止不動時，一輛警車的管轄范圍能達到最大值。以上分析的僅作定性的分析，對于三個重點部位也可以同理分析，所得的結論是一致的，以上的

16、分析沒有考慮到90%的到達幾率限制，但在設計算法需要充分考慮。綜上所述，當警車靜止在初始?？奎c時，在三分鐘時間限制內，警車能從初始?？奎c趕到事發現場的最大距離為。 5.1.2 將道路離散化由于事發現場是等概率地分布在道路上的，由區域地圖可以發現，整個區域中的道路長度不均，為了使計算結果更加精確，可將這些道路離散化。只要選取合適的離散方案，就能使警車在經過道路上的離散的點時就相當于經過了這條道路。這樣，不論是求解警車初始停靠點還求解警車趕到事發現場所經過的道路時，所計算得的的結果顯然比僅考慮整條道路的叉路口要精確得多。區域中共有307個道路交叉口，458條道路。我們采用線性插值方法對道路進行離散

17、化，以的速度行走一分鐘的距離作為步長，一分鐘時間的選擇是參照問題三的結果要求來設定的，步長。用線性插值的方法，從道路的一個方向進行線性插值，實現將每條道路離散化的目標，考慮到有些道路不是的整數倍，我們就一般情況進行討論，其分析示意圖如圖3所示。道路AB長度為個與長度的和，為了更精確處理CB段道路，那么就要考慮在CB之間是否要插入一個新的點， 根據的長度不同，其對應的處理方式也有所不同。圖3 道路離散化分析示意圖 引進臨界指數，選取大小的準則是使盡量離散化后警車等效的平均巡邏速度和題目給定的速度（）的差值盡量小，經過計算得時，不再插入新的坐標點時能使整個區域的道路離散效果較好。此時，將CB段長度

18、設定為處理，于是離散后的AB道路長度會比實際長度短些；當時，需要在兩個點之間再插入一點，因為這樣處理能使整個區域的整體道路的離散化效果比較理想。如圖3所示，在C與B間再插入新的坐標點，插入的位置在距C點的D點處,這樣處理后所得的道路長度比實際長度長了。采用這樣的方法進行線性插值，我們使用MATLAB編程實現對整個區域道路的離散，所得的離散結果如圖4所示，離散后共得到762個節點，比原始數據多了455個節點，離散后的節點數據見附件中的“newpoint.txt”。圖4 整個區域離散結果圖 采用這種插值方法道路離散后，將直線上的無窮多個點轉化有限個點，便于分析問題和實現相應的算法，由圖4可知，所取

19、得的整體離散效果還是比較理想的。5.1.3 分區域求解警車數目的算法設計考慮到警車配置和巡邏方案需要滿足：警車在接警后三分鐘內趕到普通部位案發現場的比例不低于90%，趕到重點部位必須控制在兩分鐘之內的要求。設計算法的目標就是求解出在滿足D1情況下，總的警車數目最小，即每個區域都盡可能多地覆蓋道路節點。由于警車的初始位置是未知的，我們可設警車初始?？奎c在道路上的任一點，即分布在圖4所示的762個離散點中的某些點節點上，總體思路是讓每兩輛車之間盡量分散地分布，一輛警車管轄一個分區，用這些分區覆蓋整個區域。于是我們設計算法1，步驟如下所示：Step1：將整個區域預分配為個分區，每個分區分配一輛警車，

20、警車的初始停靠位置設在預分配區中心的道路節點上，若區域的中心不在道路節點上，則將警車放在離中心最近的道路節點上；Step2：統計分區不能覆蓋的節點，調整警車的初始?？奎c，使分區覆蓋盡可能多的道路節點，調整分為區內調整和區間調整方案：（1）區內調整按照模擬退火思想構造的函數，在區間調整調整車輛初始點的位置（后文中有詳細說明），當分區內節點數較多時，調整的概率小些，分區內節點數較少時，調整的概率大些，（2）當區域中存在未被覆蓋的節點或節點群（大于等于三個節點集中在一個范圍內）時，將警車初始位置的調整方向為朝著這些未被覆蓋的節點按一定的規則（在算法說明中有詳細敘述）移動，同時要保證 3個重點部位能在

