1、基于非下采樣Contourlet變換的圖像自適應閾值去噪算法金彩虹(南京曉莊學院物理與電子工程學院，南京 210017）摘要：利用非下采樣Contourlet變換的平移不變性和多方向選擇性，考慮非下采樣Contourlet變換域內相鄰尺度間和同一尺度、不同方向間圖像系數和噪聲系數之間不同的相關性，根據子帶含有信息量的多少,自適應地調節BayesShrink閾值大小，使弱的邊緣細節能從噪聲中被提選出來，同時避免將較大的噪聲系數誤判為圖像細節。實驗結果表明，該算法不僅克服了恢復圖像中的偽Gibbs失真，而且能更多地保留圖像的邊緣細節，提高圖像的PSNR值。關鍵詞：非下采樣Contourlet變換；

2、廣義高斯分布；BayesShrink；相關性 中圖分類號:TN911173 文獻標識碼:AAdaptive Thresholding for Image Denoising via Nonsubsampled Contourlet Transform JIN Cai-hong(School of Physics and Electronics Engineering,Nanjing Xiaozhuang University, Nanjing ,210017)Abstract: Using the advantages of translation-invariant and multidir

3、ection-selectivity which caused by nonsubsampled contourlet transform, exploiting the inter-scale and intrascale correlations of noise and available information coefficients, BayesShrink thresholds are adaptively set according to the information of subbands. This method can pick up the weak image de

4、tails, it also can snuff out the big coefficients of noise. The experimental results show that this method can eliminate the pseudo-Gibbs phenomena around singularities, keep more image detail and improve the peak signal-to-noise ratio.Keywords: Non-subsampled Contourlet transform(NSCT); Generalized

5、 Gaussian distribution(GGD); BayesShrink; Correlation 1 引言1995年，Donoho 提出了小波閾值去噪理論1，給出了全局閾值：，并從漸進意義上證明了全局閾值的最優性。 從此，基于閾值去噪的思想得到了廣泛應用。然而Donoho給出的全局閾值實際上是閾值的上限，并不是最佳萎縮閾值。該閾值沒有利用圖像的局部信息，過度“扼殺”了小波系數，使過多的小波系數被置，造成圖像細節的丟失。Chang 等人在Bayesian框架下假定無噪小波子帶系數在統計意義上服從廣義高斯分布(Generalized Gaussian Distribution，GGD)，

6、提出了基于廣義高斯分布模型的BayesShrink閾值去噪2，使基于小波變換的閾值圖像去噪效果得到了很大改善。然而，由于二維小波基函數的支撐區間在不同分辨率下為不同尺寸的正方形。因此，當尺度變細時，二維小波就只能用點來逼近圖像中具有“線奇異”特征的邊緣細節，導致二維小波無法實現對圖像邊緣等具有“線奇異”特征函數的最優逼近。 2002年，M.N.Do和Martin Vetterli提出了Contourlet變換 3。Contourlet變換基函數支撐區間的長、寬滿足，具有隨尺度變化的“長條形”結構，用類似于線段的基結構來逼近圖像，克服了小波基用點來逼近線的不足，在Contourlet變換域內絕大

7、部分信息能量被集中在了少數幅值較大的系數上，實現了圖像的稀疏逼近。然而，Contourlet變換中下采樣過程的存在，又使Contourlet變換失去了平移不變性，導致了基于此變換的恢復圖像有偽Gibbs失真。為此，等提出了非下采樣Contourlet變換 4，取消了變換過程中的下采樣，從而有效地抑制了偽Gibbs失真。Chang等人在Bayesian框架下，基于廣義高斯分布模型的BayesShrink閾值去噪方法，考慮了子帶內系數的統計信息，但沒有考慮尺度間以及尺度內系數的相關特性。在此，對含噪圖像進行非下采樣Contourlet變換，利用變換域內圖像系數相鄰尺度間的相關性和同一尺度下不同方向

