1、 動點路徑長專題一選擇題（共2小題）1如圖，拋物線y=x2x與直線y=x2交于A、B兩點（點A在點B的左側），動點P從A點出發，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點B若使點P運動的總路徑最短，則點P運動的總路徑的長為（）ABCD 圖1 圖22如圖，半徑為4的O中，CD為直徑，弦ABCD且過半徑OD的中點，點E為O上一動點，CFAE于點F當點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為（）ABCD二填空題（共9小題）3（2013鄂爾多斯）如圖，直線y=x+4與兩坐標軸交A、B兩點，點P為線段OA上的動點，連接BP，過點A作AM垂直于直線BP，垂足為M，當點P

2、從點O運動到點A時，則點M運動路徑的長為_ 圖3 圖4 圖54如圖，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的上有一運動的點P從點P向半徑OA引垂線PH交OA于點H設OPH的內心為I，當點P在上從點A運動到點B時，內心I所經過的路徑長為_5（2011江西模擬）已知扇形的圓心角為60°，半徑為1，將它沿著箭頭方向無滑動滾動到OAB位置，點O到O的路徑是OO1O1O2O2O；點O到O的路徑是；點O在O1O2段上運動路線是線段O1O2；點O到O的所經過的路徑長為以上命題正確的是_6（2013寧德）如圖，在RtABC紙片中，C=90°，AC=BC=4，點P在AC上運動，將

3、紙片沿PB折疊，得到點C的對應點D（P在C點時，點C的對應點是本身），則折疊過程對應點D的路徑長是_ 圖6 圖7 圖87如圖，已知AB=10，P是線段AB上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊ACP和PDB，連接CD，設CD的中點為G，當點P從點A運動到點B時，則點G移動路徑的長是_8（2013湖州）如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為2的一個定點，ACx軸于點M，交直線y=x于點N若點P是線段ON上的一個動點，APB=30°，BAPA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是_9（2013桂林）如圖，已知線段AB=1

4、0，AC=BD=2，點P是CD上一動點，分別以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB，設正方形對角線的交點分別為O1、O2，當點P從點C運動到點D時，線段O1O2中點G的運動路徑的長是_ 圖9 圖10 圖1110（2013竹溪縣模擬）如圖：已知AB=10，點C、D在線段AB上且AC=DB=1； P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊AEP和等邊PFB，連結EF，設EF的中點為G；當點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的長是_11如圖，一根長為2米的木棒AB斜靠在墻角處，此時BC為1米，當A點下滑至A'處并且A'C=1米時，木棒AB的中點P

5、運動的路徑長為_米三解答題（共1小題）12（2012義烏市模擬）如圖，邊長為4的等邊AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限一動點P沿x軸以每秒1個單位長度的速度由點O向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒在點P的運動過程中，線段BP的中點為點E，將線段PE繞點P按順時針方向旋轉60°得PC （1）當點P運動到線段OA的中點時，點C的坐標為_；（2）在點P從點O到點A的運動過程中，用含t的代數式表示點C的坐標；（3）在點P從點O到點A的運動過程中，求出點C所經過的路徑長 動點路徑長專題參考答案與試題解析一選擇題（共2小題）1如圖，拋物線y

6、=x2x與直線y=x2交于A、B兩點（點A在點B的左側），動點P從A點出發，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點B若使點P運動的總路徑最短，則點P運動的總路徑的長為（）ABCD考點：二次函數綜合題719606 專題：壓軸題分析：首先根據題意求得點A與B的坐標，求得拋物線的對稱軸，然后作點A關于拋物線的對稱軸x=的對稱點A，作點B關于x軸的對稱點B，連接AB，則直線AB與直線x=的交點是E，與x軸的交點是F，而且易得AB即是所求的長度解答：解：如圖拋物線y=x2x與直線y=x2交于A、B兩點，x2x=x2，解得：x=1或x=，當x=1時，y=x2=1，當x=時，y=