21、2分鐘之內100%到達；Step3：用Floyd算法計算出警車初始?？奎c到周邊各道路節點的最短距離；Step4：以個劃分區域未覆蓋的總的道路長度與整個區域的道路總長度的比值來表示警車不能3分鐘內到達現場的概率；Step5：模擬足夠多的次數，若，將車輛數減1，跳轉到Step1；Step6：計算結束后，比較當時所對應的值， 當取得最小值時，記錄此時的區域劃分方案，即為最少的警車數。對算法的幾點說明：（1）該算法所取的車輛數是由多到少進行計算的，初始值設為20，這個值的選取是根據區域圖估算的。(2)預分區的優點在于使警車的初始位置盡可能均勻地分散分布，警車的初始?？奎c在一個分區的中心點附近尋找得到，

22、比起在整個區域隨機生成?？奎c，計算效率明顯得到提高。 預分配之后，需要對整個區域不斷地進行調整，調整時需要考慮調整方向和 調整概率。警車調整借鑒的是模擬退火算法的方法，為了使分區內包含道路節點數較多的分區的初始停車點調整的概率小些，而分區內包含道路節點數的少的分區內的初始停車點調整的概率大些，我們構造了一個調整概率函數, （1）（1）式中，均為常數，為整個區域車輛數，為第分區內覆蓋的節點數，為時間，同時也能表征模擬退火的溫度變化情況：初始溫度較高，區域調整速度較快，隨著時間的增加，溫度不斷下降，區域調整速度逐漸變慢，這個調整速度變化也是比較符合實際情況的。由式（1）可以得出調整概率函數，假設在

23、相同的溫度（時間）的條件下，由于總的車輛數目是定值，當時，即第分區內的節點數大于第分區的節點數時，分區調整的概率大些，分區的調整概率小些。分析其原因：當分區內包含了較多的節點個數時，該分區的警車初始?？课恢眠x取地比較合適了，而當分區內包含的道路節點數較少時，說明警車的初始停靠位置沒有選好，需要更大概率的調整，這樣的結論也是比較客觀的。對于所有分區外未被覆蓋的道路節點和很多節點（稱之為節點群），用來調整警車位置遷移的方向，其分析示意圖如圖5所示。調整方案目標是使未被覆蓋的節點數盡量的少。在設計調整方向函數時，需要考慮：（1）節點群內節點的數目；（2）警車距離節點群的位置。優先考慮距離，所以在公式

24、（2）中，用距離的平方來描述調整方向函數。由于某一個區域范圍內的未被覆蓋節點數，整個區域未被覆蓋的節點總數，分區域與未被覆蓋的節點或節點群的距離等幾個因素會影響到調整的方案，所以要綜合考慮這些因素。于是設計了區間調整函數，式中，表示第個分區內未被覆蓋的節點數，表示第分區域與未被覆蓋的節點或節點群的距離，表示未被覆蓋的節點和節點群個數。 現在簡要分析第分區按區間調整函數的調整方案，當某兩節點群的節點數目相等，但是距離不等時，如，由區間調整公式可知，該區間向節點群方向調整。當某個分區與兩個節點群的距離相等，但節點群的內節點個數不相等，如時，由（4）可知，該分區域會想節點群方向調整。注意在整個調整過

25、程中，調整幾率控制是否調整，調整方向函數控制調整的方向，尋找在這種調整方案下的最優結果。圖5 調整分區域示意圖（3）在step3中，使用Floyd算法計算出警車初始?？奎c到周邊各節點的最短距離,目的是當區域內有情況發生時，警車能在要求的時間限制內到達現場。（4）為求出較優的警車?？奎c，采用模擬退火算法，算出局部最優的方案。5.1.4 警車的配置和巡邏方案使用MATLAB編程實現算法1得到，整個區域配備13輛警車，這些警車靜止在初始?？奎c時，能滿足D1要求。警車的初始停靠位置分別為道路交叉節點6，25，30，37，82，84，110，111，126，214，253，258，278處。每個警車所管

