1、，只有“三線”出現(xiàn)第五章相交線與平行線第一節(jié)、知識(shí)梳理：相交線與平行線一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解對頂角、鄰補(bǔ)角的概念，掌握其性質(zhì)，會(huì)用其性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)推理和計(jì)算；2. 掌握垂線、垂線段、點(diǎn)到直線的距離的概念；3. 掌握“三線八角”的內(nèi)容二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1.鄰補(bǔ)角、對頂角以及點(diǎn)到直線距離的概念；2. 掌握兩直線平行的三個(gè)判定方法 .學(xué)習(xí)難點(diǎn)：1.對頂角的性質(zhì)、垂線性質(zhì)；2. 靈活運(yùn)用平行線的判定方法來解題 .三、知識(shí)概要1. 要正確理解鄰補(bǔ)角、對頂角的含義：（1）判斷兩個(gè)角是否是鄰補(bǔ)角，關(guān)鍵要看這兩個(gè)角的兩邊，其中一邊是公共邊，另外 兩邊是互為反向延長線；（2）鄰補(bǔ)角是成對的，是具有特殊位

2、置關(guān)系的兩個(gè)互補(bǔ)的角；（3）判斷兩個(gè)角是否是對頂角，看這兩個(gè)角是不是有公共頂點(diǎn)且有相同的鄰補(bǔ)角，只 有符合這兩個(gè)條件時(shí)，才能確定這兩個(gè)角是對頂角2. 垂線、垂線段和點(diǎn)到直線的距離是三個(gè)不同的概念，不要混淆：（1）兩條直線互相垂直是兩條直線相交的特殊情況，特殊在交角都為直角，垂線是其 中一條直線對另一條直線的稱呼；（2）垂線是直線，垂線段是一條線段，是圖形.（3）點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個(gè)數(shù)量，不能說成垂線段是距離.3. 兩條直線的位置關(guān)系，是在兩條直線在“同一平面內(nèi)”的前提下提出來的，它們的位置關(guān)系只有兩種：一是相交（有一個(gè)公共點(diǎn)），二是平行（沒有公共點(diǎn)）：（1）識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、

3、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是要抓住“三線八角” 且必須是兩線被第三線所截才能出現(xiàn)這三類角;（2 ）判定兩條直線平行時(shí)要正確判斷出是什么角，什么關(guān)系，由此可以推出哪兩條直線 平行.四、知識(shí)鏈接1. 本周相交線、平行線是以前學(xué)的直線的位置關(guān)系的延伸2. 通過內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角等角度的比較得到平行線.而由平行線又可得到下周的平行線性質(zhì).五、中考視點(diǎn)平行與相交線中的垂直是經(jīng)?？嫉膬?nèi)容.一般考其基礎(chǔ)知識(shí)，以填空選擇為主.平行線的性質(zhì)與平移一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握平行線的性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用.2. 理解命題并會(huì)判斷.3. 理解平移的定義并會(huì)應(yīng)用平移的特征.二、知識(shí)概要1. 平行線的性質(zhì)性質(zhì)1:兩條平行線被第三條直線所截，

4、同位角相等.簡單說成:兩直線平行，同位角相等.性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡單說成:兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.性質(zhì)3:兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).2. 兩條平行線的距離同時(shí)垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線的 距離.對于這個(gè)概念，應(yīng)注意三點(diǎn)：（1）兩條直線必須是平行的；（2）第三條直線同時(shí)垂直于它們；（3）距離是線段的長度，是個(gè)具體的數(shù)，而不是線段這個(gè)圖形3. 關(guān)于命題判斷一件事情的語句叫做命題 每個(gè)命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成的4. 平移的概念在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離

5、，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)就稱做為平移5. 平移的基本特征平移的基本特征是：經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一條直線上）且相等， 對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等三、重點(diǎn)難點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1.平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用2. 平移的特征.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：1.命題的判斷.2.平移變換及其性質(zhì)應(yīng)用.四、知識(shí)鏈接平行線的性質(zhì)與判定定理有互逆性，平移變換及性質(zhì)是研究動(dòng)態(tài)幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容之一.五、中考視點(diǎn)平行線的知識(shí)是每年必考的內(nèi)容，在填空選擇中經(jīng)常直接考平行線的性質(zhì).在解答題中經(jīng)常與其他知識(shí)聯(lián)系，綜合考查 .平移知識(shí)也是考的比較多的內(nèi)容，尤其是在做輔助線時(shí)經(jīng)常用 到第二節(jié)、教材解讀：理解“三線八角”當(dāng)兩條直線 AB和CD被第三

6、條直線 EF所截（如圖），可得到八個(gè)角.根據(jù)位置特征不同，把/ 1和/5、/ 2和/ 6、/ 4和/8、/ 3和/ 7這樣的稱作同位角；把/ 4和/ 6、/ 3和/ 5這 樣的稱作內(nèi)錯(cuò)角；把/ 4和/5、/ 3和/ 6這樣的稱作同旁內(nèi)角.在數(shù)學(xué)中也常把與同位角、內(nèi)1. 所謂同位角也就是位置特征相同，如/ 1和/ 5同在“左上” （AB和CD左側(cè)，EF上方）;/ 2和/ 6同在“左下” （AB和CD左側(cè)，EF下方）；/ 4和/ 8同在“右上” （AB和CD右側(cè)，EF上 方）；/ 3和/ 7同在“右下” （AB和CD右側(cè)，EF下方）.2. 所謂內(nèi)錯(cuò)角是指在兩條被截直線之內(nèi)，在第三條直線左右錯(cuò)開的位