7、x2=，點A的坐標為（，），點B的坐標為（1，1），拋物線對稱軸方程為：x=作點A關于拋物線的對稱軸x=的對稱點A，作點B關于x軸的對稱點B，連接AB，則直線AB與對稱軸（直線x=）的交點是E，與x軸的交點是F，BF=BF，AE=AE，點P運動的最短總路徑是AE+EF+FB=AE+EF+FB=AB，延長BB，AA相交于C，AC=+（1）=1，BC=1+=，AB=點P運動的總路徑的長為故選A點評：此題考查了二次函數與一次函數的綜合應用注意找到點P運動的最短路徑是解此題的關鍵，還要注意數形結合與方程思想的應用2如圖，半徑為4的O中，CD為直徑，弦ABCD且過半徑OD的中點，點E為O上一動點，CFA

8、E于點F當點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為（）ABCD考點：圓的綜合題719606 專題：壓軸題分析：連接AC，AO，由ABCD，利用垂徑定理得到G為AB的中點，由中點的定義確定出OG的長，在直角三角形AOG中，由AO與OG的長，利用勾股定理求出AG的長，進而確定出AB的長，由CO+GO求出CG的長，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的長，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當E位于點B時，CGAE，此時F與G重合；當E位于D時，CAAE，此時F與A重合，可得出當點E從點B出發順時針運動到點D時，

9、點F所經過的路徑長，在直角三角形ACG中，利用銳角三角函數定義求出ACG的度數，進而確定出所對圓心角的度數，再由AC的長求出半徑，利用弧長公式即可求出的長，即可求出點F所經過的路徑長解答：解：連接AC，AO，ABCD，G為AB的中點，即AG=BG=AB，O的半徑為4，弦ABCD且過半徑OD的中點，OG=2，在RtAOG中，根據勾股定理得：AG=2，AB=2AG=4，又CG=CO+GO=4+2=6，在RtAGC中，根據勾股定理得：AC=4，CFAE，ACF始終是直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半圓，當E位于點B時，CGAE，此時F與G重合；當E位于D時，CAAE，此時F與A重合，當點E

10、從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長，在RtACG中，tanACG=，ACG=30°，所對圓心角的度數為60°，直徑AC=4，的長為=，則當點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為故選C點評：此題考查了圓的綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，勾股定理，銳角三角函數定義，弧長公式，以及圓周角定理，其中根據題意得到點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長，是解本題的關鍵二填空題（共9小題）3（2013鄂爾多斯）如圖，直線y=x+4與兩坐標軸交A、B兩點，點P為線段OA上的動點，連接BP，過點A作AM垂直于直線BP，垂足為M，當點P從點O運

11、動到點A時，則點M運動路徑的長為考點：一次函數綜合題719606 分析：根據直線與兩坐標軸交點坐標的特點可得A、B兩點坐標，由題意可得點M的路徑是以AB的中點N為圓心，AB長的一半為半徑的，求出的長度即可解答：解：AM垂直于直線BP，BMA=90°，點M的路徑是以AB的中點N為圓心，AB長的一半為半徑的，連接ON，直線y=x+4與兩坐標軸交A、B兩點，OA=OB=4，ONAB，ONA=90°，AB=4，ON=2，=2=故答案為：點評：本題考查了二次函數的綜合題，涉及了兩坐標軸交點坐標及點的運動軌跡，難點在于根據BMC=90°，判斷出點M的運動路徑是解題的關鍵，同學

12、們要注意培養自己解答綜合題的能力4如圖，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的上有一運動的點P從點P向半徑OA引垂線PH交OA于點H設OPH的內心為I，當點P在上從點A運動到點B時，內心I所經過的路徑長為考點：弧長的計算；全等三角形的判定與性質；三角形的內切圓與內心719606 專題：計算題分析：如圖，連OI，PI，AI，由OPH的內心為I，可得到PIO=180°IPOIOP=180°（HOP+OPH）=135°，并且易證OPIOAI，得到AIO=PIO=135°，所以點I在以OA為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；過A

13、、I、O三點作O，如圖，連OA，OO，在優弧AO取點P，連PA，PO，可得APO=180°135°=45°，得AOO=90°，OO=OA=×2=，然后利用弧長公式計算弧OA的長解答：解：如圖，連OI，PI，AI，OPH的內心為I，IOP=IOA，IPO=IPH，PIO=180°IPOIOP=180°（HOP+OPH），而PHOA，即PHO=90°，PIO=180°（HOP+OPH）=180°（180°90°）=135°，又OP=OA，OI公共，而IOP=IOA，OP