8、間系數能量分布的差異性，自適應地調整BayesShrink閾值，獲得最優的去噪閾值。使含有細節內容豐富子帶的閾值小一些，含有細節內容較少子帶的閾值大一些，在去除噪聲的同時實現對邊緣細節的有效保留，獲得視覺效果良好，信噪比更高的恢復圖像。2 非下采樣Contourlet變換2.1 Contourlet變換Contourlet變換首先由拉普拉斯金字塔變換(Laplacian Pyramid，LP)將圖像分解為低頻子帶和高頻子帶。低頻子帶由原始圖像經過二維低通濾波和隔行隔列下采樣產生；高頻子帶由原始圖像減去低頻子帶經上采樣和低通濾波后的低頻分量產生。然后將高頻子帶經方向濾波器組(Directiona

9、l Filter Bank，DFB)分解為個方向子帶(j為任意正整數)。對低頻子帶重復上述過程即可實現圖像的多尺度多方向分解（見圖）。圖1 Contourlet變換濾波器結構Fig. 1 Contourlet TransformLP變換對圖像進行多尺度分解“捕獲”點奇異，DFB對圖像進行多方向分解，將分布在同一方向上的奇異點合成一個系數，用類似于線段的基結構表征圖像的邊緣細節等幾何特征，實現對圖像信息的稀疏逼近。但LP變換的分解濾波器和重構濾波器的帶寬均大于。因此，對濾波后的圖像進行隔行隔列下采樣會產生頻譜混疊。頻譜混疊使同一方向的信息在幾個不同的方向子帶中同時出現，從而削弱了Contourl

10、et變換的方向選擇性。同時，Contourlet變換中的下采樣過程，還使Contourlet變換失去了平移不變性。導致重構圖像在奇異點處出現偽Gibbs現象。2.2 非下采樣Contourlet變換濾波器結構等人提出由非下采樣塔狀濾波器組(Nonsubsampled Pyramid，NSP)和非下采樣方向性濾波器組(Nonsubsampled Directional Filter Banks，NSDFB)組成非下采樣Contourlet變換。 非下采樣塔狀濾波器組(NSP)采用trous算法5設計的滿足Bezout恒等式6的、能實現完全重構的雙通道濾波器結構(見圖2)。 (a) 結構圖 (b)

11、 頻域分解圖 圖2 非下采樣塔狀濾波器組(a) Structure Diagram (b) Decomposing of the Frequency PlaneFig.2 Nonsubsampled Pyramid Filters濾波器組滿足： (1)其中：為低通分解濾波器；為高通分解濾波器；為重建低通濾波器；為重建高通濾波器。trous算法通過有限濾波器的內插實現圖像的分解。利用trous算法分解圖像可以得到與原圖像大小相同的一個低頻近似部分和各層高頻部分，即： (2) (3)其中：是原始圖像的低頻近似部分；是尺度j下圖像的高頻部分。trous算法具有平移不變性，用其進行圖像處理，恢復圖像不

12、會出現偽Gibbs現象。非下采樣方向性濾波器組(NSDFB)是一個二通道的扇形濾波器組(見圖3(a)。為了得到精確分解，采用迭代方向濾波器組，并對下一級的濾波器采用梅花矩陣進行上采樣。第二層插值扇形濾波器有棋盤狀的頻域支撐，和第一層的濾波器結合在一起實現四個方向的頻域分解(見圖3(b)。(a) 結構圖 (b) 頻域分解圖圖3 非下采樣方向性濾波器組(a) Structure Diagram (b) Decomposing of the Frequency PlaneFig.3 Nonsubsampled Directional Filter Banks非下采樣塔狀濾波器(NSP)將圖像分解為低

