1、標(biāo)準(zhǔn)文案第四章微分方程一、微分方程的概念案例1 曲線方程已知曲線過點(diǎn)（1 , 2 ）,且曲線上任一點(diǎn) 財(cái)（冗J）處切線的斜率是該點(diǎn)橫坐 標(biāo)的倒數(shù)，求此曲線方程.辦解：設(shè)曲線方程為了二則 ，于是曲線在點(diǎn)處切線的斜率為 赤.根據(jù)題意有史-1dx X （4.1.1 ）又曲線過點(diǎn)（1,2）,故有= 2 （4.1.2）j = - x = ln x+C對(duì)式（4.1.1 ）兩邊積分，得I將式（4.1.2）代入上式，得 2二Inl+C,即C=2 .故所求曲線方程為y = lnx+2.案例2 自由落體運(yùn)動(dòng)一質(zhì)量為期 的質(zhì)點(diǎn)，在重力作用下自由下落， 求其運(yùn)動(dòng)方程.解:建立坐標(biāo)系如圖（1）所示，坐標(biāo)原點(diǎn)取在質(zhì)點(diǎn)開始

2、下落點(diǎn)，軸鉛直向下.設(shè)在時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的位置為.一由于質(zhì)點(diǎn)只受重力陰g作用，且力的方向與y軸正向相同，故由牛頓第二定律，得質(zhì)點(diǎn)滿足的方程 為dy幽白二加=mgdr ,大全dy 仆、工八B0+G方程兩邊同時(shí)積分，得二上式兩邊再同時(shí)積分，得Cj其中耳,弓是兩個(gè)獨(dú)立變化的任意常數(shù).囹案例3列車制動(dòng)列車在直線軌道上以20米/秒的速度行駛，制動(dòng)列車獲得負(fù)加速度米/秒2-0.4，問開始制動(dòng)后要經(jīng)過多少他長時(shí)間才能把列車剎住？在這段時(shí)間內(nèi)列車行駛了多少路程？解：記列車制動(dòng)的時(shí)刻為 t=0 ,設(shè)制動(dòng)后t秒列車行駛了 s米.由題意知，制動(dòng)后列車行駛的加速度d2s(4.1.3 )2 = -0.4dt2初始條件為當(dāng)t=

3、0時(shí)，s=0,ds 二20 dt將方程（4.1.3 ）兩端同時(shí)對(duì)t積分，得v(t) = = -0.4t Ci dt(4.1.4)式（4.1.4）兩端對(duì)t再積分一次，得s=-0.2t2C1t C2(4.1.5)其中C1, C2都是任意常數(shù)，把條件當(dāng)t=0時(shí)，出ds 二20代入（4.1.4 ）式，得 C1 = 20把t=0時(shí)，s=0代入式（4.1.5 ）,得C2 = 0,于是，列車制動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)方程為速度方程為s = 0.2t2 20t(4.1.6 )dsv = = -0.4t 20 dt(4.1.7 )ds八因?yàn)榱熊噭x住時(shí)速度為零，在式（4.1.7 ）中，令v = =0dt ，得0=-0.4t+2

4、0 ,解出得列車從開始制動(dòng)到完全剎住的時(shí)間為20,工二50 再把t=50代入式（4.1.6 ）,得列車在制動(dòng)后所行駛的路程為2s =-0.2 50 20 50 =500(m)二、可分離變量的微分方程案例1 國民生產(chǎn)總值1999年我國的國民生產(chǎn)總值（GDP為80,423億元，如果我國能保持每年8%勺相對(duì)增長率，問至IJ 2010年我國的GD混多少？解：（1）建立微分方程記t=0代表1999年，并設(shè)第t年我國的GD斯P（t）.由題意知,從1999年起，P(t)的相對(duì)增長率為 8%得微分方程dP(t)-dL =8% P(t)dp(t)8%P(t)dt 一 (),且 P(0) =80,423.(2)求