7、置的角，如/4和/ 6在AB和CD之內(nèi)，而在 EF左右兩邊錯(cuò)開的角；/ 3和/5在AB和CD之內(nèi)，而在 EF左右兩 邊錯(cuò)開的角.3. 所謂同旁內(nèi)角是指在第三條直線同旁，而在兩條被截直線之內(nèi)的位置的角，如/4和錯(cuò)角、同旁內(nèi)角相關(guān)的問題稱作“三線八角”問題/ 5同在EF上邊而在 AB和CD之內(nèi)；/ 3和/ 6同在EF下邊而在 AB和CD之內(nèi).第三節(jié)、錯(cuò)解剖析【例1】填空：從直線外一點(diǎn)到這條直線的 ，叫做點(diǎn)到直線的距離.錯(cuò)解：垂線段.【思考與分析】點(diǎn)到直線的距離是指垂線段的長度，它是一個(gè)數(shù)量而不是圖形錯(cuò)誤的原因是概念不清正解：垂線段的長度.【例2】判斷正誤：有公共端點(diǎn)且沒有公共邊的兩個(gè)角是對頂角.錯(cuò)

8、解：正確.【思考與分析】此題錯(cuò)在沒有抓住對頂角概念的實(shí)質(zhì)，出現(xiàn)了擴(kuò)大概念實(shí)質(zhì)和概念外延的錯(cuò)誤，把一些不是對頂角的角看成了對頂角，如下圖中/1和/ 2有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊,但它們不是對頂角錯(cuò)誤的原因是概念不清說的則是兩條直線的位置關(guān)系，完全不是一碼事，所以，平行線的傳遞性是不能用”等量代換”來表達(dá)的錯(cuò)誤的原因是位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系混淆正解：平行于同一條直線的兩條直線平行.【例4】判斷正誤：同一平面內(nèi)不相交的兩條線是平行線.錯(cuò)解：正確【思考與分析】平行線是講同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系不相交的兩條射線或線段有可能延長或反向延長后相交錯(cuò)誤的原因是沒有分清“三線”的區(qū)別和聯(lián)系正解：同一平面內(nèi)不相交的兩

9、條直線是平行線.【例5】判斷正誤：不相交的兩條直線是平行線.錯(cuò)解：正確.【思考與分析】在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線是平行線，但在空間里很容易找到不相交的兩條直線，而且它們并不平行，錯(cuò)誤的原因是思考不周正解：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線是平行線.第四節(jié)、思維點(diǎn)撥【例1】已知，如圖，直線 AB CD相交于 0, 0E平分/ BODMZ AOE=150，你能求出/ A0C的 度數(shù)嗎？錯(cuò)解：等量代換.又/ A0E=150 （已知），【思考與分析】上面的回答把相等和平行混為一談，相等說的是兩個(gè)量的大小關(guān)系，平行正解：如果一個(gè)角與另一個(gè)角有公共端點(diǎn)且兩邊分別是這個(gè)角的兩邊的反向延長 線，那么這兩個(gè)角叫對頂

10、角.【例3】如圖，若 AB/ CD CD/ EF,則AB/ EF.理由是什么？【思考與分析】觀察圖形我們可知，/A0E與/ B0E是鄰補(bǔ)角，所以/ B0E的度數(shù)可求，又由0E是/ B0D勺角平分線可求得 / B0D=Z B0E而/ A0CWZ B0D是對頂角，故/ A0C可求 解： AB是直線（已知）， / A0E與/ B0E是鄰補(bǔ)角（鄰補(bǔ)角定義） / A0E+Z B0E=180 （補(bǔ)角定義） / BOE=180 - / AOE=180 150° =30°（等式性質(zhì)）/ OE平分/ BOD （已知）， / BOD=Z BOE（角平分線定義）即 / BOD=Z 30°

11、;= 60° ./ / AOC與/ BOD是對頂角（由圖可知）， / AOC=Z BOD（對頂角相等） / AOC= 60° .反思：在思考過程中抓住角平分線DE與各個(gè)角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵【例3】已知，如圖，直線 AB CD互相垂直，垂足為 O,直線EF過點(diǎn)O,Z DOF= 32°，你能求出/ AOE的度數(shù)嗎？5【例2】 如圖，直線 AB CD相交于點(diǎn)O, OELAB于點(diǎn)O, OF平分/ AOE / 1=15° 30', 則下列結(jié)論中不正確的是（）A. / 2=45°B. / 仁/ 3C. / AOD與/ 1互為補(bǔ)角D. / 1的余角等

12、于 75° 30'思考與解：I OEL ABAOE=90/ OF平分/ AOE/ 1與/ 3是對頂角，/ 仁/3. B正確/ AOD與/ 1互為補(bǔ)角 C正確/ 1=15° 30',./ 1 的余角=90° -15 ° 30' =74° 30' D不正確故選 D.【小結(jié)】我們在做這類選擇題時(shí)，首先把題中條件與圖形一一對應(yīng)，然后看每個(gè)結(jié)論是否與條【思考與分析】我們由 AB丄CD可知/ AOC= 90°，因此，/ AOE與/ EOC互余又因?yàn)? EOC 與/ DOF是對頂角，于是/ EOC=32，于是/ AO

