1、上 海 交 通 大 學線 性 代 數(B類)試 卷-A卷 2007-01-10姓名_ _ _班級_ _ _學號_ _題號一二三四總分得分一、單項選擇題（每題3分，共15分）1設為實矩陣,則線性方程組只有零解是矩陣為正定矩陣的 (A) 充分條件； (B) 必要條件； (C) 充要條件； (D) 無關條件。2已知為四維列向量組，且行列式 ，則行列式 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。3設向量組線性無關，且可由向量組線性表示，則以下結論中不能成立的是 (A) 向量組線性無關；(B) 對任一個，向量組線性相關；(C) 存在一個，向量組線性無關；(D) 向量組與向量組等價。4對于元齊次線性方

2、程組，以下命題中，正確的是 (A) 若的列向量組線性無關，則有非零解；(B) 若的行向量組線性無關，則有非零解；(C) 若的列向量組線性相關，則有非零解；(D) 若的行向量組線性相關，則有非零解。5設為階非奇異矩陣，為的伴隨矩陣，則 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。二、填空題（每題3分，共15分）6 列向量 是矩陣 的對應特征值的一個特征向量. 則 ， ， 。7設階向量，；矩陣 ,且 ，則_ _。8已知實二次型正定,則常數的取值范圍為_。 9設矩陣，是中元素的代數余子式，已知，則 。10設，已知向量與線性相關，則 。三、計算題(每題9分,共54分)11 (1) 求方程的根，其中 ；

3、(2) 計算階行列式。12設實向量，其中，矩陣(1) 試說明矩陣能相似于對角陣； (2) 求可逆矩陣，使為對角陣，并寫出此對角陣； (3) 求行列式。13已知線性方程組 ，試討論：(1) 取何值時，方程組無解； (2) 取何值時,方程有唯一解，并求出其解；(3) 取何值時,方程有無窮多解，并求出其通解。14. 設實二次型 ，求：正交變換，將化為標準型。15. 設的基為 ， 。(1) 試由構造的一個標準正交基 ；(2) 求由基 的過渡矩陣；(3) 已知向量，求向量在基下的坐標。16. 已知為階矩陣，且滿足方程，其中。(1) 證明：矩陣可逆；(2) 求矩陣。四、證明題(每題8分,共16分)17設向

4、量組線性無關，且可由向量組線性表示。證明：(1) 向量組線性無關； (2) 向量組與等價；(3) 向量組中存在某個向量，使得向量組線性無關。18設是階矩陣,是的特征多項式。證明: 矩陣可逆的充分必要條件為的特征值都不是的特征值。線性代數（B）（06071）期末試卷（A）參考答案一、選擇題 1.(C) 2.(D) 3.(B) 4.(C) 5.(A) 二、填空題 6-1,-3,0； 7. ； 8. ； 9； 10. 1。三、計算題11（1），1，1，3，3； （4分）（2） 。 （9分）12(1) 為實對稱矩陣，所以相似于對角陣。 (2分) (2) 因為，所以是的特征值。 又秩，所以是的另兩個特征值。 設為對應的特征向量，則由，得對應的線性無關的特征向量，令則 。 (7分) (3) 的特征值為21=1，1+1=2，1+1=2，因此。 (9分)13(1) 時， ，無解 (2分)(2)時，唯一解 (5分)(3) 時，無窮多解, 通解 。 (9分)14； (8分) 。 (9分)15(1),， （3分）(2) （6分）(3) （9分）注：本題答案不唯一，如，則，16(1) （4分）(2) ， (9分）四、證明題17(1) ，故， (2分) (2) ，且可由線性表示,故向量組與等價 (5分)(2)