1、對稱變換、平移變換一、對稱變換：對稱變換是幾何變換中的基本變換之一，利用軸對稱變換作對稱點，是我們研究“最短路線”的常用方法。有利于把折線轉化到同一直線上研究。典型例題：例1.如圖，在ABC中，C90°，將ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MNAB，MC6，NC，則四邊形MABN的面積是【 】A B C D例2.如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為 cm例3.如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點P，

2、Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為【 】A1 B C 2 D1例4.如圖，四邊形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使AMN周長最小時，則AMNANM的度數為【 】A130° B120° C110° D100°例5.如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB的最小值為 二、平移變換：平移變換是幾何變換中的基本變換之一，平移變換是使圖形上的點沿同一方向平移同一距離得到新的圖形。平移變換前后的圖形具有如下性質：（1）對應線段

3、平行且相等；（2）對應角的兩邊平行且方向一致。典型例題：例1.如圖，APB=300，圓心在邊PB上的O半徑為1cm，OP=3cm，若O沿BP方向移動，當O與PA相切時，圓心O移動的距離為 cm.例2.如圖，有a、b、c三戶家用電路接入電表，相鄰電路的電線等距排列，則三戶所用電線【 】Aa戶最長 Bb戶最長 Cc戶最長D三戶一樣長例3.如圖：矩形ABCD的對角線AC=10，BC=8，則圖中五個小矩形的周長之和為 例4.如圖，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3，DC=，高CE=2，對角線AC、BD交于H，平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時從點A出發沿AC方向向點C勻速平移，分別交等腰梯形

4、ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對角線AC于F、G；當直線RQ到達點C時，兩直線同時停止移動記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的圖形面積為S1、被直線RQ掃過的圖形面積為S2，若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，設兩直線移動的時間為x秒（1）填空：AHB= ；AC= ；（2）若S2=3S1，求x；（3）設S2=mS1，求m的變化范圍對稱變換、平移變換一、對稱變換：對稱變換是幾何變換中的基本變換之一，利用軸對稱變換作對稱點，是我們研究“最短路線”的常用方法。有利于把折線轉化到同一直線上研究。典型例題：例1.如圖，在ABC中，C90°，將ABC沿直線MN翻

5、折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MNAB，MC6，NC，則四邊形MABN的面積是【 】A B C D【分析】連接CD，交MN于E，將ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，MNCD，且CE=DE。CD=2CE。MNAB，CDAB。CMNCAB。在CMN中，C=90°，MC=6，NC= ，。故選C。例2.如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為 cm【分析】如圖，圓柱形玻璃杯展開（沿點A豎直剖開）后側面是一個長18寬12的矩形

6、，作點A關于杯上沿MN的對稱點B，連接BC交MN于點P，連接BM，過點C作AB的垂線交剖開線MA于點D。 由軸對稱的性質和三角形三邊關系知APPC為螞蟻到達蜂蜜的最短距離，且AP=BP。 由已知和矩形的性質，得DC=9，BD=12。 在RtBCD中，由勾股定理得。 APPC=BPPC=BC=15，即螞蟻到達蜂蜜的最短距離為15cm。例3.如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為【 】A1 B C 2 D1【分析】分兩步分析： （1）若點P，Q固定，此時點K的位置：如圖，作點P關于BD的對稱點P1，連接P1

7、Q，交BD于點K1。 由線段中垂線上的點到線段兩端距離相等的性質，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形兩邊之和大于第三邊的性質，得P1KQKP1Q= P1K1Q K1= P K1Q K1。 此時的K1就是使PK+QK最小的位置。 （2）點P，Q變動，根據菱形的性質，點P關于BD的對稱點P1在AB上，即不論點P在BC上任一點，點P1總在AB上。 因此，根據直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質，得，當P1QAB時P1Q最短。 過點A作AQ1DC于點Q1。 A=120°，DA Q1=30°。 又AD=AB=2，P1Q=AQ1=AD·cos300

8、=。 綜上所述，PK+QK的最小值為。故選B。例4.如圖，四邊形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使AMN周長最小時，則AMNANM的度數為【 】A130° B120° C110° D100°例5.如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB的最小值為 【分析】連接DE，交BD于點P，連接BD。點B與點D關于AC對稱，DE的長即為PE+PB的最小值。AB=4，E是BC的中點，CE=2。在RtCDE中，。二、平移變換：平移變換是幾何變換中的基本變換之一，平

9、移變換是使圖形上的點沿同一方向平移同一距離得到新的圖形。平移變換前后的圖形具有如下性質：（1）對應線段平行且相等；（2）對應角的兩邊平行且方向一致。典型例題：例1.如圖，APB=300，圓心在邊PB上的O半徑為1cm，OP=3cm，若O沿BP方向移動，當O與PA相切時，圓心O移動的距離為 cm.【分析】如圖，設O移動到O1，O2位置時與PA相切。 當O移動到O1時，O1DP=900。 APB=300，O1D=1，PO1=2。 OP=3，OO1=1。當O移動到O2時，O2EP=900。 APB=300，O2D=1，O2PE=300，PO2=2。 OP=3，OO1=5。 綜上所述，當O與PA相切時