5、通解分離變量得曲.出p(t)方程兩邊同時(shí)積分,ln P(t) =0.08tln C(3)求特解 將P(0) =80,423.代入通解，得C =80,423，所以從1999年起第t年我國的GDP為P(t) = 80,423e0.08t將t二2010-1999之1代入上式，得2010年我國的GDP勺預(yù)測(cè)值為 _0,08 11P(11) = 80,423e= 193891,787 (彳乙元)囹案例2落體問題設(shè)跳傘運(yùn)動(dòng)員從跳傘塔下落后，所受空氣的阻力與速度成正比.運(yùn)動(dòng)員離塔 時(shí)(t=0)的速度為零，求運(yùn)動(dòng)員下落過程中速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.解：(1)建立微分方程運(yùn)動(dòng)員在下落過程中，同時(shí)受到重力和空氣阻力

6、的影響. 重力的大小為mg,方向與速度v的方向一 致；阻力的大小為kv(k為比例系數(shù))，方向與v相反.從而運(yùn)動(dòng)員所受的外力為 F =mg -kv,其中m為 運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量,又由牛頓第二定律有F =ma,dva 二其中a為加速度， dt .于是在下落過程中速度v(t)滿足微分方程mdv 二 mg.kvdt,初始條件為v(2)求通解方程是一個(gè)可分離變量的微分方程.分離變量后，得dt1，、 t 八-ln(mg -kv):一 C1 kmg - kv= C?e mtkC1(其中 C2=e ),mgkCek-1m(其中C2 k).dvmg - kv兩端積分得(3)求特解把初始條件vt =0二04 I0代入通

7、解，得c=-mg k于是所求速度與時(shí)間的關(guān)系為mg v (1k.kt-e m )kt m 一 .由上式可見，當(dāng)t很大時(shí)，e 很小,mg此時(shí)v接近于 k .由此可見，跳傘運(yùn)動(dòng)員開始跳傘時(shí)是加速運(yùn)動(dòng)， 以后逐漸接近于勻速運(yùn)動(dòng)，其速度為v=mg k .案例3 環(huán)境污染問題某水塘原有50000t清水(不含有害雜質(zhì))，從時(shí)間t=0開始，含有有害雜質(zhì)5%的濁水流入該水塘.流入的速度為2t/min,在塘中充分混合(不考慮沉淀)后又以2t/min的速度流出水塘.問經(jīng)過多長時(shí)間后塘中有害物質(zhì)的濃度達(dá)到4%?解：(1)建立微分方程 設(shè)在時(shí)刻t塘中有害物質(zhì)的含量為 Q0), 此時(shí)塘中有害物質(zhì)的濃度為Qt50000,

8、不妨設(shè)單位時(shí)間內(nèi)有害物質(zhì)的變化量為M單位時(shí)間內(nèi)流出塘的有害物質(zhì)的量為S2,dQ = M = S1 - S2 dtdQ 5。 Qt c 1 Qt二 2 - 2 二一 一dt1005000010一 25000,初始條件為Q(0) = 0(2)求通解方程是式是可分離變量方程，分離變量得dQ1二dt2500-Q(t)25000,積分，得Q t - 2500 = Ce 25000Q t = 2500 Ce 25000(3)求特解由初始條件t=0, Q =0得C =一2500,故Q(t )=2500 1 -e 25000當(dāng)塘中有害物質(zhì)濃度達(dá)到4%時(shí)，應(yīng)有Q = 50000父4% = 2000，這時(shí)t應(yīng)滿足

9、2000 =2500 1 -et25000lim Q t = 2500t比670.6 (min),即經(jīng)過670.6 min后，塘中有害物質(zhì)濃度達(dá)到4% ,由于t-c,2500 _5%塘中有害物質(zhì)的最終濃度為50000囹 案例4 刑事偵察中死亡時(shí)間的鑒定 牛頓冷卻定律指出：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫 度和空氣溫度之差成正比，現(xiàn)將牛頓冷卻定律應(yīng)用于刑事偵察中死亡時(shí)間的鑒定.當(dāng)一次謀殺發(fā)生后，尸35 C,并且假定周圍體的溫度從原來的37 c按照牛頓冷卻定律開始下降，如果兩個(gè)小時(shí)后尸體溫度變?yōu)榭諝獾臏囟缺３?0c不變，試求出尸體溫度H隨時(shí)間t的變化規(guī)律.又如果尸體發(fā)現(xiàn)時(shí)的溫度是30 C,時(shí)間是下午