14、IOAI，AIO=PIO=135°，所以點I在以OA為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；過A、I、O三點作O，如圖，連OA，OO，在優弧AO取點P，連PA，PO，AIO=135°，APO=180°135°=45°，AOO=90°，而OA=2cm，OO=OA=×2=，弧OA的長=（cm），所以內心I所經過的路徑長為cm故答案為：cm點評：本題考查了弧長的計算公式：l=，其中l表示弧長，n表示弧所對的圓心角的度數同時考查了三角形內心的性質、三角形全等的判定與性質、圓周角定理和圓的內接四邊形的性質5（2011江

15、西模擬）已知扇形的圓心角為60°，半徑為1，將它沿著箭頭方向無滑動滾動到OAB位置，點O到O的路徑是OO1O1O2O2O；點O到O的路徑是；點O在O1O2段上運動路線是線段O1O2；點O到O的所經過的路徑長為以上命題正確的是考點：旋轉的性質；弧長的計算719606 分析：圓心O由O到O1的路徑是以A為圓心，以OA為半徑的圓??；由O1到O2圓心所經過的路線是線段O1O2；由O2到O，圓心經過的路徑是：以B為圓心，以OB為半徑的圓弧據此即可判斷解答：解：圓心O由O到O1的路徑是以A為圓心，以OA為半徑的圓?。挥蒓1到O2圓心所經過的路線是線段O1O2；由O2到O，圓心經過的路徑是：以B為

16、圓心，以OB為半徑的圓弧故正確的是：故答案為：點評：本題主要考查了圖形的旋轉，正確確定圓心O經過的路線是解決本題的關鍵6（2013寧德）如圖，在RtABC紙片中，C=90°，AC=BC=4，點P在AC上運動，將紙片沿PB折疊，得到點C的對應點D（P在C點時，點C的對應點是本身），則折疊過程對應點D的路徑長是考點：翻折變換（折疊問題）；弧長的計算719606 分析：根據翻折變換的性質以及ABC是等腰直角三角形判斷出點D的路徑是以點B為圓心，以BC的長為半徑的扇形，然后利用弧長公式列式計算即可得解解答：解：C=90°，AC=BC，ABC是等腰直角三角形，如圖，點D的路徑是以點B

17、為圓心，以BC的長為半徑的扇形，路徑長=2故答案為：2點評：本題考查了翻折變換的性質，弧長的計算，判斷出點D的路徑是扇形是解題的關鍵7如圖，已知AB=10，P是線段AB上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊ACP和PDB，連接CD，設CD的中點為G，當點P從點A運動到點B時，則點G移動路徑的長是考點：三角形中位線定理；等邊三角形的性質；平行四邊形的判定與性質719606 專題：壓軸題分析：分別延長AC、BD交于點H，易證四邊形CPDH為平行四邊形，得出G為PH中點，則G的運行軌跡HAB的中位線MN，運用中位線的性質求出MN的長度即可解答：解：如圖，分別延長AC、BD交于點H，A=

18、DPB=60°，AHPD，B=CPA=60°，BHPC，四邊形CPDH為平行四邊形，CD與HP互相平分G為CD的中點，G正好為PH中點，即在P的運動過程中，G始終為PH的中點，所以G的運行軌跡為HAB的中位線MNMN=AB=5，即G的移動路徑長為5故答案為：5點評：本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質，解答本題的關鍵是作出輔助線，找到點G移動的規律，判斷出其運動路徑，綜合性較強8（2013湖州）如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為2的一個定點，ACx軸于點M，交直線y=x于點N若點P是線段ON上的一個動點，APB=30°，BAPA，則點P在線段ON上運動時，

19、A點不變，B點隨之運動求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是考點：一次函數綜合題719606 專題：壓軸題分析：（1）首先，需要證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡），如答圖所示利用相似三角形可以證明；（2）其次，如答圖所示，利用相似三角形AB0BnAON，求出線段B0Bn的長度，即點B運動的路徑長解答：解：由題意可知，OM=，點N在直線y=x上，ACx軸于點M，則OMN為等腰直角三角形，ON=OM=×=如答圖所示，設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B0，動點P在N點（終點）時，點B的位置為Bn，連接B0BnAOAB0，ANABn，OAC=B0ABn，又AB0=AO