26、轄的交叉點（原始的交叉節點）如圖6所示，求解的分區結果見附錄所示。圖6 滿足D1條件下的區分劃分圖13個分區共覆蓋了252個交叉點，另外的55個原始交叉點沒有被這些分區域覆蓋：137，138，151，159，167，168，170，174，175，186，188，189，211，215，226，242，255，260，261，262，263，267，270，271，272，275，282，283，284，287，288，289，292，296，297，299，304，305，307。在這種分區方案下，這些點中，每兩個相連的點間的道路離散值長度占整個區域總的長度的比值為。因此，在整個區域配置13

27、輛警車，每個警車在初始?？奎c靜止不動，當有案件發生時，離案發現場最近的警車從初始?？奎c趕到現場。5.2 評價巡邏效果顯著的指標110警車在街道上巡邏是目的是為了對違法犯罪分子起到震懾作用，降低犯罪率，又能夠增加市民的安全感，同時還加快了接處警（接受報警并趕往現場處理事件）時間，提高了反應時效，為社會和諧提供了有力的保障。巡警在城市繁華街道、公共場所執行巡邏任務, 維護治安, 服務群眾, 可以得良好的社會效應1。在整個區域中，由于案發現場都在道路上，道路上的每一點都是等概率發生的，因此警車巡邏的面越廣，所巡邏的街道數目越多，警車的巡邏效果就越好，對違法犯罪分子就越有威懾力，警車也能更及時地處理案

28、件。我們采用全面性來衡量巡邏的效果顯著性，即用警車巡邏所經過的街道節點數占區域總節點數的比值。當警車重復經過同一條街道同一個離散點時，僅記錄一次。 （3）式中，表示警車經過的離散點數，代表整個區域總的離散點數。值越大，表明警車所經過的街道數目越多，所取得的效果越顯著。同時考慮到在巡邏過程中可能會出現這樣的情況：在相同的時段內，警車會多次巡邏部分街道，而一些街道卻很少巡邏甚至沒有警車到達，這樣會造成一些巡邏盲區。分布很不均衡。這樣就可能出現巡邏密度大的街道上的違法犯罪分子不敢在街道上作案，而流竄到巡邏密度稀疏的街道上作案，因此在相同的警車數目條件下，密度不均衡的巡邏方式的巡邏效果的效果較差，而密

29、度較均衡的巡邏方式所取得的巡邏效果會更好些。我們引入一個巡邏的不均勻度來衡量巡邏效果的顯著性，考慮到方差能表示不均衡度，于是我們用方差的大小來表征不均衡，方差越大，巡邏密度越不均衡，所取得的巡邏效果越差。 （4）問題1所給出的滿足D1條件下的警車數目為13輛，這時每輛警車在初始?？奎c靜止不動，只有該管轄區域內發生了案件時，警車才從初始?？奎c趕到案發現場處理案件。當警車在巡邏狀態時，所需要考慮的問題就更復雜一些，如當節點運動時，警車還能否達到D1的要求，警車的運動方向如何等問題，但基本算法思想與問題1類似，所得的算法2的框圖如圖7所示，為了簡化問題，我們假設各分區警車的巡邏時候，盡量保證所有的警

30、車的行駛方向相一致，且警車都走雙行道，即當警車走到某個節點后，它們又同時返回初始?？奎c，警車的行駛方向有四種方式，如6所示。在圖6中，數字1代表走巡邏走的第一步，2表示朝1的巡邏方向相反的方向巡邏。在具體程序實現時，四種巡邏方向任意選擇，但是盡量保證所有的警車向同一個方向巡邏。圖6 各警車巡邏方向圖 我們用MATLAB編程對這種巡邏方式進行計算，所得的車輛數目為18輛，綜合評價指標為，其結果巡邏方案見附件中的“1193402-Result3.txt”所示。5.4 在滿足問題三的基礎上討論D3條件，警車的巡邏方案和評價指標巡邏的隱蔽性體現在警車的巡邏路線和時間沒有明顯的規律，主要目的是讓違法犯罪分子無可乘之機，防止他們在非巡邏時間