13、E可求解法一：直線 CD與EF交于O（已知）， / EOC2 DOF （對頂角相等） / DOF= 32° （已知）， / EOC=32 （等量代換）TAB CD互相垂直（已知）， / AOC= 90° （垂直定義）/ AOE+Z EOC=90 / AOE=90 - / EOC=90 -32 ° =58 ° 解法二：直線 AB CD互相垂直（已知）， / BOD= 90° （垂直定義）/ BOF+Z DOF=90 Z DOF= 32° （已知），Z BOF=90 - Z DOF=58 直線AB與直線EF交于點(diǎn)O（已知）， Z AOEZ

14、 BOF （對頂角相等） Z AOE= 58件沖突【例反思：第一種解法先用對頂角后用互余，第二種解法先用互余后用對頂角，我們在平【小結(jié)】解這類問題，關(guān)鍵是如何用圖形分解法把圖形分成若干個(gè)“三線八角”時(shí)做題時(shí)也應(yīng)該多想多做，多角度分析解決問題【例4】 如圖3，直線AB與CD相交于點(diǎn)F, EF丄CD,則/ AFE與/ DFB之間的關(guān)系是 題】（1 ）如圖 1 ,在厶 ABC 中，Z ABC=90° , Z A=50° , BD/ AC,則 Z CBD 的度數(shù) 是° .(2) 已知：如圖 2，直線AB/ CD直線EF分別交AB CD于點(diǎn)E、F,Z BEF的平分線與Z D

15、FE的平分線相交于點(diǎn) P.你能說明Z P=90°嗎？【思考與分析】我們由所給的條件 EF丄CD得/ CFE=90，也就是說/ AFE+Z AFC=90 , 又根據(jù)對頂角相等， 得Z AFC=Z DFB所以Z AFE+Z DFB=90 .本題也可利用平角的定義來解， 即由 Z AFEZ DF聊 Z EFD=180，又因?yàn)閆 EFD=90，所以Z AFEZ DFB=90 .解： Z AFE與Z DFB互為余角(或Z AFE+Z DFB=90 ).【小結(jié)】這類題目的特點(diǎn)是有條件而無結(jié)論，要從所給的條件出發(fā)，通過分析、比較、猜想，尋找多種解法和結(jié)論，再進(jìn)行說理證明這類題目具有較強(qiáng)的探索性，思

16、維空間較大且靈活，突破了死記概念的傳統(tǒng)模式.【例5】 平行直線AB和CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內(nèi)角共有()對.Z C=75°,Z A=25°，則 ZE的度數(shù)為:由題意我們知CBD=180 -50 ° -90 ° =40BD/ AC.所以Z ABD+Z BAC=180 .所以ZA. 4 對 B. 8 對C. 12 對 D. 16 對【思考與解】我們可將原圖分解為八個(gè)“三線八角”即“直線AB和CD被直線EF所截”、“直線AB和CD被直線GH所截”、“直線EF和GH被直線AB所截”、“直線EF和GH被直線CD所 截”、“直線AB和EF被直線GH所

17、截”、“直線EF和CD被直線GH所截”、“直線AB和GH被直線 EF所截”、“直線GH和 CD被直線EF所截”.每一個(gè)“三線八角”都有兩對同旁內(nèi)角，故原圖中 共有16對，因此選擇D.解法二：由題意我們知Z C=90° - Z A=90° -50 ° =40 又因?yàn)?BD/ AC.所以Z CBDZ C=40° .(2)因?yàn)?AB/ CD.所以根據(jù)平行線的性質(zhì)得：ZBEF+Z EFD=180 .又因?yàn)镋P FP分別平分Z BEF和Z EFD.思考與解：因?yàn)? 1與/ 3互余，/ 3的余角與/ 2互補(bǔ), 所以/ 1 + Z 2= 180° .1 42

18、 - 1-(匚3EF 厶 EFD、= XL 一所以/ P=180° - (/ 1 + Z 2) = 180 ° -90 ° =90° .(3) 因?yàn)?AB/ CD. 所以/ BFE=/ C=75 .所以/ AFE=180° - / BFE= 180 ° -75 ° =105° .所以/ E=180° - / A- / AFE=180° -25 ° -105 ° =50°反思：我們在做這類題的時(shí)候，一定要想是不是這樣做最簡單，是不是只有這一種解法？ 【例6】如圖1，如

19、果/ B=Z仁/ 2= 50°,那么/ D=.【思考與分析】我們通過觀察圖形，由/B=Z仁/ 2 = 50°可得AB/ DC AD/ BC,再利用其性質(zhì)同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得/D的度數(shù).解：因?yàn)? B=Z 1，所以AB/ DC所以/ B+Z BCD=180，/ BCD=130 .又因?yàn)? B=Z 2，所以AD/ BC所以Z BCDZ D=180°,Z D=50° .反思：我們解題時(shí)用的是同旁內(nèi)角互補(bǔ).還可以利用Z D=Z 1 = Z B= 50° .也可以利用Z D=Z 2=Z B= 50° .大家可以試一試.【例7】如圖2,直線11、丨2

20、分別與直線丨3、丨4相交，Z 1與Z 3互余，Z 3的余角與Z 2 互補(bǔ)，Z 4= 125°，則Z 3 =.所以 11/ 12.所以Z 3=Z 5= 180°Z 4= 55° .反思：我們難以理解的是為什么Z1 + Z 2 = 180 °?我們可由題意列式Z 1 + Z 3 = 90°,90° Z 3+Z 2= 180° .兩個(gè)式子相加可得Z 1 + Z 2 = 180° .在解決有關(guān)平行問題的時(shí)候，有時(shí)需要添加必要的輔助線，而添加平行線作為輔助線，更是解 決此類問題好的幫手.下面舉幾例說明.【例8】如圖1所示，直

