1、剖面二維非恒定懸移質(zhì)泥沙擴散方程的數(shù)值方法摘要：通過討論剖面二維非恒定泥沙擴散方程的數(shù)值方法，建立了一種用于求解含沙量分布沿程變化的差分格式(Z-C格式)并通過一個具體的數(shù)值例子說明了計算的方法步驟。 關鍵詞：擴散方程 差分格式 精度 穩(wěn)定性 1 引言數(shù)學模擬方法正在成為研究河流泥沙問題的重要手段。目前，一維數(shù)學模型發(fā)展較成熟，已廣泛應用于模擬長河段的長期變形，但它只能給出河段平均沖淤深度的沿程變化，如需了解短河段的河床變形細節(jié)，則要采用二維以至三維數(shù)學模型。不論是一維數(shù)學模型還是平面二維維數(shù)學模型，都不能反映含沙量沿垂線的分布狀況，并忽略了含沙量沿垂線分布對垂線平均含沙量變化過程的影響。要解

2、決這類問題，必須建立剖面二維數(shù)學模型。這種模型主要通過解剖面二維泥沙擴散方程來研究懸移質(zhì)泥沙沿水深的分布及含沙量的變化過程，對水電站進口和其它引水工程的引水口高程的確定都能提供較好的數(shù)值模擬。泥沙擴散方程實際上是一個變系數(shù)的二階線性偏微分方程，這樣的方程在各種復雜邊界條件下求解是極為困難的。求擴散方程的解析解在數(shù)學上存在著難以克服的困難，往往只能通過對方程的簡化，才能得到一些簡單邊界條件下的解析解，在這方面，A.A.Kalinske、野滿隆治、W.E.Dobbins、俞維強、張啟舜、韋直林等都做了有益的嘗試；求擴散方程的數(shù)值解曾經(jīng)因為缺乏高效率的計算工具而難以實現(xiàn)，直到60年代后，隨著計算機的

3、廣泛應用，在各種復雜邊界條件下求擴散方程的數(shù)值解不但成為可能，而且得到迅速的發(fā)展，在這方面，曹志先、崔俠等做了大量工作，取得了很多成果。數(shù)值方法相對于解析方法在求解偏微分方程上有著明顯的優(yōu)勢，即簡單靈活、計算方便快捷，但要尋找一種精度高、穩(wěn)定性好、計算方便的差分格式也并非易事。本文擬在前人研究的基礎上著重討論剖面二維泥沙擴散方程的數(shù)值解問題，希望能提供一種精度高、穩(wěn)定性好、計算方便的數(shù)值解。2 基本方程 剖面二維泥沙擴散方程的形式為(1)式中 x,y為水流方向和鉛直方向的維軸；u,v分別為沿水流方向和鉛直方向的時均流速；sx,sy分別為水流方向和鉛直方向的泥沙擴散系數(shù)；,S分別為泥沙靜水沉速和

4、含沙量。對于式(1)的求解，研究者一般會對它進行不同程度的簡化，為此引入以下假定中的一種或幾種：A.非恒定流可以概化為梯級式恒定流，即;B.在一個時段內(nèi)，認為泥沙運動可以概化為處于恒定狀態(tài)，即;C.在二維流動中，縱向擴散系數(shù)與方程其他項相比，可以忽略不計，即認為方程右端第一項可以忽略；D.認為懸移質(zhì)泥沙粒徑均一，即=const;E.認為水流為二維均勻流，即v=0。為簡單起見，我們討論的范圍限于水流條件為二維非恒定均勻流，懸移質(zhì)泥沙粒徑均勻，為此引入假定C、D、E。這時，泥沙擴散方程為(2)目前，對s的變化規(guī)律研究得不很充分，一般假定s=m(3)其中m為動量傳遞系數(shù)，為修正值。由勃蘭特爾摻長理論

