1、§4.5和角公式與倍角公式1cos()cos cos sin sin (C)cos()_(C)sin()_(S)sin()_(S)tan()(T)tan()(T)前面4個公式對任意的，都成立，而后面兩個公式成立的條件是k，k，kZ，且k(T需滿足)，k(T需滿足)kZ時成立，否則是不成立的當(dāng)tan 、tan 或tan(±)的值不存在時，不能使用公式T±處理有關(guān)問題，應(yīng)改用誘導(dǎo)公式或其它方法來解2二倍角公式sin 2_；cos 2_；tan 2_.3在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運用公式解決問題：如公式的正用、逆用和變形用等如T±可變形為：tan &

2、#177;tan _，tan tan _.4函數(shù)f()acos bsin (a，b為常數(shù))，可以化為f()_或f()_，其中可由a，b的值唯一確定難點正本疑點清源1正確理解并掌握和、差角公式間的關(guān)系理解并掌握和、差角公式間的關(guān)系對掌握公式十分有效如cos()cos cos sin sin 可用向量推導(dǎo)，cos()只需轉(zhuǎn)化為cos()利用上述公式和誘導(dǎo)公式即可2辯證地看待和角與差角為了靈活應(yīng)用和、差角公式，可以對角進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱肿儞Q：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換如()()，2()(),2()()，2·，等1化簡：sin 200

3、76;cos 140°cos 160°sin 40°_.2已知sin()，sin()，則的值為_3函數(shù)f(x)2sin x(sin xcos x)的單調(diào)增區(qū)間為_4(2011·遼寧)設(shè)sin()，則sin 2等于 ()A B C. D.5若sin，則cos的值為 ()A. B C. D題型一三角函數(shù)式的化簡求值問題例1(1)化簡： (0<<)；(2)求值：sin 10°.探究提高(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征(2)對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本思路有：化為特

4、殊角的三角函數(shù)值；化為正、負(fù)相消的項，消去求值；化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值 (1)化簡：·；(2)求值：2sin 50°sin 10°(1tan 10°)·.題型二三角函數(shù)的給角求值與給值求角問題例2(1)已知<<<，cos()，sin()，求sin 2；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值探究提高(1)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍

5、為，選正弦較好(2)解這類問題的一般步驟為：求角的某一個三角函數(shù)值；確定角的范圍；根據(jù)角的范圍寫出所求的角 (2011·廣東)已知函數(shù)f(x)2sin，xR.(1)求f的值；(2)設(shè)，f，f(32)，求cos()的值題型三三角變換的簡單應(yīng)用例3已知f(x)sin2x2sin·sin.(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范圍探究提高(1)將f(x)化簡是解題的關(guān)鍵，本題中巧妙運用“1”的代換技巧，將sin 2，cos 2化為正切tan ，為第(1)問鋪平道路(2)把形如yasin xbcos x化為ysin(x)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值

6、與對稱性 (2010·天津)已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2cos2x1(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間0，上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值6.構(gòu)造輔助角逆用和角公式解題試題：(12分)已知函數(shù)f(x)2cos x·cossin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)0，時，若f()1，求的值審題視角(1)在f(x)的表達(dá)式中，有平方、有乘積，而且還表現(xiàn)為有不同角，所以要考慮到化同角、降冪等轉(zhuǎn)化方法(2)當(dāng)f(x)asin xbcos x的形式時，可考慮輔助角公式規(guī)范解答解(1)因為f(x)2

7、cos xcossin2xsin xcos xcos2xsin xcos xsin2xsin xcos x2分cos 2xsin 2x2sin，所以最小正周期T.6分(2)由f()1，得2sin1，又0，所以2，8分所以2或2，故或.12分第一步：將f(x)化為asin xbcos x的形式第二步：構(gòu)造：f(x)(sin x· cos x·)第三步：和角公式逆用f(x)sin(x) (其中 為輔助角)第四步：利用f(x)sin(x)研究三角函數(shù)的性質(zhì)第五步：反思回顧查看關(guān)鍵點、易錯點和解題規(guī)范批閱筆記(1)在本題的解法中，運用了二倍角的正、余弦公式，還引入了輔助角，技巧性較