13、頻部分和高頻部分，再由非下采樣方向性濾波器組(NSDFB)將高頻部分分解為若干個方向，實現對圖像的非下采樣Contourlet變換（見圖4）。輸入圖像NSP分解NSDFB分解 (a) 結構圖 (b) 頻域分解圖圖4 非下采樣Contourlet變換濾波器(a) Structure Diagram (b) Decomposing of the Frequency PlaneFig.4 Nonsubsampled Contourlet Transform非下采樣Contourlet變換由于在塔式分解過程中沒有下采樣環節，不僅使變換具有平移不變性，克服了恢復圖像中的偽Gibbs失真，而且沒有下采樣過

14、程即使低通濾波器的帶寬大于,低頻子帶也不會有頻譜混疊現象，避免了同一方向的信息在幾個不同的方向子帶中同時出現，增強了圖像信息的方向選擇性，更好地實現了對圖像的稀疏逼近。3基于非下采樣Contourlet變換的圖像自適應閾值去噪算法設二維含噪圖像為。其中：是期望圖像，是方差為的高斯白噪聲。對含噪圖像進行多尺度多方向非下采樣Contourlet變換，得到系數，其中：j是系數所在尺度，k是系數所在方向，m、n是系數所在位置。與小波和Contourlet變換相似，非下采樣Contourlet變換系數也用廣義高斯分布來描述(4) 其中：是形狀參數，是尺度參數，是Gamma 函數 (5) 當形狀參數時，(

15、4)式所描述的廣義高斯分布就成了典型的Laplacian分布，而當形狀參數時，(4)式所描述的廣義高斯分布則成了典型的Gauss分布。Chang等人對符合廣義高斯分布模型的閾值問題進行研究，給出在Bayesian框架下的去噪閾值 (6) 其中: 是噪聲方差，是信號標準差。非下采樣Contourlet變換的非正交性使得變換域內不同尺度、不同方向子帶的噪聲方差不相等，因此，采用Monte-Carlo估計方法7來獲得子帶系數的噪聲方差。具體做法：（）將含噪圖像進行正交小波變換，用Donoho魯棒中值法估計噪聲標準差 (7)其中：是第一層分解的高頻系數。（）產生一幅大小和原始含噪圖像相同，均值是0，方

16、差是的高斯白噪聲圖像。（）對此噪聲圖像進行非下采樣Contourlet變換，估計不同尺度、不同方向子帶系數的噪聲方差 (8)其中：M和N是子帶圖像長度和寬度。是對高斯白噪聲圖像進行非下采樣Contourlet變換后的系數，它只含有噪聲信息，沒有有用的圖像信息，這和文中其它地方出現的意義不同。圖像經非下采樣Contourlet變換后不同尺度、不同方向子帶系數信號的標準差各不相同。根據不同尺度、不同方向子帶的圖像信息，采用最大似然法對進行局部估計 (9)于是，基于Bayesian框架下的去噪閾值為 (10)對圖像進行非下采樣Contourlet分解后，系數所含信息量的大小在尺度間具有傳遞性，若父尺

17、度上的系數較大（含信息量較多），則該父尺度上系數所對應子尺度上的系數也極可能較大。即相鄰尺度間的系數具有相關性8。在尺度內，根據多方向分解理論，含有圖像輪廓細節越豐富的方向子帶，其子帶能量越大9。而噪聲能量是分布于整個變換域內的，不同尺度、不同方向間均不存在明顯的相關性。基于Bayesian框架下的去噪閾值，只考慮了子帶內系數的統計信息，沒有考慮到圖像系數尺度間的相關性和同一尺度下、不同方向上系數能量分布的差異。為此，引入系數來修正基于Bayesian框架下的去噪閾值，得自適應閾值 (11)的計算：() 利用信息和噪聲之間不同的尺度相關性，計算相鄰尺度同一空間位置上Contourlet系數的積

