1、一筆畫和最短路線一、一筆畫1. 下面的圖形可以一筆畫成嗎？如果可以，請你用一筆畫成（在圖上標出箭頭）；如果不能，請簡單說明理由。A組：B組：C組： （4） （5） （6） （7）2判斷圖中的三個圖形，哪個圖形能一筆畫？為什么？請把能一筆畫出的圖形的畫法用字母和箭頭表示出來。3有一個郵局，負責21個村莊的投遞工作，右圖中的點表示村莊，線段表示道路。郵遞員從郵局出發，能不重復地經過每一個村莊，最后回到郵局么？如果可以，請你用一筆畫成（在圖上標出箭頭）；如果不能，請簡單說明理由。4下圖是一個公園的道路平面圖，要使游客走遍每條路且不重復，問出、入口應設在哪里？5一張紙上畫有如下所示的圖，你能否用剪刀連

2、續剪下圖中的三個正方形和兩個三角形？ 二、最短路線1甲、乙、丙是三個鎮，中間有一條河把甲、丙和乙隔開，如圖1312，要使這三個鎮中任何兩個鎮之間都有最短通路，除了在甲、丙之間修一條直線型公路外，還需要在河面上架兩座橋，使甲與乙、乙與丙之間也有通路這兩座橋應架在什么地方最合理 2有兩條通訊路線A和B，如圖1313，通訊員從C處出發，查完兩條線后到D處，作圖表示他怎樣走路程最短（假設到達通訊線路的任何一處都可完成查線工作）？3要在兩條街道（如圖1314）A和B上各設立一個郵筒，M處是郵局，問郵筒設在哪里才能使郵遞員從郵局出發，到兩個郵筒取完信再回到郵局的路程最短？ 4一個小蟲從圓柱體（如圖1315

3、）的A點處繞圓柱體側面一周，最后爬到頂點B處請畫出小蟲從A點繞到圓柱體側面到達B點的最短路線5如圖1316，A、B、C三點分別是正方體三條棱的中點假設一只螞蟻沿著正方體的表面從中點A爬到中點C，圖中所示路線是否為螞蟻爬行的最短路線，為什么？答案僅供參考：1如圖13-1所示，橋應架在AB、CD位置上 2如圖13-2所示，沿CPQD走路程最短3如圖13-3所示，郵筒應設在E、F兩點，沿MEFM路線為最短 4將圓柱體的側面展開成一個長方形，如圖13-4從A到B的直線段最短，把側面展開圖卷成圓柱，那么直線段AB就變成圓柱體側面上的曲線AB，小蟲沿著這條曲線爬行是最短路線5要求A到C的最短路線，可以先把

4、立方體展開，使它相鄰兩個面處于同一平面內螞蟻從A到C有兩條路線可以選擇：（1）將朝上的一面與朝前的一面展開在同一平面內，連結AC，則AC一定過中點B，如圖13-5假設正方體的棱長為2個長度單位，則由勾股定理，得：AC2=2222=8（2）把朝前和朝右的一面展開在同一平面內，連結AC，如圖13-6同樣可以求得AC2=12+（21）2=10比較兩種路線，由于8小于10，所以沿第一條路線從A到C的路線為最短，即圖13-21所示路線是螞蟻爬行的最短路線6、甲、乙兩村之間隔一條河，如圖131現在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應修在何處？分析：設甲、乙兩村分別用點A、B表示要在河上架橋，

5、關鍵是要選取一個最佳建橋的位置，使得從甲村出發經過橋到乙村的路程最短即從甲村到甲村河邊的橋頭的距離加上橋長（相當于河的寬度），再加上乙村到乙村河邊的橋頭的距離盡可能短，這是一個求最短折線的問題直接找出這條折線很困難，能否可以把它轉化為直線問題呢？由于河的寬度不變，不論橋修在哪里，橋都是必經之路，且橋長相當于河寬，是一個定值，所以可以預先把這段距離扣除，只要使兩鎮到河邊橋頭的距離最短就可以了所謂預先將橋長扣除，就是假設先走完橋長，即先把橋平移到甲村，先過了橋，到C點，如圖132，找出C到B的最短路線，實際上求最短折線問題轉化為直線問題解：如圖132過A點作河岸的垂線，在垂線上截取AC的長等于河寬

6、連BC交與乙村的河岸于F點，作EF垂直于河的另一岸于E點，則EF為架橋的位置，也就是AE+EF+FB是兩村的最短路線7、如圖133，A、B兩個學校都在公路的同側想在這兩校的附近的公路上建一個汽車站，要求車站到兩個學校的距離之和最小，應該把車站建在哪里？8、如圖136，河流EF與公路FD所夾的角是一個銳角，某公司A在銳角EFD內現在要在河邊建一個碼頭，在公路邊修建一個倉庫，工人們從公司出發，先到河邊的碼頭卸貨，再把貨物轉運到公路邊的倉庫里去，然后返回到A處，問倉庫、碼頭各應建在何處，使工人們所行的路程最短分析：工人們從A出發先到河邊碼頭，再到公路的倉庫，然后回到A處，恰好走一個三角形，現在要求三

