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文檔簡介

1、第二節 偏導數教學目的：(1) 理解多元函數偏導數的概念；(2) 掌握偏導數和高階偏導數的求法的四則運算法則和復合函數的求導法則;(3) 了解混合偏導數與求導次序無關的充分條件。教學重點：偏導數和高階偏導數的求法教學難點：偏導數存在性的討論教學方法：講練結合教學時數：2課時一、偏導數的定義及其計算在研究一元函數時，從研究函數的變化率引入了導數的概念，對于多元函數同樣需要討論它的變化率。由于多元函數不止一個自變量，研究起來要復雜得多。但是，我們可考慮多元函數關于其中一個自變量的變化率，例如:理想氣體的體積：因此，我們引入下面的偏導數概念。1、偏導數的定義定義2.1 設函數在點的某一鄰域內有定義，

2、當固定在，而在處有增量時，相應地函數有增量：，如果存在，則稱此極限為函數在點處對的偏導數，記為，或.即。同理可定義函數在點處對的偏導數，為記為，或.即。如果函數在區域內任一點處對的偏導數都存在，那么這個偏導數就是、的函數，它就稱為函數對自變量的偏導函數，簡稱偏導數記作，或.同理可以定義函數對自變量的偏導數，記作，或.偏導數的概念可以推廣到二元以上函數如在處 2、計算：從偏導數的定義可以看出，計算多元函數的偏導數并不需要新的方法，若對某一個自變量求導，只需將其他自變量常數，用一元函數微分法即可。于是，一元函數的求導公式和求導法則都可以移植到多元函數的偏導數的計算上來。例1：求 在點處的偏導數解法

3、一： 解法二：， 這里我們要知道，有時，“先求偏導函數再代值求某點的偏導數”不一定簡便。如下例例2：求解:例3 已知理想氣體的狀態方程（為常數），求證：.證明： =有關偏導數的幾點說明：1、 偏導數是一個整體記號，不能拆分;2、求分界點、不連續點處的偏導數要用定義求；解：=0例4：設求的偏導數。解： 按定義可知故 、偏導數存在與連續的關系一元函數中在某點可導，函數在該點一定連續，但多元函數中在某點偏導數存在，函數未必連續.例如,函數,依定義知在處，.但函數在該點處并不連續.4、偏導數的幾何意義設是曲面上一點，則偏導數就是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對軸的斜率；偏導數就是曲面被平面所截得的

4、曲線在點處的切線對軸的斜率.二、高階偏導數設函數在區域D內的兩個偏導數、的偏導數也存在，則稱它們是函數的二階偏導數。記作 定義：二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數.例5設，求、及.解： 例6設，求二階偏導數.解： 問題：混合偏導數都相等嗎？例7設，求解： 當時，按定義可知： =0=1顯然 問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導數相等？定理2.1 如果函數的兩個二階混合偏導數及在區域 D內連續，那末在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等例8 驗證函數滿足拉普拉斯方程證明：=0 證畢.內容小結:1.偏導數的定義（偏增量比的極限）2.偏導數的計算、偏導數的幾何意義3.高階偏導數：純偏導，混合偏導及其相等的條

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