21、線a/ b，Z ACF= 50°，Z ABE= 28°，求Z A的大小.【思考與分析】要求Z A的大小，關(guān)鍵是確定輔助線的位置.于是我們會(huì)想到過點(diǎn) A作 AD/ b，這樣利用平行線的知識(shí)即可求解.解：過點(diǎn) A作 AD/ b，則Z DAC=Z ACF= 50° .又因?yàn)閍 / b，所以AD/ a.所以Z DAB=Z ABE= 28° .所以Z BAC=Z DAC-Z DAB= 50° 28°= 22°，即Z A的大小是 22° .反思：在解題時(shí)我們做AD/ b，那么是不是必須要做輔助線呢？我們繼續(xù)思考：Z A在 AB

22、G中，Z ABE也在 ABG中且等于28°，那么只要求出Z AGB的度數(shù)，就可求Z A的度數(shù).【例9】如圖2，AB/ CD, EO與FO相交于點(diǎn) O,試猜想Z AEO Z EOF Z CFO之間的關(guān) 系，并說明理由【思考與分析】由于Z BEO Z EOF Z DFO三個(gè)角的位置較散，設(shè)法通過輔助線使之相 對集中，我們可以考慮AB/ CD可以過點(diǎn) O作MN/ AB,這樣即可找到三個(gè)角之間的關(guān)系了.由此猜想Z AEO+Z CFO+Z EOF=360 .解：過點(diǎn)O作MN/ AB.因?yàn)锳B/ CD所以 CD/ MN.所以Z AEOZ EOM=180，Z MOFZ CFO=180 .所以/ A

23、EOy CFO+Z EOF玄 AEO+Z EOMkZ MOFM CFO= 180°+ 180°= 360°【例1】 請說明在同一平面內(nèi)三條直線的位置關(guān)系及交點(diǎn)個(gè)數(shù)【例10】如圖3，已知AB/ ED反思：我們解這道題是用的兩組同旁內(nèi)角之和其實(shí)我們還可以連結(jié) EF，正好把這三個(gè)角分成一組同旁內(nèi)角和一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角由同旁內(nèi)角和三角形內(nèi)角和可得出同樣的結(jié)論.a =Z A+Z E, B =/ B+Z C+Z D.試探索 B 與 2 a 的數(shù)【思考與分析】本題有多種分類，如以兩條直線的位置關(guān)系分類，再考慮第三條直線的位置；又如以三條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)分類等下面我們就第二種分類

24、加以說明 解：（1）如圖1,三條直線互相平行，此時(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0;（2） 如圖2,三條直線相交于同一點(diǎn)，此時(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1;（3） 如圖3,三條直線兩兩相交且不交于同一點(diǎn)，此時(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3;（4） 如圖4,其中兩條直線平行，都與第三條直線相交，此時(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.綜上所述，平面內(nèi)三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0或1或2或3個(gè)（如果按第一種情況進(jìn)行分類研究，又該如何呢？請大家思考一下）國1國2【思考與分析】我們由已知條件 AB/ ED可知a =Z A+Z E= 180°,于是只需知道 B = Z B+Z C+Z D的大小即可探索出 B與2 a的數(shù)量關(guān)系此時(shí)可以過點(diǎn) C作CF/ AB,從而求出B = Z

25、 B+Z C+Z D= 360 °，即有 B = 2 a .解：猜想B = 2 a .理由是：過C作CF/ AB,因?yàn)锳B / ED所以Z a =Z A+Z E= 180° .又因?yàn)锳B/ ED,所以 CF/ DE 即（Z B+Z 1） + （Z 2+Z D）= 360° .故3 = 2 a .【小結(jié)】這道題的思路與我們做的上題是相同的，也可以連結(jié)BD來解.第五節(jié)、競賽數(shù)學(xué)在競賽試題中，平行和垂直是做為基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用在一些綜合性的題目之中，單獨(dú)出題的情況朗3朗耳反思：求解中（2）、（ 3）兩種情況稱為三條直線兩兩相交 當(dāng)題目中圖形不全或不確 定時(shí)，我們一定要注意分類

26、【例2】（1）請你在平面上畫出 6條直線（沒有三條共點(diǎn)），使得它們中的每條直線 都恰與另3條直線相交，并簡單說明畫法 （2）能否在平面上畫出 7條直線（任意3條都不共點(diǎn)），使得它們中的每條直線都恰 與另3條直線相交，如果能，請畫出一例，如果不能，請簡述理由【思考與分析】“6條直線相交且任意 3條都不共點(diǎn)”，要解決這個(gè)問題，我們可以首先畫出兩條相交直線，這樣可以發(fā)現(xiàn)若不出現(xiàn)3條直線共點(diǎn)可以出現(xiàn)平行線 對于（2）中所求,很少，但當(dāng)平行和垂直的性質(zhì)與實(shí)際情況結(jié)合時(shí)，往往也會(huì)被做為新題型來考查可以根據(jù)（1）得到的結(jié)論先對其進(jìn)行推理，不要盲目的畫圖解：（1）在平面上任取一點(diǎn) A,過A作兩直線ml與n1在

