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文檔簡介
1、運用聯想探究圓錐曲線的切線方程 現行人教版統編教材高中數學第二冊上、第75頁例題2，給出了經過圓上一點的切線方程為；當在圓外時，過點引切線有且只有兩條，過兩切點的弦所在直線方程為。那么，在圓錐曲線中，又將如何？我們不妨進行幾個聯想。聯想一：（1）過橢圓上一點切線方程為；（2）當在橢圓的外部時，過引切線有兩條，過兩切點的弦所在直線方程為：證明：（1）的兩邊對求導，得，得，由點斜式得切線方程為，即 。（2）設過橢圓外一點引兩條切線，切點分別為、。由（1）可知過、兩點的切線方程分別為：、。又因是兩條切線的交點，所以有、。觀察以上兩個等式，發現、滿足直線，所以過兩切點、兩點的直線方程為。評注：因在橢圓
2、上的位置（在橢圓上或橢圓外）的不同，同一方程表示直線的幾何意義亦不同。聯想二：（1）過雙曲線上一點切線方程為；（2）當在雙曲線的外部時，過引切線有兩條，過兩切點的弦所在直線方程為：。（證明同上）聯想三：（1）過圓錐曲線（A，C不全為零）上的點的切線方程為；（2）當在圓錐曲線（A，C不全為零）的外部時，過引切線有兩條，過兩切點的弦所在直線方程為：證明：（1）兩邊對求導，得得，由點斜式得切線方程為化簡得.因為 由×2可求得切線方程為：（2）同聯想一（2）可證。結論亦成立。根據前面的特點和圓上點的切線方程，得到規律：過曲線上的點的切線方程為：把原方程中的用代換，用代換。若原方程中含有或的一
3、次項，把用代換，用代換，得到的方程即為過該點的切線方程。當點在曲線外部時，過引切線有兩條，過兩切點的弦所在直線方程為：通過以上聯想可得出以下幾個推論：推論1：（1）過拋物線上一點切線方程為；（2）過拋物線的外部一點引兩條切線，過兩切點的弦所在直線方程為：推論2：（1）過拋物線上一點切線方程為；（2）過拋物線的外部一點引兩條切線，過兩切點的弦所在直線方程為：。推論3：（1）過拋物線上一點切線方程為；（2）過拋物線的外部一點引兩條切線，過兩切點的弦所在直線方程為：。推論4：（1）過拋物線上一點切線方程為；（2）過拋物線的外部一點引兩條切線，過兩切點的弦所在直線方程為：。在以上的研究中，我們成功的運用了聯想，由過已知圓上和圓外的點的切線方程聯想到過圓錐曲線
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