18、，在乘積中，噪聲系數被抑制，信號系數被放大，以此加強對弱的邊緣信息與噪聲的區分。對于位置，尺度j上的Contourlet系數與其相鄰尺度系數的積為 (12)()將歸一化到的能量上，歸一化的相鄰尺度系數積為 (13)其中：是第j層Contourlet系數的能量；是第j層相鄰尺度系數積的能量。 (14) (15)（）計算第j層k方向歸一化相鄰尺度系數積的能量。 (16)（）計算系數。系數為同一尺度下，所有不同分解方向子帶歸一化相鄰尺度系數積的總能量與同一尺度下，某一個分解方向子帶歸一化相鄰尺度系數積的能量之比。 (17)其中：是某一尺度下總的分解方向數。計算系數時，首先將相鄰尺度同一空間位置上的C

19、ontourlet系數相乘，使噪聲系數被抑制，信號系數被放大。然后對這種處理過后的系數計算能量比，既考慮了變換域內圖像系數尺度間的相關性也考慮到了方向子帶的能量與子帶含有圖像輪廓細節多少的關系。當某尺度某方向子帶的能量比較大，也就是該子帶含有較豐富的圖像輪廓細節信息時，由(17)式，系數就較小。由 (11) 式，此時，對該子帶設置有較低的閾值，可以保留更多的細節。反之，當某尺度某方向子帶能量比較小，也就是該子帶以噪聲信息為主，只有少量的圖像輪廓細節時，系數就較大，此時，對該子帶設置有較高的閾值，可以盡可能多地濾除噪聲。綜上，基于非下采樣Contourlet變換的圖像自適應閾值去噪算法是： （）

20、對含噪圖像進行多尺度多方向非下采樣Contourlet變換。（）對不同尺度、不同方向的高頻子帶系數，由式(8)和式(9)估算其噪聲方差和信號方差。 由式(17)計算系數值。最后，由式(11)得到不同尺度、不同方向子帶系數的自適應閾值。（）在非下采樣Contourlet變換域內對高頻系數進行自適應硬閾值處理。硬閾值函數: (18)閾值函數通常有軟閾值函數和硬閾值函數兩種。軟閾值函數去噪的結果是恢復圖像相對比較平滑，但會造成圖像中邊緣等細節內容的損失。硬閾值函數去噪能較多地保留圖像的邊緣輪廓等細節內容，卻容易在圖像的突變處出現偽Gibbs現象。在非下采樣Contourlet變換域內采用自適應硬閾值

21、函數去噪，一方面由于非下采樣Contourlet變換取消了變換過程中的下采樣，能有效地抑制偽Gibbs失真。同時由于系數的調節，使子帶系數閾值自適應于子帶能量，能盡可能多地保留圖像輪廓細節，這與硬閾值函數去噪的特點正相適應。因此，為了盡可能多地保留圖像輪廓細節，使用硬閾值函數去噪。（）對經硬域值處理后的高頻系數和低頻系數一起進行Contourlet逆變換得到去噪后的恢復圖像。5 實驗結果與分析為了驗證本文算法的有效性，在MATLAB6.5中選擇疊加有均值為零，標準差分別為15，20，25，30的白噪聲的512512的Lena和Barbara標準測試圖像進行實驗。實驗中用“db8”小波對圖像進行

22、層小波分解, 而非下采樣Contourlet變換選擇9-7塔式分解和方向濾波器組進行層分解，各層方向數為4，4，8，8。實驗中對基于小波的BayesShrink閾值去噪 2、基于非下采樣Contourlet的BayesShrink去噪4和本文的算法進行了比較，去噪結果的客觀評價指標用峰值信噪比（PSNR）衡量。表比較了不同噪聲等級下各種算法的PSNR，圖給出了噪聲標準差時Barbara圖像的去噪結果。實驗結果如表1和圖所示。表1 幾種算法的去噪圖像峰值信噪比值/dBTab.1 Comparison of PSNR(dB) with different algorithms 圖像噪聲標準差峰值信