27、n1上取兩點(diǎn)B、C,在ml上 取兩點(diǎn) D、G.過 B 作 m2/ ml,過 C 作 m3/ ml,過 D 作 n2/ n 1,過 G 作 n3/ nl,這時(shí) m2 m3 n2、n3交得E、F、H I四點(diǎn)，如圖所示.由于彼此平行的直線不相交，所以，圖中每條直線都 恰與另3條直線相交乩I 股戰(zhàn)3（2）在平面上不能畫出沒有 3線共點(diǎn)的7條直線，使得其中每條直線都恰與另外3條直線相交理由如下：假設(shè)平面上可以畫出7條直線，其中每一條都恰與其它3條相交，因兩直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)， 又因沒有3條直線共點(diǎn)，所以每條直線上恰有與另 3條直線交得的3個(gè)不同的交點(diǎn)根據(jù)直線去數(shù)這些交點(diǎn)，共有3X 7= 21個(gè)交點(diǎn)，但

28、每個(gè)交點(diǎn)分屬兩條直線，被重復(fù)計(jì)數(shù)一次，所以這 7條直線交點(diǎn)總數(shù)為-因?yàn)檫@與交點(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)為整數(shù)矛盾 所以，滿足題設(shè)條件的7條直線是畫不出來的反思：本題在說明理由時(shí)應(yīng)用了假設(shè)法利用假設(shè)推導(dǎo)出結(jié)果是否與題中條件沖突這與我們以后要學(xué)的反證法相類似“直線AB和CD被直線GH所截”、“直線EF和GH被直線AB所截”、“直線EF和GH被直線CD所 截”、“直線AB和EF被直線GH所截”、“直線EF和CD被直線GH所截”、“直線AB和GH被直線 EF所截”、“直線GH和 CD被直線EF所截” 每一個(gè)“三線八角”都有兩對同旁內(nèi)角，故原圖中 共有16對，因此選擇D.【小結(jié)】解這類問題，關(guān)鍵是如何用圖形分解法把圖形分

29、成若干個(gè)“三線八角”【例4】 有10條公路（假設(shè)公路是筆直的，并且可以無限延伸），無任何三條公路交于同一個(gè)岔口，現(xiàn)有31名交警，剛好滿足每個(gè)岔口有且只有一名交警執(zhí)勤，請你畫出公路示意圖【思考與解】我們可以把公路想象成直線，岔口想象成交點(diǎn)，由警察的人數(shù)及題意可知，10條直線剛好有31個(gè)交點(diǎn)根據(jù)前面所學(xué)知識(shí)，平面上的10條直線，若兩兩相交，最多出現(xiàn)45個(gè)交點(diǎn)， 現(xiàn)在只要求出現(xiàn)31個(gè)交點(diǎn)，就要減去14個(gè)交點(diǎn)，這種情況下，通常采取兩種 辦法：（1）多條直線共點(diǎn)；（2）出現(xiàn)平行線.根據(jù)題意，方法（1）不能實(shí)現(xiàn)，所以想到使用 平行線在某一方向上有 5條直線互相平行，則減少 10個(gè)交點(diǎn)，若6條直線平行，則可

30、減少 15 個(gè)交點(diǎn)， 所以這個(gè)方向上最多可取 5條平行線，這時(shí)還有 4個(gè)點(diǎn)要去掉，換一個(gè)方向取 3條平 行線，即可再減少 3個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)還剩下 2條直線與1個(gè)要減去的點(diǎn)，只須讓其在第三個(gè)方向 上互相平行即可，如圖所示：.*j-*'r yr【例3】平行直線AB和CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內(nèi)角共有（）對A. 4對 B. 8 對C. 12 對 D. 16 對【小結(jié)】 本題考查我們對知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，在做題時(shí)，要牢牢把握平行線的性質(zhì)，與圖 形結(jié)合，從簡單的圖形推理找出問題的入手點(diǎn)【例5】把正方形ABCD邊AD平移得到EF,作出平移后的正方形能有幾種作法？【思考與解】我們可將原圖

31、分解為八個(gè)“三線八角”即“直線AB和CD被直線EF所截”、描述一個(gè)平移變換，必須指出平移的方向和移動(dòng)的距離.形狀，在這種情況B C【思考與分析】據(jù)題意，平移是指正方形整體平移，只有一個(gè)我們根據(jù)以前學(xué)過的作圖方法和本周學(xué)的平移作圖，作法有如下幾個(gè)：作法1 :過E作EF的垂線，截取 EG= EF,過G點(diǎn)作EF的平行線，截取 GH= EF （注意 截取方向），連接FH就得到平移后的正方形.如圖（1）.作法2 :過E、F分別作EF的垂線，截取 EG= EF, FH= EF （注意截取方向），連接GH 就得到平移后的正方形如圖（1）.作法3:過F作EF的垂線，截取 FH= EF,過H點(diǎn)作EF的平行線，截

32、取 GH= EF （注意 截取方向），連接EG就得到平移后的正方形.如圖（1）.作法4: 過E作AC的平行線，過F作BD的平行線，截取 EH=AC FG=BD（注意截取方 向）.連接EG GH HF,就得到平移后的正方形.如圖（2）.作法5:連接EA FD,過B點(diǎn)作EA的平行線，過 C作FD的平行線.截取BG=EA CH=FD（注意截取方向）如圖（3）.連接EG GH HF,就得到平移后的正方形.E F(1) (2)【例6】電腦游戲上有一種俄羅斯方塊的游戲， 游戲規(guī)則：在所給各種各樣的方塊中， 通過平移、 旋轉(zhuǎn)的方式，羅列方塊使之排滿每一橫行，每排滿一行，便消去一行，得100分，依次類推（本題