20、tan30°，ABn=ANtan30°，AB0：AO=ABn：AN=tan30°，AB0BnAON，且相似比為tan30°，B0Bn=ONtan30°=×=現在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）如答圖所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi，連接AP，ABi，B0BiAOAB0，APABi，OAP=B0ABi，又AB0=AOtan30°，ABi=APtan30°，AB0：AO=ABi：AP，AB0BiAOP，AB0Bi=AOP又AB0BnAON，AB0Bn=AOP，AB0Bi=AB0Bn

21、，點Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長度為故答案為：點評：本題考查坐標平面內由相似關系確定的點的運動軌跡，難度很大本題的要點有兩個：首先，確定點B的運動路徑是本題的核心，這要求考生有很好的空間想象能力和分析問題的能力；其次，由相似關系求出點B運動路徑的長度，可以大幅簡化計算，避免陷入坐標關系的復雜運算之中9（2013桂林）如圖，已知線段AB=10，AC=BD=2，點P是CD上一動點，分別以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB，設正方形對角線的交點分別為O1、O2，當點P從點C運動到點D時，線段O1

22、O2中點G的運動路徑的長是考點：正方形的性質；軌跡719606 專題：壓軸題分析：根據正方形的性質以及勾股定理即可得出正方形對角線的長，進而得出線段O1O2中點G的運動路徑的長解答：解：如圖所示：當P移動到C點以及D點時，得出G點移動路線是直線，利用正方形的性質即線段O1O2中點G的運動路徑的長就是O2O的長，線段AB=10，AC=BD=2，當P與C重合時，以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB，AP=2，BP=8，則O1P=，O2P=4，O2P=O2B=4，當P與D重合，則PB=2，則AP=8，OP=4，OP=，HO=BO=，O2O=4=3故答案為：3點評：此題主要考查了正方形

23、的性質以及勾股定理等知識，根據已知得出G點移動的路線是解題關鍵10（2013竹溪縣模擬）如圖：已知AB=10，點C、D在線段AB上且AC=DB=1； P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊AEP和等邊PFB，連結EF，設EF的中點為G；當點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的長是考點：三角形中位線定理；等邊三角形的性質；平行四邊形的判定與性質719606 分析：分別延長AE、BF交于點H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為PH中點，則G的運行軌跡為三角形HCD的中位線MN再求出CD的長，運用中位線的性質求出MN的長度即可解答：解：如圖，分別延長AE、BF交于點

24、H，A=FPB=60°，AHPF，B=EPA=60°，BHPE，四邊形EPFH為平行四邊形，EF與HP互相平分G為EF的中點，G正好為PH中點，即在P的運動過程中，G始終為PH的中點，所以G的運行軌跡為三角形HCD的中位線MNCD=1011=8，MN=4，即G的移動路徑長為4故答案為：4點評：本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質，解答本題的關鍵是作出輔助線，找到點G移動的規律，判斷出其運動路徑，綜合性較強11如圖，一根長為2米的木棒AB斜靠在墻角處，此時BC為1米，當A點下滑至A'處并且A'C=1米時，木棒AB的中點P運動的路徑長為米考點：勾股定理的

25、應用；弧長的計算719606 專題：壓軸題分析：先根據三角函數求出BAC的度數，再根據直角三角形的性質得到ACP的度數，同理求出BCP的度數，可得PCP的度數，再根據弧長的計算公式求解即可解答：解：連接CP，CPACB=90°，BC=1米，AB=2米，BAC=30°，P是木棒AB的中點，PC=PA=1米，PCA=30°，同理求出BCP=30°，則PCP=30°，木棒AB的中點P運動的路徑長為：×2×1=米故答案為：米點評：考查了三角函數，直角三角形的性質和弧長的計算公式，木棒AB的中點P運動的路徑為半徑為1的扇形的弧長三解答題（共1小題）12（2012義烏市模擬）如圖，邊長為4的等邊AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限一動點P沿x軸以每秒1個單位長度的速度由點O向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒在點P的運動過程中，線段BP的中點為點E，將線段PE繞點P按順時針方向旋轉60°得PC （1）當點P運動到線段OA的