1、1.3柱坐標系和球坐標系1.了解在柱坐標系、球坐標系中刻畫空間中點的位置的方法.(重點)2.理解柱坐標、球坐標與空間直角坐標的互化關系與公式.(重點)3.體會空間直角坐標、柱坐標、球坐標刻畫點的位置的方法的區別.(易錯易混點)教材整理1柱坐標系和球坐標系1.柱坐標系如圖1­3­1，建立空間直角坐標系O­xyz.設M(x，y，z)為空間一點，并設點M在xOy平面上的投影點P的極坐標為(r，)，則這樣的三個數r，z構成的有序數組(r，z)就叫作點M的柱坐標，這里規定r，z的變化范圍為0r，02，z.圖1­3­1特別地，r常數，表示的是以z軸為軸的圓

2、柱面；常數，表示的是過z軸的半平面；z常數，表示的是與xOy平面平行的平面.2.球坐標系設M(x，y，z)為空間一點，點M可用這樣三個有次序的數r，來確定，其中r為原點O到點M間的距離，為有向線段與z軸正方向所夾的角，為從z軸正半軸看，x軸正半軸按逆時針方向旋轉到有向線段的角，這里P為點M在xOy平面上的投影(如圖1­3­2).這樣的三個數r，構成的有序數組(r，)叫作點M的球坐標，這里r，的變化范圍為0r<，0，02.圖1­3­2特別地，r常數，表示的是以原點為球心的球面；常數，表示的是以原點為頂點，z軸為軸的圓錐面；常數，表示的是過z軸的半平面

3、.判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)柱坐標和球坐標都是有序數組，但意義不同.()(2)在柱坐標系M(r，z)中，表示OM與y軸所成的角.()(3)球坐標中，r表示OM的長度.()【解析】(1)柱坐標和球坐標都是有序數組，但意義不同.(2)×表示OM與x軸所成的角.(3)球坐標中r表示OM的長度.【答案】(1)(2)×(3)教材整理2空間中點的坐標之間的變換公式設空間一點M的直角坐標為(x，y，z)，柱坐標為(r，z)，球坐標為(r，)，則空間直角坐標柱坐標系球坐標系(x，y，z)填空：(1)柱坐標的直角坐標是_.(2)球坐標的直角坐標是_.【解析】(1)x

4、2cos 1，y2sin ，z1.所以的直角坐標是(1，1).(2)x4×sin ×cos ，y4×sin ×sin ，z4cos 2.的直角坐標是(，2).【答案】(1)(1, ，1)(2)(， ，2)預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 把點的柱坐標化為直角坐標根據下列點的柱坐標，分別求直角坐標.(1)；(2).【精彩點撥】【自主解答】設點的直角坐標為(x，y，z).(1)(r，z)，(，1,3)為所求.(2)(r，z)，(1,1,5)為所求.點(r，z)是三維空間坐標系中的點的

5、坐標，在平面xOy內實際為極坐標系，且r0,02，在豎直方向上，z為任意實數.化點的柱坐標(r，z)為直角坐標(x，y，z)，需要運用公式轉化為三角函數的求值與運算即得.1.將下列各點的柱坐標分別化為直角坐標.(1)；(2)(1，0).【解】設點的直角坐標為(x，y，z)，(1)(r，z)，(，1,1)為所求.(2)(r，z)(1，0)，(1,0,0)為所求.把點的球坐標化為直角坐標把下列各點的球坐標化為直角坐標.(1)；(2).【精彩點撥】【自主解答】設點的直角坐標為(x，y，z)，(1)(r，)，(1，1，)為所求.(2)(r，)，為所求.首先要明確點的球坐標(r，)中角，的邊與數軸Oz，

6、Ox的關系，注意各自的限定范圍，即0，02.化點的球坐標(r，)為直角坐標(x，y，z)，需要運用公式轉化為三角函數的求值與運算.2.將下列各點的球坐標分別化為直角坐標.(1)；(2)(3，).【解】設點的直角坐標為(x，y，z).(1)(r，)，為所求.(2)(r，)(3，)，(0,0，3)為所求.化點的坐標為柱坐標或球坐標探究1空間中點的坐標有三種形式：直角坐標、柱坐標和球坐標，它們各有何特點？【提示】設空間中點M的直角坐標為(x，y，z)，柱坐標為(r，z)，球坐標為(r，)，它們都是有序數組，但意義不同.直角坐標為三個實數；柱坐標分別表示距離、角、實數；球坐標分別表示距離、角、角.探究

7、2在空間的柱坐標系中，方程rr0(r0為不等于0的常數)，0，zz0分別表示什么圖形？ 【提示】在空間的柱坐標系中，方程rr0表示中心軸為z軸，底半徑為r0的圓柱面，它是上述圓周沿z軸方向平行移動而成的.方程0表示與zOx坐標面成0角的半平面.方程zz0表示平行于xOy坐標面的平面，如圖所示.常把上述的圓柱面、半平面和平面稱為柱坐標系的三族坐標面.已知正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，如圖1­3­3，建立空間直角坐標系A­xyz，以Ax為極軸，求點C1的直角坐標、柱坐標以及球坐標.圖1­3­3【精彩點撥】先求C1的直角坐標，

8、再根據柱坐標、球坐標與直角坐標的關系，求得其柱坐標、球坐標.【自主解答】點C1的直角坐標為(1,1,1).設點C1的柱坐標為(r，z)，球坐標為(r，)，其中r0，r0,0，02.由公式及得及得及結合圖形，得，由cos 得tan .所以點C1的直角坐標為(1,1,1)，柱坐標為，球坐標為，其中tan ，0.化點M的直角坐標(x，y，z)為柱坐標(r，z)或球坐標(r，)，需要對公式以及進行逆向變換，得到以及提醒：在由三角函數值求角時，要結合圖形確定角的范圍再求值.3.已知點M的柱坐標為，求M關于原點O對稱的點的柱坐標.【解】M的直角坐標為M關于原點O的對稱點的直角坐標為(1，1，1).(1，1

9、，1)的柱坐標為：2(1)2(1)22，.tan 1，又x<0，y<0，其柱坐標為，M關于原點O對稱點的柱坐標為.1.要刻畫繞地球運轉的某氣象衛星的位置，應適合運用()A.極坐標系B.空間直角坐標系C.柱坐標系D.球坐標系【解析】由題意知D正確.【答案】D2.已知點A的柱坐標為(1,0,1)，則點A的直角坐標為()A.(1,1,0)B.(1,0,1)C.(0,1,1)D.(1,1,1)【解析】由點A的柱坐標為(1,0,1)知，r1，0，z1，故xrcos 1，yrsin 0，z1，所以直角坐標為(1,0,1).【答案】B3.已知點A的球坐標為，則點A的直角坐標為_. 【導學號：12990015】【解析】x3×sin ×cos 0，y3×sin ×sin 3，z2×cos 0，直角坐標為(0,3,0).【答案】(0,3,0)4.設點M的直角坐標為(1，4)，則它的柱坐標是_.【解析】r2，tan ，x>0，y<0，柱坐標為.【答案】5.已知點P的柱坐標為，點B的球坐標為，求這兩個點的直角坐標.【解】設點P的直角坐標為(x，y，z)，則xcos