33、特殊規(guī)定，只準(zhǔn)平移），小方塊在屏幕頂端居中出現(xiàn)（奇數(shù)列時(shí)居中偏左）現(xiàn)在電腦屏幕上 顯示（如圖所示）（1）若按規(guī)定，想得分，甲方塊需要怎樣平移，才可能直接得分或?yàn)橐院蟠蛳碌梅只A(chǔ)？乙方塊呢？（2）若你把甲方塊放到左側(cè)，發(fā)現(xiàn)屏幕已暗示出丙方塊為下，丙方塊只需如何移動(dòng)，便可得多少分？（注：屏幕上一共有10行10列）【思考與分析】第（1）題觀察甲方塊與底部方塊的特點(diǎn)，我們可得出平移方式第（2）題將丙方塊通過平移嵌入空隙之中，即可得分解：（1）甲方塊可左移3個(gè)單位，下移7個(gè)單位放到屏幕左側(cè)；乙方塊需向右平移3個(gè)單位，下移8個(gè)單位，放到屏幕右側(cè)（可用其他平移方式）（2）丙方塊下移7個(gè)單位，便可排滿 2行，

34、得200分【小結(jié)】解本題的關(guān)鍵是將各個(gè)方塊通過平移嵌成一個(gè)長方形，需根據(jù)方塊和現(xiàn)有圖形選擇合理的平移方式【例7】如圖1，已知直線l 1 /I2，直線13和直線丨1、丨2交于點(diǎn)C和D,在C D之間有一點(diǎn)P，如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問/ PAC / APB / PBD之間的關(guān)系是否發(fā)生變化若點(diǎn)P在C、【小結(jié)】平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向連結(jié)對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等 要D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C D不重合），試探索/ PAC / APB / PBD之間的關(guān)系又是如何?P作出l i的平行線即可知道【思考與分析】若 P點(diǎn)在C D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們只要過點(diǎn)P點(diǎn)與點(diǎn)C D不重合），則可以分為/

35、APB=Z PAC+Z PBD若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2和如圖3兩種情形，同樣分別過點(diǎn) P作出l i或l 2的平行線，即有/ APB=Z PBD-/ PAC或/ APB=Z PAG- / PBD.解：若P點(diǎn)在C D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有/ APB=Z PAC+Z PBD.理由是：如圖1,過點(diǎn)P作 PE/ I i,則/ APE=Z PAC 又因?yàn)?l i II l 2,所以 PE/ 12，所以/ BPE=Z PBD 所以/ APE+Z BPE =/ PAC+Z PBD 即/ APB=Z PAC+Z PBD.若點(diǎn)P在C D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合)，則有兩種情形：(1)如圖2，

36、有結(jié)論：/ APB=Z PBD-Z PAC理由是：過點(diǎn) P作PE/ l i，則/ APE=Z PAC 又 因?yàn)?I 11 l 2,所以 PE/ l 2,所以/ BPE=Z PBD 所以/ APB=Z BPE-ZAPE 即/ APB=Z PBD-Z PAC.(2)如圖3，有結(jié)論：/ APB=Z PAC-Z PBD理由是：過點(diǎn) P作PE/ I2，則/ BPE=Z PBD 又因?yàn)?I i / l 2 ,所以 PE/ I 1,所以/ APE=Z PAC 所以/ APB=Z APE-Z BPE 即/ APB=Z PAC-Z PBD.【小結(jié)】我們做這類題的時(shí)候可以發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)的移動(dòng)帶動(dòng)角的位置變化,角的位置變

37、化決定了角之間的關(guān)系.因此我們可以利用分類思想來分析題意，解決多種情況的討論A.78 °B.90C.88 °D.92A.南偏西40B.北偏西50°第六節(jié)、本章訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練題一、選擇題（每題 5分，共35分）1. 兩條平行線被第三條直線所截，那么一組同位角的平分線的關(guān)系是（）A. 互相垂直B.互相平行C.相交但不垂直D.不能確定2. 下列說法正確的是（）.A. 相等的角是對頂角B. 兩直線平行，同位角相等C. 同旁內(nèi)角互補(bǔ)D. 兩直線平行，同位角互補(bǔ)3. 如圖1所示，已知 DE/ BC, CD是/ ACB的平分線，/ B= 72°,/ ACB= 40

38、76;,那么/BDC等于（）.4. 下列說法：兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；垂直于同一直線的兩直線平行，其中是平行線的性質(zhì)的是（A. B.和C. D.和5. 船向北偏東50°方向航行到某地后，依原航線返回，船返回時(shí)方向應(yīng)該是（6. 線段AB是由線段CD經(jīng)過平移得到的，那么線段AC與BD的關(guān)系為（）.A.平行 B.相交 C.相等 D.平行且相等7. 如果兩個(gè)角有一條邊在同一條直線上，而另一條邊互相平行，那么這兩個(gè)角的關(guān)系是（ ）.A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.沒有關(guān)系二、填空題（每題 5分，共35分）8. a / b, a / c 貝U

39、/，根據(jù).9. 經(jīng)過平移后的圖形與原來圖形的 .和.分別相等，圖形的 .和.沒有發(fā)生改變.10. 在同一平面上，如果 AB丄EF, AC丄EF,那么點(diǎn) C與直線AB的位置關(guān)系是 .11. 把厶ABC向右平移4cm得厶ABQ，再把 ABG向下平移 3?？诘蜜藺2B2C2,若把 A2B2C2看成是由厶ABC經(jīng)一次平移得到的，請量一量，其平移的距離是 .cm.12. 船的航向從正北方向依逆時(shí)針方向駛向西南方向，它轉(zhuǎn)了 度.13. 已知梯形 ABCD AD/ BC, BC= 6, AD= 3, AB= 4, CD= 2, AB平移后至U DE處，則CDE的周長是14. 如果 ABC 經(jīng)過平移后得到DE

