1、課題 最簡三角方程上海市延安中學 呂志勇一、教案設計思考這節課的內容是給出三角方程的定義，以及解最簡三角方程的基本方法，其中要應用到三角函數性質及圖像、反三角函數、誘導公式等知識，還包括數形結合、轉換、分類討論、類比等數學思想方法，是對所學過的許多三角知識進行應用，在三角比和三角函數這兩章內容中的地位還比較重要，它是先有三角比值，然后要研究滿足這樣的條件的角是什么，也完善了解三角形的理論基礎這節課用解三角形時的一個問題來引入，簡單并能引起同學的興趣，然后整節課采用啟發、探究的教學方法，調動同學積極思考問題二、教學目標理解三角方程、最簡三角方程的定義，掌握三種最簡三角方程的解法；體會由特殊到一般

2、的研究問題的方法，能綜合運用所學知識解決問題，能用數形結合、轉換、分類討論、類比等數學思想方法解決有關問題三、教學重點、難點解三角方程的思想方法四、教學方法和手段采用啟發式教學模式五、教學過程1、引入前面我們重點學習了三角函數的有關知識，研究了角的變化對三角比值的影響，在解三角形中我們已經遇到知道了一個角的三角比值，要求這個角，如知道，由于角是三角形中的內角，所以有或，今后我們會遇到類似的問題，特別是當角的大小沒有條件限制時，那么滿足的有多少呢？我們把這樣的方程叫做三角方程，那么如何解這類方程呢？下面就請同學思考這個問題2、探究要研究如何解三角方程，先解決較簡單的方程，就以為例，同學思考后，進

3、行交流討論同學1：這個方程應該有無數多個解，但還沒有找到解決的方法同學2：和都是方程的解，又函數的最小正周期是，所以此方程的解集是或，教師：好，你的確找到了方程的許多解，但是會不會有其它的解遺漏了呢？同學3：不會遺漏，由于函數的最小正周期是，只要先找到在的解，那么方程的所有解都找到了，畫出函數與的圖象，發現在內的交點有且只有兩個，交點橫坐標為和，所以方程的解集是或，教師：很好，方程有無數個解，找到所有的解的方法是利用三角周期的性質，先在一個最小正周期內找到解，然后找到方程所有解那么，方程又如何解呢？同學4：方法跟前面一樣，只是在內的解要用反三角函數來表示，即方程的解集是或，教師：很好，方程又如

4、何解呢？同學5：方法跟前面一樣，在內的解也有兩個教師：哪兩個呢？同學5：一個是，另一個是此時引起許多同學的爭論，覺得這里有問題同學6：先在內找到解，一個是，另一個是教師：為什么？同學6：書上就是這樣說的，先選取區間又引起同學爭論同學7：先在內找到解，一個是，另一個是，然后是方程的解集就是或，教師：很好，這里先選擇哪個周期的標準是如何能順利表示出解來，由反三角函數知識，這個區間最好包括，而在內的圖象又是關于直線對稱的那么方程又如何解呢？同學8：在內的解是與，所以方程的解是或，同學9：不對，要進行分類討論，當時，方程無解3、結論在同學的共同討論下，關于方程，最后可以得到以下的結論：當時，函數和函數

5、的圖象無交點，方程無解，即解集為當時，方程的解集為或4、繼續探究從解方程的方法得到啟發，如何解方程呢？同學10：由誘導公式，將方程轉換為即可教師：很好，體現了數學轉換的思想，那么能不能用類似解的方法來解方程呢？同學11：那么還是用數形結合的方法，先分類討論，當時，函數與 的圖象無交點，方程無解當時，函數與的圖象在區間內的交點有兩個，橫坐標是與，所以方程的解集為或教師：很好，理解了方程的解法之后，用類比的方法就很容易解方程了那么又如何解方程呢？同學12：還是用數形結合的方法，函數與的圖象在區間內的交點橫坐標是，又由于函數的最小正周期是，所以方程的解集為教師：很好，方程是最容易解的，函數與的圖象在

6、區間 內的交點總是有且只有一個，不需要進行分類討論5、練習解下列方程：（1）；（2）；（3）6、小結今天我們一起討論了如何解三角方程，先研究如何解最簡三角方程，掌握了解三種最簡三角方程的基本方法，另外，解三角方程的基本思想方法主要體現在以下幾個方面：（1）從特殊到一般的研究問題方法（2）利用函數的圖象及性質，采用數形結合的方法；（3）轉化思想，先找到一個周期內的解，再利用周期性質得到方程所有的解；（4）采用類比的思想方法7、布置作業第106頁 習題 1，2六、教學建議與反思最簡三角方程這節內容兩節課完成，這是第一節課，這節課的教學思路是這樣設計的，先是通過復習解斜三角形引出問題，使同學產生研究