7、角形的另外兩個頂點分別建在河岸與公路的什么位置能使這個三角形的三邊之和為最小，利用軸對稱原理作圖解：過A分別作河岸、公路的對稱點A、A，如圖137，連結AA，交河岸于M，交公路于N，則三角形AMN各邊之和等于直線AA的長度，所以倉庫建在N處，碼頭建在M處，使工人們所行的路程最短9、如圖138是一個長、寬、高分別為4分米、2分米、1分米的長方體紙盒一只螞蟻要從A點出發在紙盒表面上爬到B點運送食物，求螞蟻行走的最短路程分析：因為是在長方體的表面爬行，求的是立體圖形上的最短路線問題，往往可以轉化為平面上的最短路線問題將螞蟻爬行經過的兩個面展開在同一平面上，如圖139，在展開圖中，AB間的最短路線是連

8、結這兩點的直線段，但要注意，螞蟻可沿幾條路線到達B點，需對它們進行比較解：螞蟻從A點出發，到B點，有三條路線可以選擇：（1）從A點出發，經過上底面然后進入前側面到達B點， 將這兩個平面展開在同一平面上，這時A、B間的最短路線就是連線AB，如圖139（1），AB是直角三角形ABC的斜邊，根據勾股定理，AB2=AC2+BC2=（1+2）2+42=25（2）從A點出發，經過左側面，然后進入前側面到達B點，將這兩個面展開在同一平面上，如圖139（2），同理AB2=22+（1+4）2=29（3）從A點出發，經過上底面，然后進入右側面到達B點，將這兩個面展開在同一平面上，如圖139（3），得AB2=（2+

9、4）2+12=37比較這三條路線，25最小，所以螞蟻按圖139（1）爬行的路線最短，最短路程為5分米10、如圖1310，在圓柱形的木桶外，有一個小甲蟲要從桶外的A點爬到桶內的B點已知A點到桶口C點的距離為14厘米，B點到桶口D點的距離是10厘米，而C、D兩點之間的弧長是7厘米如果小甲蟲爬行的是最短路線，應該怎么走？路程是多少？分析：先設想將木桶的圓柱展開成矩形平面，如圖1311，由于B點在桶內，不便于作圖，利用軸對稱原理，作點B關于直線CD的對稱點B，這就可以用B代替B，從而找出最短路線解：如圖1311，將圓柱體側面展成平面圖形作點B關于直線CD的對稱點B，連結AB，AB是A、B兩點間的最短距

10、離，與桶口邊交于O點，則OB=OB，AB=AO+OB，那么A、B之間的最短距離就是AO+OB，所以小甲蟲在桶外爬到O點后，再向桶內的B點爬去，這就是小甲蟲爬行的最短路線延長AC到E，使CEBD，因為AEB是直角三角形，AB是斜邊，EB=CD=7厘米，AE=14+10=24（厘米），根據勾股定理：AB2=AE2+EB2=242+72=625所以AB=25（厘米）即小甲蟲爬行的最短路程是25厘米11、一個郵遞員投送信件的街道如圖141，圖上數字表示各段街道的千米數他從郵局出發，要走遍各街道，最后回到郵局問走什么樣的路線最合理，全程要走多少千米？12、 圖143是一個城市道路圖，數字表示各段路的路程

11、（單位：千米），求出圖中從A到F的最短路程13、 某鄉有八個行政村，如圖144，點表示村的位置，線表示村與村之間的道路，路的長度由線旁的數字表示現在要在這個鄉建立通訊網，沿道路架設電線，問沿怎樣的路線架設電線最省（單位：千米）？解：根據剪圈法將圈形網絡圖144轉化成了樹形網絡圖145，此網絡的總長度為：13+12+4+6+16+8=69（千米）由于通訊線路是雙線，所以電線的總長度為69×2=138（千米）14、仍取圖144中八個行政村的位置和線路圖，鄉政府要在全鄉沿村與村之間的道路挖渠修道，建立排灌系統全鄉的地勢是西高東低，即A村最高，依次為B、F、G、H、E、C、D，水源在A村，問

12、沿什么路線修道最合理？分析：由題意，要確定一條合理的挖渠路線，而且要省工省料，并符合“水往低處流”的客觀規律由于所修水渠是連通的，渠道可以看作是網絡，而且也是樹形網絡只是在本題中增加了“地勢不同”這一條件，所以，力求樹形網絡總長盡可能短的情況下，所求的樹形網絡的方向應該是由西向東，以A為起點，以距離A最遠的D為終點采取“取短法”，所謂取短法就是剪去長線，留取短線并根據方向的限制，從地勢最低點開始考慮（也可從其它點入手考慮）D的臨近點有E、H、C，它們都比D地勢高，所以，這三點處的水都可以流入D，則只需取一條最短的即可，ED=16最短，留ED，將HD、CD去掉再看C點，有兩條通道HC、BC（這里所說的通道是指地勢高的點通向地勢低的點的道路），HC比BC短，去掉BC，保留HCE點有三條通道FE、GE、HE，其中HE最短，保留HE，去掉FE、GEH點有兩條通道BH、GH，其中GH最短，保留GH，去掉BH，最后