1、動點問題所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜,靈活運用有關數學知識解決問題.關鍵:動中求靜.數學思想：分類思想 數形結合思想 轉化思想1、如圖1，梯形ABCD中，AD BC，B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,點P從A開始沿AD邊以1cm/秒的速度移動，點Q從C開始沿CB向點B以2 cm/秒的速度移動，如果P，Q分別從A，C同時出發，設移動時間為t秒。當t= 時，四邊形是平行四邊形；6 當t= 時，四邊形是等腰梯形. 82、如圖2，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上

2、，且DM=1，N為對角線AC上任意一點，則DN+MN的最小值為 53、如圖，在中，點是的中點，過點的直線從與重合的位置開始，繞點作逆時針旋轉，交邊于點過點作交直線于點，設直線的旋轉角為（1）當 度時，四邊形是等腰梯形，此時的長為 ；OECBDAlOCBA（備用圖）當 度時，四邊形是直角梯形，此時的長為 ；（2）當時，判斷四邊形是否為菱形，并說明理由解：（1）30，1；60，1.5；（2）當=900時，四邊形EDBC是菱形.=ACB=900，BC/ED. CE/AB, 四邊形EDBC是平行四邊形在RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2, A=300.AB=4,AC=2. AO= .在

3、RtAOD中，A=300，AD=2.BD=2. BD=BC. 又四邊形EDBC是平行四邊形，四邊形EDBC是菱形 ACBEDNM圖3ABCDEMN圖24、在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且ADMN于D，BEMN于E.CBAED圖1NM(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：ADCCEB；DE=ADBE；(2)當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；(3)當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明.解：（1） ACD=ACB=90° CAD+ACD=90

4、76; BCE+ACD=90° CAD=BCE AC=BC ADCCEB ADCCEB CE=AD，CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2) ADC=CEB=ACB=90° ACD=CBE 又AC=BC ACDCBE CE=AD，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 當MN旋轉到圖3的位置時，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等) ADC=CEB=ACB=90° ACD=CBE， 又AC=BC， ACDCBE， AD=CE，CD=BE， DE=CD-CE=BE-AD. 5、數學課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正

5、方形，點E是邊BC的中點，且EF交正方形外角的平行線CF于點F，求證：AE=EF經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證，所以在此基礎上，同學們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由； （2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF”仍然成立你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明

6、理由ADFCGEB圖1解：（1）正確ADFCGEBM證明：在上取一點，使，連接，是外角平分線， ADFCGEB圖2， （ASA） （2）正確 證明：在的延長線上取一點使，連接 ADFCGEB圖3ADFCGEBN 四邊形是正方形， （ASA）6、如圖, 射線MB上,MB=9,A是射線MB外一點,AB=5且A到射線MB的距離為3,動點P從M沿射線MB方向以1個單位/秒的速度移動，設P的運動時間為t. 求（1） PAB為等腰三角形的t值；（2） PAB為直角三角形的t值；（3） 若AB=5且ABM=45 °，其他條件不變，直接寫出 PAB為直角三角形的t值7、如圖1，在等腰梯形中，是的中點

7、，過點作交于點，.求：（1）求點到的距離；（2）點為線段上的一個動點，過作交于點，過作交折線于點，連結，設.當點在線段上時（如圖2），的形狀是否發生改變？若不變，求出的周長；若改變，請說明理由；當點在線段上時（如圖3），是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由ADEBFC圖4（備用）ADEBFC圖5（備用）ADEBFC圖1圖2ADEBFCPNM圖3ADEBFCPNM（第25題）解（1）如圖1，過點作于點 為的中點， 在中， 圖1ADEBFCG即點到的距離為 （2）當點在線段上運動時，的形狀不發生改變 ， 同理 如圖2，過點作于，圖2ADEBFCPNMG

8、H 則在中，的周長= 當點在線段上運動時，的形狀發生改變，但恒為等邊三角形當時，如圖3，作于，則類似， 是等邊三角形，此時， 圖3ADEBFCPNM圖4ADEBFCPMN圖5ADEBF（P）CMNGGRG當時，如圖4，這時 此時，當時，如圖5， 則又 因此點與重合，為直角三角形 此時，綜上所述，當或4或時，為等腰三角形 8、如圖，已知中，厘米，厘米，點為的中點(1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，與是否全等，請說明理由；若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時

9、，能夠使與全等？（2）若點Q以中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都逆時針沿三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？AQCDBP解：（1）秒， 厘米，厘米，點為的中點， 厘米又厘米， 厘米， 又， ， ， ， 又，則，點，點運動的時間秒， 厘米/秒。（2）設經過秒后點與點第一次相遇， 由題意，得，解得秒點共運動了厘米 ，點、點在邊上相遇，經過秒點與點第一次在邊上相遇9、如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動，

10、總有BE=CF；（2）當點E、F在BCCD上滑動時，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值【答案】解：（1）證明：如圖，連接AC四邊形ABCD為菱形，BAD=120°，BAE+EAC=60°，FAC+EAC=60°，BAE=FAC。BAD=120°，ABF=60°。ABC和ACD為等邊三角形。ACF=60°，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四邊形AECF的面積不變，CE

11、F的面積發生變化。理由如下：由（1）得ABEACF，則SABE=SACF。S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H點，則BH=2，。由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短故AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又SCEF=S四邊形AECFSAEF，則此時CEF的面積就會最大SCEF=S四邊形AECFSAEF。CEF的面積的最大值是。【考點】菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，垂直線段的性質。【分析】（1）先求證AB=AC，進而求證ABC、

12、ACD為等邊三角形，得ACF =60°，AC=AB，從而求證ABEACF，即可求得BE=CF。（2）由ABEACF可得SABE=SACF，故根據S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四邊形AECF的面積是定值。當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，根據SCEF=S四邊形AECFSAEF，則CEF的面積就會最大。10、如圖，在AOB中，AOB=90°，OA=OB=6，C為OB上一點，射線CDOB交AB于點D，OC=2點P從點A出發以每秒個單位長度的速度沿

13、AB方向運動，點Q從點C出發以每秒2個單位長度的速度沿CD方向運動，P、Q兩點同時出發，當點P到達到點B時停止運動，點Q也隨之停止過點P作PEOA于點E，PFOB于點F，得到矩形PEOF以點Q為直角頂點向下作等腰直角三角形QMN，斜邊MNOB，且MN=QC設運動時間為t（單位：秒）（1）求t=1時FC的長度（2）求MN=PF時t的值（3）當QMN和矩形PEOF有重疊部分時，求重疊（陰影）部分圖形面積S與t的函數關系式（4）直接寫出QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個公共點時t的值考點：相似形綜合題709388 分析：（1）根據等腰直角三角形，可得，OF=EP=t，再將t=1代入求出FC的長度；（2）根據MN=PF，可得關于t的方程6t=2t，解方程即可求解；（3）分三種情況：求出當1t2時；當2t時；當t3時；求出重疊（陰影）部分圖形面積S與t的函數關系式；（4）分M在OE上；N在PF上兩種情況討論求得QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個公共點時t的值解答：解：（1）根據題意，AOB、AEP都是等腰直角三