40、F,若/A= 41 °, /C=32°,EF= 3cm,則/E=. , BC= cm三、解答題（每題10分，共30分）15. 如圖，AC丄AB, / 仁30° , / B= 60° ,（1）你能確定 AD與BC平行嗎？（2）能確定 AB平行于CD嗎？C.北偏西40D.南偏西50°16. 如圖，AD平分/ EAC AD/ BC,你能確定/ B與/ C的數(shù)量關(guān)系嗎A和/D的度數(shù).17. 如圖所示，AB/ CD,AD/ BC, / A的2倍與/ C的3倍互補(bǔ)，求/所以Z B=Z C.答案一、1.B2.B3.C4.A5.D6.D7.C二、8. b ,

41、c,平行于同一條直線的兩條直線平行9. 對應(yīng)角、對應(yīng)邊，形狀、大小10. 在直線AB上11. 512. 13513. 914. 107 °，3三、15.【思考與分析】通過觀察圖形并結(jié)合題中條件我們可以得到：/ACB=180 - / BAC-/ ABC= 180°- 90°- 60°= 30° .由此可得 AD/ BC.但是由題中條件我們求不出/D或者/ACD因此不能判定 AB與CD是否平行.解：（1）因?yàn)? BAC=90，/ B= 60°，且/ BACbZ B+Z ACB=180 ,所以/ ACB=180 -Z BAC-Z B= 18

42、0° - 90°- 60°= 30° .所以AD/ BC （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.（2）不能確定.因?yàn)榍蟛怀鯶 D或者Z ACD找不到兩直線平行的判定條件，所以AB與CD不一定平行.16. 【解題思路】我們通過觀察圖形并結(jié)合題中條件可知，要想知道ZB與Z C的數(shù)量關(guān)系，就得利用 AD/ BC從而得到Z B=Z 1, Z C=Z 2.只要Z 1 = Z 2，那么Z B=Z C.而題中給 出了 AD平分Z EAC正好得到Z 1 = Z 2!解：因?yàn)锳D/ BC,所以Z B=Z 1 （兩直線平行，同位角相等）.所以Z C=Z 2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

43、.又因?yàn)锳D平分Z EAC所以Z 1 = Z 2.17. 【思考與分析】經(jīng)過仔細(xì)分析我們可知，題目要求ZA和Z D的度數(shù)，而條件只給出了 Z A和Z C的關(guān)系.因此，分清Z A、Z C和Z D三者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵 .解：因?yàn)锳B/ CD所以Z A+Z D= 180° .所以Z A= 180°-Z D.因?yàn)?AD/ BC,所以Z C+Z D= 180° .所以Z C= 180°-Z D.所以Z A=Z C.再由 2Z A+ 3Z C= 180° 解得Z A=Z C= 36° .所以Z D= 144° .提高訓(xùn)練題一、填空

44、題1. 直線l 1 , 12在同一平面內(nèi)不相交，則它們的位置關(guān)系是2. 若直線1 1/ 1 2， 12/ 13,貝U /，其理由是3. 若直線I 11 2, 條射線與1 1有交點(diǎn)，那么這條射線與1 2的位置關(guān)系是二、選擇題1. 下列哪種情況，直線1 1和12不一定是平行線（）A. 1 1和12是不相交的兩條直線B. 11和12都平行于直線1 3C. 在同一平面內(nèi)11和I 2沒有一個(gè)公共點(diǎn)D. 在同一平面內(nèi)，丨1丄1 3 , | 2丄1 32. 若/ 1與/ 2的關(guān)系為內(nèi)錯(cuò)角，/ 1=40°,則/ 2等于（）A. 40 ° B. 140 °C. 40?；?140&#

45、176;D.不確定3. 下列說法正確的是（）A. 若兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角是對頂角B. 若兩個(gè)角是對頂角，則這兩個(gè)角是相等C. 若兩個(gè)角不是對頂角，則這兩個(gè)角不相等D. 所有的對頂角相等三、解答題1. 如圖，已知三角形 ABC，分別過A，B，C三點(diǎn)作它們的對邊 BC, CA AB的平行線3. 如圖，AD/BC, AE=BE.(1) 過 E 作 EF/BC 交 CD于 F,過 D作 DG/AB 交 BC于 G;(2) EF和AD平行嗎？為什么？C2. 如圖，a/b , a與c相交，那么b與c相交嗎？為什么?答案一、填空題1. 平行2.11, 13,如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也

46、互相平行3. 相交或不相交二、選擇題1. A2.D3.B三、解答題1.解：如下圖2. 解：相交，理由如下：假設(shè)b與c不相交，那么在這個(gè)平面內(nèi)，b/ c.而題中給出了 a / b，所以a/ c,這與題中a、c相交矛盾，所以b與c相交.3. 解：(1)如下圖.(2)平行，理由如下：因?yàn)锳D/ BC 又因?yàn)?EF/ BC,所以EF/ AD.強(qiáng)化訓(xùn)練題1.如圖，直線a/b的條件是（ ）A.B.C.D.5.如圖所示，AB CD相交于點(diǎn)O, OB平分7 DOEAOC= .答案1.C2.D3.C4.B若7 COE=120，則75.307 1 + 7 2=180°f1 M 'I gv2邀團(tuán)2