23、噪比（PSNRdB）噪聲圖像文2去噪文4去噪本文去噪Lena1524.6030.3230.5432.932022.1328.9629.1331.532520.1528.1728.5630.893018.5827.4927.6630.09Barbara1524.6227.4627.8230.332022.1525.8826.0728.592520.1824.7825.1827.763018.6723.7424.3826.84 (a)噪聲圖像 (b) 文獻 2 的去噪結果(c) 文獻 4 的去噪結果(d) 本文去噪的結果 圖 噪聲的Barbara測試圖像的去噪結果比較(a) Noisy image

24、(b) Result of the second literature (c) Result of the fourth literature (d) Result of this papperFig.5 Denoising results of different algorithms for Barbara at noise level由實驗結果可以得出:（）非下采樣Contourlet變換實現了對圖像的多尺度、多方向最優稀疏逼近，利用變換域內相鄰尺度間的相關性和同一尺度、不同方向系數能量分布的差異，自適應地調整BayesShrink閾值大小，可以從整體上得到信噪比更高的恢復圖像：本文算法

25、的PSNR值比基于小波的BayesShrink閾值去噪高2.573.10dB，比基于非下采樣Contourlet的BayesShrink去噪高2.332.58dB。（）將相鄰尺度同一空間位置上的Contourlet系數相乘，使噪聲系數被抑制，信號系數被放大。再針對歸一化相鄰尺度系數積計算某一尺度下所有方向子帶的總能量與其中某一方向子帶能量的比。既考慮了變換域內圖像系數尺度間的相關性又考慮了方向子帶的能量與子帶含有圖像輪廓細節多少的關系，實現自適應地調整BayesShrink閾值大小。這樣，不僅使弱的邊緣細節也能被提選出來，同時，還避免了將較大的噪聲系數誤判為圖像細節的錯誤。從圖5中可以看到，與

26、文獻2和文獻4的去噪方法相比，本文的去噪結果保留了更多的細節信息，圖像中大多數紋理特征都表現出清晰的結構，細小的紋理信息也得到了較好地恢復，如Barabara圍巾邊緣上的細紋等。而文獻2和文獻4的恢復圖像中，這些細紋信息卻在去除噪聲的同時被平滑掉了。()對含有豐富直線性特征細節的圖像，本文算法的去噪效果更顯優勢。從表1的數據可以看出：本文算法對含有直線性特征豐富的Barbara圖像去噪后的PSNR值較含有大量點狀紋理特征的Lena圖像處理后的PSNR值要提高得多一些。從主觀視覺方面也能看出，圖所示的Barbara去噪后的恢復圖像中，采用本文方法得到的恢復圖像的細節最清晰，視覺效果明顯好于其他方

27、法。5 結束語非下采樣Contourlet變換是目前已知的最稀疏的一種圖像逼近方式，可以將相鄰尺度、相鄰方向間信號和噪聲的不同相關性充分表現出來。利用這種相關性，可以判定含噪圖像變換系數所含信息的多少，從而自適應地調整閾值大小，實現噪聲與有用信號的有效分離。實驗結果表明,該方法不僅有效地克服了恢復圖像中的偽吉布斯失真,而且更多地保存了圖像邊緣細節信息，提高了去噪圖像的PSNR值，恢復圖像的視覺效果更好。參考文獻:1 Donoho D L. De-noising by soft-thresholding J. IEEE Trans. on Information Theory, 1995, 41

28、(3):613-627. 2 Chang S G, Yu B, Vetterli M. Adaptive wavelets thresholding for image denoising and compression J. IEEE Trans. on Image Processing, 2000, 9(9):1532-1546.3 Do M N, Vetterli M. The contourlet transform:An efficient directional multiresolution image representation J.IEEE Trans. on Image Processing, 2005,14(12) :2091-2106 .4 Cunha A L, Zhou J, Do M N. The Nonsubsampled Contourlet Transform: Theory, Design, and ApplicationsJ. IE