10、4點(diǎn)整，那么謀殺是何時(shí)發(fā)生的?解：(1)建立微分方程dH設(shè)尸體的溫度為H(t)八從謀殺后計(jì))，根據(jù)題意，尸體的冷卻速度 dt與尸體溫度H和空氣溫度20之差成正比.即dH菽=-k(H -20)其中k 0是常數(shù)，初始條件為H 0 =37(2)求通解分離變量得4 二-kdt H -20積分得_-ktH -20 =Ce(3)求特解把初值條件H(0)=37代入通解，求得C =17.于是該初值問題的解為H =20 17e*t為求出k值，根據(jù)兩小時(shí)后尸體溫度為35 c這一條件，有35 = 20 - 17e2求得k定0.063,于是溫度函數(shù)為H = 20 17eq063t10-0.0631e將H =30代入上

11、式有17,即得t%8.4 (h).于是，可以判定謀殺發(fā)生在下午4點(diǎn)尸體被發(fā)現(xiàn)前的8.4h,即8小時(shí)24分鐘，所以謀殺是在上午 7點(diǎn)36分發(fā)生的.囹案例5第二宇宙速度地球?qū)ξ矬w的引力 F與物體的質(zhì)量 m以及物體離地心的距離s間的關(guān)系為2f 一 mgs2 ,這里g是重力加速度，R為地球半徑.驗(yàn)證：如果物體以v0 -2gR的初速度發(fā)射，則永遠(yuǎn)不會(huì)返回地球.解:dv a =(1)建立微分方程 由牛頓第二定律 F =ma,其中 dt ,有l(wèi) dv dv ds dvF =m一 = m一 一 二 m一 vdtds dt ds ,dv R2 mv = mg 故有 ds s ,初始條件為s = R時(shí)，v=v0.

12、(2)求通解 2 -2 1變量分離后為 vdv = -gRs ds 2-2 ,vdv = -gR s ds兩邊積分”22v gR 八一 二g C得2 sC = - Vo - 2gR（3）求特解把s = R時(shí)，v = v0,代入通解得2,/_2 2 2gR 2 v =v0 -2gR 故有s2gR2由此可見，當(dāng)s很大時(shí)，s很小，當(dāng)v0 -/2gR 時(shí)，速度v永遠(yuǎn)大于0,所以物體永遠(yuǎn)不會(huì)返回 地面.三、一階線性微分方程案例1溶液的混合一容器內(nèi)盛有50L的鹽水溶液，其中含有 10g的鹽.現(xiàn)將每升含鹽 2g的溶液以 每分鐘5L的速度注入容器，并不斷進(jìn)行攪拌， 使混合液迅速達(dá)到均勻，同時(shí)混合液以 3L升/

13、min的速度流 出溶液，問在任一時(shí)刻 t容器中含鹽量是多少？解：（1）建立微分方程設(shè)t時(shí)刻容器中含鹽量為 X克，容器中含鹽量的變化率為dxdt =鹽流入容器的速度鹽流出容器的速度（4.3.1 ）其中，鹽流入容器的速度 =2 （克/升）X 5 （升/分）=10（克/分）,3x鹽流出容器的速度=50 + 2t （克/升）x 3 （升/分）=50+ 2t （克/分）由式（4.3.1 ）可得卜0-3x50 2tdx 3/c x - 10dt 50 2t由題意知初始條件為x t -0 =10（2）求通解直接應(yīng)用求一階線性非齊次微分方程的通解公式，得一工dt50 2t I0e5032-tdtdt C二(50 2