8、強(qiáng)值得強(qiáng)調(diào)的是：輔助角公式asin bcos sin()(其中tan )，或asin bcos cos() (其中tan )，在歷年高考中使用頻率 是相當(dāng)高的，幾乎年年使用到、考查到，應(yīng)特別加以關(guān)注(2)本題的易錯點是想不到引入輔助角或引入錯誤在定義域大于周期的區(qū)間上求最值時，輔助角的值一般不用具體確定.方法與技巧1巧用公式變形：和差角公式變形：tan x±tan ytan(x±y)·(1tan x·tan y)；倍角公式變形：降冪公式cos2，sin2；配方變形：1±sin 2,1cos 2cos2，1cos 2sin2.2利用輔助角公式求最

9、值、單調(diào)區(qū)間、周期yasin bcos sin()(其中tan )有：|y|.3重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角為：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?已知和角函數(shù)值，求單角或和角的三角函數(shù)值的技巧：把已知條件的和角進(jìn)行加減或二倍角后再加減，觀察是不是常數(shù)角，只要是常數(shù)角，就可以從此入手，給這個等式兩邊求某一函數(shù)值，可使所求的復(fù)雜問題簡單化5熟悉三角公式的整

10、體結(jié)構(gòu)，靈活變換本節(jié)要重視公式的推導(dǎo)，既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征，要體會公式間的聯(lián)系，掌握常見的公式變形，倍角公式應(yīng)用是重點，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其變形失誤與防范1運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對性，要注意升次、降次的靈活運用，要注意“1”的各種變通2在(0，)范圍內(nèi)，sin()所對應(yīng)的角不是唯一的3在三角求值時，往往要估計角的范圍后再求值§4.5和角公式與倍角公式(時間：60分鐘)A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1已知sin ，則cos(2)等于 ()A B C. D.2(2011·福建)若，且s

11、in2cos 2，則tan 的值等于 ()A. B. C. D.3(2011·浙江)若0<<，<<0，cos，cos，則cos等于()A. B C. D二、填空題4(2011·江蘇)已知tan2，則的值為_5函數(shù)f(x)2cos2xsin 2x的最小值是_6 sin ，cos ，其中，則_.三、解答題7已知A、B均為鈍角且sin A，sin B，求AB的值8已知函數(shù)f(x)cos2sin·sin，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值B組專項能力提升題組一、選擇題1已知銳角滿足cos 2cos，則sin 2等于 ()A. BC. D2若將函

12、數(shù)yAcos·sin (A>0，>0)的圖象向左平移個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱，則的值可能為 ()A2 B3 C4 D53在ABC中，若tan Atan Btan A·tan B，且sin Acos A，則ABC()A等腰三角形 B等腰或直角三角形C等邊三角形 D等腰直角三角形二、填空題4化簡：sin2x2sin xcos x3cos2x_.5._.6已知cos，則_.三、解答題7已知cos ，cos()，且0<<<，(1)求tan 2的值；(2)求.8設(shè)函數(shù)f(x)cossin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)A，B，C為ABC

13、的三個內(nèi)角,若cos B，f，且C為銳角，求sin A.答案要點梳理1cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 22sin cos cos2sin22cos2112sin23tan(±)(1tan tan )114. sin()cos()基礎(chǔ)自測1.2.3. (kZ)4A5.D題型分類·深度剖析例1解(1)原式.因為0<<，所以0<<，所以cos >0，所以原式cos .(2)原式sin 10°sin 10°·sin 10°·.2cos 10

14、°.變式訓(xùn)練1(1)(2)例2解(1)<<<，0<<，<<，sin()，cos()，sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()××.(2)tan tan()>0，0<<，又tan 2>0，0<2<，tan(2)1.tan <0，<<，<2<0，2.變式訓(xùn)練2(1)(2)例3解(1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sin·cossin 2xsin(sin 2xcos 2x)cos 2x(sin 2xcos 2x).由

15、tan 2，得sin 2.cos 2.所以，f()(sin 2cos 2).(2)由(1)得f(x)(sin 2xcos 2x)sin.由x，得2x.sin1,0f(x)，所以f(x)的取值范圍是.變式訓(xùn)練3(1)最小正周期為，最大值為2，最小值為1(2)課時規(guī)范訓(xùn)練A組1B2.D3.C4.5.16.7解A、B均為鈍角且sin A，sin B，cos A ，cos B ，cos(AB)cos Acos Bsin Asin B××，又<A<，<B<，<AB<2，AB.8解由題意，得f(x)cos2sin·sincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin，又x，所以2x.又f(x)sin在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x時，f(x)取得最大值1.又f<f，所以當(dāng)x時，f(x)取得最小值.故函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為1與.B組1A2.D3.C4.sin2546.7解(1)由cos ，0<<，得sin ，tan ×4.于是tan 2.(2)由0<<<，得0<<.又