圓錐曲線的統一焦半徑公式在解題中的應用_第1頁
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1、圓錐曲線的統一焦半徑公式在解題中的應用 宜昌二中 黃群星 我們在解決有關直線與圓錐曲線的關系問題時，經常會用到焦半徑公式。解決這類問題，我們可以用到的公式有：平面上兩點之間的距離公式，弦長公式，三種圓錐曲線的焦半徑公式，和圓錐曲線的統一焦半徑公式。最后一個公式往往被大家忽視，現在我想專門談談這個公式的使用。 一在橢圓中的運用：例1：已知橢圓的離心率為，過右焦點F且斜率為k（0）的直線與C相交與A,B兩點，若,求k的值。解法一： 設橢圓的方程為右焦點為，設直線的方程為，設 將帶入得 k0, m0, 解法二;由題意得 評述：解法二應用了圓錐曲線的統一焦半徑公式，從而大大簡化了解題的過程。那么，在什

2、么情況下可以用這個公式呢？先看這個公式的結構：，其中，e是離心率，P為焦準距，是過焦點的直線的傾斜角，正是由于傾斜角的存在，使得這個公式在解決有關過焦點的直線的斜率和傾斜角的問題時相當便捷，而且，公式是根據圓錐曲線的統一定義推導出來，對橢圓，雙曲線和拋物線都適用，這是它的一大優越之處。 二在雙曲線中的運用：例2：雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為，經過右焦點F垂直于的直線分別交于A,B兩點，已知成等差數列，且同向 求雙曲線的離心率 設直線AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程。解： 如圖 FA=b,OF=c, OA=,OF平分角AOB 設FB=mb,OB=m,則有即

3、 設直線AB的傾斜角為, L1L2BAFOxy即有 雙曲線的方程為評述：雙曲線的焦半徑公式=，由于正負號和絕對值符號的存在，使得這個公式在運用起來又很多不方便，而統一焦半徑公式正好巧妙的解決了這一問題。 三在拋物線中的使用：例3：平面上一點P到點F（1,0）的距離與它到直線x=3的距離之和為4， 求點P的軌跡方程 過A的直線與軌跡C交與MN兩點，求得最大值解：設P（x,y）,由題意得當時， 當時，點P的軌跡方程為 （P=2） (P=6) 當時，當時，當時，NMFOyx當時 當時 當時綜上，當時，評述：這個題目涉及到兩條拋物線，而要求的弦長不一定是來自于直線和同一條拋物線的交點，另外，開口向右的那條拋物線又不是標準方程，所以要用坐標形式的焦半徑公式可謂困難重重，而統一焦半徑公式用的參變量與位置無關，所以這個問題它同樣迎刃而解。有時候，一個問題能否解決，解決的速度，解決的水平往往取決于我們選擇的工具，就如歷史的發展過程中，生

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