7、的興趣，課堂上學生對這個問題的確產生了興趣，雖然引入沒有花許多時間，但產生了明顯的效果，然后是跟同學一起討論如何解三角方程，由簡單到復雜逐步推進，從中逐步體會解三角方程的思想，如利用三角函數的周期性質，還有數形結合，分類討論等數學方法，課堂上學生能進行積極思考和討論，并能夠對教材提出自己的獨特的見解完成對三角方程的求解之后，要求學生繼續解三角方程和，學生的思維很積極，如能利用轉換思想將方程轉換為來解，能合理運用類比的思想方法，將解方程得到的方法應用到解方程和上，在課堂小結時，同學也能把本節課學習到的重要內容總結出來由于這節課設計時要解決三個三角方程，在討論好解的方法之后，繼續研究如何解另外兩個

8、方程，這個過程培養了同學的類比能力，增強了同學的類比意識，但是也遇到一些問題，如課堂練習的時間比較少，沒有能對方程的各種解法進行更進一步的探討，其實可以從單位圓的角度，先把問題轉換為找終邊所在的位置，再求出終邊所表示的角的集合，又如當時，方程的解集為或，這個集合也可以等價地表示為，這個表示方法更加簡潔所以這節課的設計也可以考慮只解決方程的解法，把它討論透徹，第二節課再研究另外兩個方程的解法課 題：6.5-最簡三角方程第1課時：教學目標：1. 知道三角方程的概念，理解三角方程的解集概念；能從單位圓、三角函數圖象等觀點來理解并掌握最簡三角方程求解方法及解集2. 通過解三角方程，進一步理解三角函數及

9、反三角函數。3. 進一步提高數形結合思想教學重點：三角方程的求解教學難點：三角方程的求解教學過程三角方程的定義：我們把含有未知數的三角函數的方程叫做三角方程；把滿足三角方程的所有的未知數的集合稱為三角方程的解集。如，等。點評：一般地，由于三角函數具有周期性，因此三角方程的解集一般含有無窮多個元素最簡三角方程1、方程的解集例1 求三角方程的解集解：在區間上，滿足的或，而是周期為的函數，則或（），則方程的解集為或。解集還可以寫成。 給學生講講為什么。歸納方程的解：（i）當時，方程無解；（ii）當時，或（也可寫成（）。特別的：當時，（）。當時，（）。當時，（）。注意：1、函數，圖像與方程解之間的關系

10、。2、單位圓和三角函數線與方程解之間的關系。練習：口答下列方程的解（1）；（2）；（3）；（4）。2、方程的解集例2 求三角方程的解集。解：在區間上，滿足的或，而是周期為的函數，則（），則方程的解集為。歸納方程的解：（i）當時，方程無解；（ii）當時，（）。特別的：當時，（）。當時，（）。當時，（）。練習：口答下列方程的解（1）；（2）；（3）；（4）。3、方程的解集例3 求解方程的解集，并總結一般的三角方程的一般解集。解：在區間上，滿足的，而是周期為的函數，則（），則方程的解集為。歸納方程的解：（）練習：口答下列方程的解（1）；（2）；（3）。例4 求下列方程的解集：(1) 解：（）變式：若

11、呢？ 解：。(2) 解：（）(3) 解：，則（）。(4)，且為銳角解：，則（），則(5)解：或，則或（）。變式：解：，則（舍）或，則（）。點評：（1）以上的方程都可以轉化為最簡三角方程求解；（2）一定要掌握最簡三角方程的一般解集課堂小結：1、數學知識：最簡三角方程及其解集。2、數學思想方法：數形結合。作業：課本P.112-6.5(1)，P.113- 6.5(2)，練習冊P.46-A組-2、3、4 課 題：6.5-最簡三角方程第2課時：教學目標：1. 進一步掌握解三角方程的方法集，能利用最簡三角方程解決簡單的三角問題。2. 通過解三角方程，進一步理解三角函數及反三角函數。3. 進一步提高三角變換

12、能力。教學重點：解三角方程教學難點：解三角方程教學過程：一、最簡三角方程：1、 若sinx，則x2karcsin或x2karcsin，kZ2、 若cosx，則x2k±(arccos)，kZ3、 若tanx2，則xkarctan2)，kZ二、形如sinf(x)a的方程，其中1a14、解：，得2x2k，則xk，kZ來5、解：，得xk，則xk，kZ三、形如f(sinx)a的方程6、解：，得，解得或，則或，。7、解：解得或（舍），則，。8、解：或，。四、形如asinxbcosxc(c0)的方程 用輔助角轉化為最簡三角方程9、解：得，則，10、 解：，則，五、關于sinx、cosx的奇次的方程11、解1：得，則，。解2：同除以得，則，。12、 轉化為只含tanx的三角方程解1：同除以得得或，則或，解2：，則，則或，得或，則或，。點評：關于、的奇次方程， 六、兩邊同名的三角方程13、解：或，則或，。點評：，則或（）；，則（）；，則或（）。七、其它類型方程14、解：，則，而，則，則（）。例2：當為何值時，方程有實數解？解：，則時方程有解，則。例3：若方程有實數解，求實數的取值范圍。解：，令，則，則。點評：方程的有解問題通過變量分離轉化為函數得值域例4：方程（1）若方程有解，求實數m的