47、.如圖，下列條件能推出AB/CD的是（）.A.7 A=7 CB. 7 B=7 DC.7 A+7B=180°D. 7 A+7 D=180°3.如圖，下列推導(dǎo)正確的是（).A.因?yàn)?仁7 3，所以c/dB.因?yàn)?仁7 4，所以a/bC.因?yàn)?1+7 2=180°,所以c/dD.因?yàn)?2=7 4，所以 a/bD4. 如圖，已知直線 AB CD相交于點(diǎn) O, OA平分7 EOC 7 EOC=70，則7 BOD勺度數(shù)等于（)A.30 °B. 35 °C.20 °D.405.如圖4, P為直線 m外一點(diǎn)，點(diǎn) A B、C在直線 m上，且PB丄m,垂

48、足為B, / APC=90 ,相交線與平行線綜合訓(xùn)練題則錯(cuò)誤的是（）A.線段PB的長度叫做點(diǎn)P到直線m的距離、選擇題（每小題 5分，共30分）1.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（A. 相交、平行B. 相交、垂直C. 平行、垂直D. 平行、相交、垂直B. PA、PB PC三條線段中，PB最短C. 線段AC的長度等于點(diǎn)P到直線m的距離）D. 線段PA的長度叫做點(diǎn) A到直線PC的距離6.如果直線a / b, b/ c,那么a/ c,這個(gè)推理的依據(jù)是（）A. 等量代換B. 平行公理C. 同位角相等，兩直線平行D.平行于同一條直線的兩條直線互相平行、填空題（每小題 5分，共30分）7.如圖5，已

49、知直線 AB CD相交于點(diǎn) O, OE平分/ BOC若/ AOC=40，則/2. 如圖 1，直線 AB CD相交于點(diǎn) 0,且/ AOD+Z BOC=100，則/ A0C（）度A.150B.130C.100D.903. 如圖2, OALOB OCL0D則/ l與/ 2的大小關(guān)系是（）BOC=A. / 1>Z 2B. / l= / 2C. / l< / 2D.以上都不對4.如圖3，若/ A與（）互補(bǔ)，可判定 AB/ CD.8. 鄰補(bǔ)角的兩條平分線互相9. 如圖6，已知a丄c, b丄c,那么 / ，這是根據(jù)A. / BB. / CC. / DD.以上都不是10.如圖7,當(dāng)圖中/ l和/2

50、滿足時(shí)，能使OA! OB（只需填上一個(gè)條件即可）11. 如圖8 （己知） BC/ AD （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）12. 在同一平面內(nèi)，直線a、b相交于點(diǎn)M,且a / c,則b與c的關(guān)系是三、解答題（每題10分，共40分）13. 如圖，直線 EF、BC相交于點(diǎn) O,/ AOC是直角，/ AOE=115，求/ C0R的度數(shù).14. 過鈍角的頂點(diǎn)向它的一邊作垂線，將此鈍角分成兩個(gè)度數(shù)之比為6 : 1的角，求此鈍角的度數(shù).15. 如圖，已知直線 EF與AB CD分別相交于點(diǎn) G H,且/ 1 = / 3,那么AB與CD平行嗎？ 為什么？BBE是/ B的平分線，交 AC于E,其中/ 1= / 2,那么

51、DE/ BC嗎？為什么？A答案一、1.A2.B3.B4.C5.C6.D二、7.140 ° , 110°8.垂直9. a , b，在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條不重合的直線互相平行10.互余11. / 1 = 7 412.相交三、13.【解題思路】觀察圖形并結(jié)合題意可以得到兩種方法求7COF.是利用余角定義 90°7 AOF 一是利用對頂角相等7 BOE=7 COF.解法一：因?yàn)? AOE=115 （已知），所以7 AOF=180 -115 ° =65°（平角定義）.所以7 COF= 90°7 AO= 90° 65

52、76;= 25° .解法二：因?yàn)? AOE=115 （已知），所以7 BOE= 115 ° -90 ° = 25° .所以7 COF=7 BOE= 25° .14. 【解題思路】首先要理解題意，然后根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，數(shù)形結(jié)合解題.所以AB/ CD （同位角相等，兩直線平行）.16. 【解題思路】要知道 DE BC是否平行，就要找相應(yīng)的平行線判定條件，由已知71=7 2,只要能說明7 2 = 7 EBC則可說明DE BC平行，而這一點(diǎn)可以由 BE是7 B的平分線可 以得到.解：DE/ BC理由如下：因?yàn)? 1 = 7 2 （已知），又因?yàn)?

53、 1 = 7 EBC（ BE是7 B的平分線），所以7 2=7 EBC.所以DE/ BC （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.無論圖1還是圖2都把這個(gè)鈍角分為7 2: 7 1 = 6: 1.而7 2 = 90°，所以這個(gè)鈍角的7_度數(shù)是 90°X ： = 105 ° .15. 【解題思路】要知道 AB CD是否平行，就要找相應(yīng)的平行線判定條件，對號(hào)入座解：平行，原因如下：因?yàn)? 1 = 7 GHD（對頂角相等），又因?yàn)? 1 = 7 3 （已知）， 所以7 GHD=7 3.A.85B.165C.175D.115平行線的性質(zhì)和平移一、選擇題（每題 5分，共30分）1. 兩條平行線被第三條直線所截得到的角中，角平分線互相垂直的是（）A .同旁內(nèi)角B .內(nèi)錯(cuò)角C .同位角D .內(nèi)錯(cuò)角或同位角2. 在同一平面內(nèi)，下列說法中，正確的有（）個(gè).過兩點(diǎn)有且只有一條直線.兩條不同的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)過一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線垂直過一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線平行A. 1個(gè) B.2 個(gè) C.3個(gè)D.4個(gè)3. 關(guān)于平移，下列說活正確的是（）A