10、，圓心O移動的距離為1cm或5 cm。例2.如圖，有a、b、c三戶家用電路接入電表，相鄰電路的電線等距排列，則三戶所用電線【 】Aa戶最長 Bb戶最長 Cc戶最長D三戶一樣長【分析】根據平移的性質，對于電線中橫的和豎的線段分別采用割補法將線段向右進行平移，便可直觀觀察到都是相等的。因此a b c三線長度相等。故選D。例3.如圖：矩形ABCD的對角線AC=10，BC=8，則圖中五個小矩形的周長之和為 【分析】由勾股定理，得AB=，將五個小矩形的所有上邊平移至AD，所有下邊平移至BC，所有左邊平移至AB，所有右邊平移至CD，五個小矩形的周長之和=2（AB+CD）=2×（6+8）=28。例

11、4.如圖，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3，DC=，高CE=2，對角線AC、BD交于H，平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時從點A出發沿AC方向向點C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對角線AC于F、G；當直線RQ到達點C時，兩直線同時停止移動記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的圖形面積為S1、被直線RQ掃過的圖形面積為S2，若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，設兩直線移動的時間為x秒（1）填空：AHB= ；AC= ；（2）若S2=3S1，求x；（3）設S2=mS1，求m的變化范圍解：（1）90°；4。（2）直線移動有兩

12、種情況：0x及x2。當0x時，MNBD，AMNARQ。直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，AMN和ARQ的相似比為1：2。S2=4S1，與題設S2=3S1矛盾。當0x時，不存在x使S2=3S1。當x2時， ABCD，ABHCDH。CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。CH=DH=AC=1，AHBH=41=3。CG=42x，ACBD，SBCD=×4×1=2RQBD，CRQCDB。又，MNBD，AMNADB。，S1=x2，S2=88（2x）2。S2=3S1，88（2x）2=3·x2，解得：x1=（舍去），x2=2。x的值為2。（3）由

13、（2）得：當0x時，m=4，當x2時，S2=mS1，。m是的二次函數，當x2時，即當時，m隨的增大而增大，當x=時，m最大，最大值為4；當x=2時，m最小，最小值為3。m的變化范圍為：3m4。配套練習練習題：1.點A、均在由面積為1的相同小矩形組成的網格的格點上，建立平面直角坐標系如圖所示若P是x軸上使得的值最大的點，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點，則2.如圖，MN為O的直徑，A、B是O上的兩點，過A作ACMN于點C，過B作BDMN于點D，P為DC上的任意一點，若MN20，AC8，BD6，則PAPB的最小值是。3.在學習軸對稱的時候，老師讓同學們思考課本中的探究題。如圖（1），要在燃氣管

14、道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找幾個點試一試，能發現什么規律？你可以在上找幾個點試一試，能發現什么規律？聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法他把管道l看成一條直線（圖（2），問題就轉化為，要在直線l上找一點P，使AP與BP的和最小他的做法是這樣的：作點B關于直線l的對稱點B連接AB交直線l于點P，則點P為所求請你參考小華的做法解決下列問題如圖在ABC中，點D、E分別是AB、AC邊的中點，BC=6，BC邊上的高為4，請你在BC邊上確定一點P，使PDE得周長最小（1）在圖中作出點P（保留作圖痕跡，不寫作法）（

15、2）請直接寫出PDE周長的最小值： 4.如圖，在平面直角坐標系中，有A(1，2)，B(3，3)兩點，現另取一點C(a，1)，當a 時，ACBC的值最小5.去冬今春，濟寧市遭遇了200年不遇的大旱，某鄉鎮為了解決抗旱問題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側張村A和李村B送水。經實地勘查后，工程人員設計圖紙時，以河道上的大橋O為坐標原點，以河道所在的直線為軸建立直角坐標系（如圖）。兩村的坐標分別為A（2，3），B（12，7）。(1) 若從節約經費考慮，水泵站建在距離大橋O多遠的地方可使所用輸水管道最短？(2) 水泵站建在距離大橋O多遠的地方，可使它到張村、李村的距離相等？練習題：1.如圖：矩形ABCD的對角線AC=10，BC=8，則圖中五個小矩形的周長之和為【 】A、14 B、16 C、20 D、28 2.等腰梯形的上底是2cm，腰長是4cm，一個底角是60°，則等腰梯形的下底是 【 】A、5cmB、6cmC、7cmD、8cm3.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，ACBD于點O，過點A作AEBC于點E，若BC=2AD=8，則tanABE= 。4.如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，ADBC12，AEBC，垂足為E，連結BD交AE于F，則BFE的面積與DFA的面積之