5、可得m=u*y/(1-y/h)(4)式中為卡門常數(shù)，u*為摩阻流速。對于u，我們?nèi)】?勃蘭特爾對數(shù)流速分布公式(umax-u)/u*=(1/)ln(h/y)(5)令W=+(u*/h)(1-2y/h),則式(2)可變形為(6)3 差分方程3.1 網(wǎng)格的剖分為建立差分方程，首先必須剖分網(wǎng)格。我們?nèi)r間步長t=，X方向的空間步長x=h1，Y方向的空間步長為y=h2,這樣形成如下網(wǎng)格Dh=(xj,yl,tn)xj=jh1,yl=lh2,tn=n其中j=0,.,N; l=0,.,M;n0;3.2 構(gòu)造差分格式通過對流方程和擴散方程的差分格式的構(gòu)造，我們可以得到對流擴散方程的差分格式。由于隱式格式穩(wěn)定性

6、好，考慮Crank-Nicholson型隱式格式。為此，引入差分算子記號2ySnj,l=Snj,l+1-2Snj,l+Snj,l-1LxSnj,l=Snj+1,l-Snj-1,lLySnj,l=Snj,l+1-Snj,l-1為了看得更清楚，暫且取h1=h2=h.對式(6)離散，則C-N格式為Sn+1j,l-Snj,l/+u/4hLx(Snj,l+Sn+1j,l)=s/2h22y(Sn+1j,l+Snj,l)+W/4hLy(Sn+1j,l+Snj,l)(7)C-N格式的精度是二階的，絕對穩(wěn)定。但對于二維問題，由(7)導出的方程組，其系數(shù)矩陣不是三對角矩陣，不能用追趕法求解。因此，考慮構(gòu)造交替方向

7、的隱式格式(命名為Z-C格式)(Sn+1/2j,l-Snj,l)/(/2)+u/2hLxSnj,l=s/h22ySn+1/2j,l+W/2hLySn+1/2j,l(8)(Sn+1j,l-Sn+1/2j,l)/2+u/2hLxSn+1j,l=s/h22ySn+1/2j,l+W/2hLySn+1/2j,l(9)可以看出，計算Sn+1j,l是由兩步組成的，每一步僅是一個方向的隱式，故用兩次追趕法即可。3.3 精度分析現(xiàn)在，我們考慮Z-C格式的精度。先設法消去過渡值Sn+1/2j,l，為此，將(8)和(9)兩式相加，可得Sn+1j,l-Snj,l+u/2hLx(Sn+1j,l+Snj,l)=s/2h2

8、2ySn+1/2j,l+W/4hLxSn+1/2j,l(10)將(8)和(9)兩式相減，可得Sn+1/2j,l=(Sn+1j,l+Snj,l)/2+s/4h22y(Snj,l-Sn+1j,l)+W/8hLy(Snj,l-Sn+1j,l)(11)把式(11)代入(10)，變形整理，可得(Sn+1j,l-Snj,l)(1-us/8h3Lx2y-2uW/16h2LxLy)=(Snj,l+Sn+1j,l)(us/2h22y+W/4hLy-u/4hLx)(12)設S(x,y,t)是(12)的精確解，并假定S(x,y,t)關于t三次連續(xù)可微，關于x,y四次連續(xù)可微，那么利用Taylor級數(shù)展開可得S(xj

9、,yl,tn+1)-S(xj,yl,tn)/(1-2s/8h3Lx2y-2uW/16h2LxLy)-S(xj,yl,tn+1)-S(xj,yl,tn)/(s/2h2)2y+W/4hLy-u/4hLx)=O(2+h2)(13)由此可見，Z-C格式具有二階精度。3.4 穩(wěn)定性分析現(xiàn)在，我們來討論Z-C格式的穩(wěn)定性。為此，把式(12)變形整理得(1-s/2h22y-W/4hLy)(1+u/4hLx)Sn+1j,l=(1+s/2h2y2+W/4hLy)(1-u/4hLx)Snj,l(14)由式(14)可得出過渡因子為G(,k)=(1-2s/h2sin2k2h/2+iW/2hsink2h)(1-iu/2hsink1h)/(1+2s/h2sin2k2h/2-iW/2hsink2h)(1+iu/2hsink1h)(15)令a=2s/h2sin2k2h/2,b=W/