1、 實數綜合與提高一、實數的概念及分類 1、實數的分類一是分類是：正數、負數、0； 另一種分類是：有理數、無理數 將兩種分類進行組合：負有理數，負無理數，0，正有理數，正無理數2、無理數：無限不循環小數叫做無理數。在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一實質，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數，如等；（2）有特定意義的數，如圓周率，或化簡后含有的數，如+8等；（3）有特定結構的數，如0.1010010001等；（4）某些三角函數值，如sin60o等二、實數的倒數、相反數和絕對值 1、相反數實數與它的相反數是一對數（只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩

2、個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a+b=0，a=b，反之亦成立。2、絕對值在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。（|a|0）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，則a0；若|a|=-a，則a0。3、倒數如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。4、數軸規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規定的三要素缺一不可）。解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，并能靈活運用。5、估算三、平方根、算數平方根和立方根 1、算術平方根：一般地，如果一個正數x

3、的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x就叫做a的算術平方根。特別地，0的算術平方根是0。表示方法：記作“”，讀作根號a。性質：正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。2、平方根：一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2=a，那么這個數x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正數a的平方根記做“”，讀作“正、負根號a”。性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。開平方：求一個數a的平方根的運算，叫做開平方。 注意的雙重非負性： 03、立方根一般地，如果一個數x的立方等于a，即x3=a那么這個數x就叫做a 的立方根（或三次方根）。表示方法：記作性

4、質：一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。注意：，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。四、實數大小的比較 1、實數比較大小：正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數；數軸上的兩個點所表示的數，右邊的總比左邊的大；兩個負數，絕對值大的反而小。2、實數大小比較的幾種常用方法（1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。（2）求差比較：設a、b是實數，（3）求商比較法：設a、b是兩正實數，（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則。（5）平方法：設a、b是兩負實數，則。五、算術平方根有關計算（二次根式）1、含有二次根號“”；被開方數a必須是非負數。2

5、、性質：（1） （2） （3） （）（4） （）3、運算結果若含有“”形式，必須滿足：（1）被開方數的因數是整數，因式是整式；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式六、實數的運算 （1）六種運算：加、減、乘、除、乘方 、開方（2）實數的運算順序先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。（3）運算律加法交換律 加法結合律 乘法交換律 乘法結合律 乘法對加法的分配律 例題例1 已知一個立方體盒子的容積為216cm3,問做這樣的一個正方體盒子（無蓋）需要多少平方厘米的紙板？例2 若某數的立方根等于這個數的算術平方根，求這個數。例3 下列說法中：無限小數是無理數；無理數是

6、無限小數；無理數的平方一定是無理數；實數與數軸上的點是一一對應的。正確的個數是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4例4 （1） 已知(2)設(3)若（4） 設a、b是兩個不相等的有理數，試判斷實數是有理數還是無理數，并說明理由。例5 （1）已知2m-3和m-12是數p的平方根，試求p的值。（2） 已知m，n是有理數，且，求m，n的值。（3）ABC的三邊長為a、b、c，a和b滿足，求c的取值范圍。（4）已知，求x的個位數字。分類講解一、二次根式的非負性1若，則=_2已知：，求的值3已知、為實數，且，求的值二、二次根式的化簡技巧（一）構造完全平方1化簡，所得的結果為_（拓展）計算2化簡： 3化簡4

7、化簡： 5化簡：6化簡： （二）分母有理化1計算：的值2分母有理化： 3計算：三、二次根式的應用（一）無理數的分割1設為的小數部分，為的小數部分，則的值為（）（A）（B） （C） （D）2設的整數部分為，小數部分為，試求的值3設的整數部分為，小數部分為，試求的值（二）最值問題1設、均為不小于3的實數，則的最小值是_2實數滿足，則的最大值為_（三）性質的應用1設、均為正整數，且，則 =_2已知，則的值為 3已知，求的值4已知，求的值（四）有二次根式的代數式化簡1已知：，求：的值2已知，求的值3已知：，為實數，且求的值（五）比較數的大小1設abcd0且，則x、y、z的大小關系2比較與的大小 3比較

8、與的大小4比較與的大小 5比較與的大小 6比較與的大小 實數拓展提高訓練題1 有下列說法：（1）無理數就是開方開不盡的數；（2）無理數是無限不循環小數；（3）無理數包括正無理數、零、負無理數；（4）無理數都可以用數軸上的點來表示。 其中正確的說法的個數是（ ）A1 B2 C3 D42如果a有算術平方根，那么a一定是（）A正數B0C非負數D非正數3“121的平方根是±11”的數學表達式是()A11B±11C±11D±±114設a是9的平方根，B=（）2，則a與B的關系是（）Aa=±BBa=BCa=BD以上結論都不對5下列說法：3是的平方

9、根；7是(7)2的算術平方根；125的立方根是±5；16的平方根是±4；0沒有算術平方根其中，正確的有( )A1個B2個C3個D4個6如果一個實數的算術平方根等于它的立方根，那么滿足條件的實數有(   )A0個B1個C2個D3個7在0到20的自然數中，立方根是有理數的共有(     )A1個B2個C3個D4個8下列一定沒有平方根的是( ) Ax B2x1 Cx2 D2x29下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是( ) A. B. C. D.10若，且，則、的大小關系是（ ）A B C D不能確定11.下列說

10、法中：9的平方根是3; 是2的平方根;2是的平方根.±是9的平方根；0的平方根是0其中正確的是：A. B. C. D. 12當a取_時,有意義.13.若，則x的取值范圍是 14若，則的值為 的平方根是_15.已知a是的整數部分，b是的小數部分，則(b)a的立方根是_16.在實數范圍內，等式30成立，則_17已知：若1910，6042，則_，±_18(12分)把下列各數填入相應的集合內：，0，0.16，3，0.15，3.141 592 6，0.101 001 000 1.整數集合；分數集合；正數集合；負數集合；有理數集合；無理數集合19(12分)計算： (1)()2； (2)×20已知，互為相反數，求代數式的值21.（1）當時，化簡：的結果是（2）化簡的結果是22已知是M的立方根，是的相反數，且，請你求出的平方根23.閱讀理解，即23的整數部分為2，小數部分為2，1121的整數部分為11的小數部分為2解決問題：已知：a是3的整數部分，b是3的小數部分，求：（1）a，b的值；（2）（a）3+（b+4）2的平方根24(14分)(黔西南州中考)閱讀材料：小明在學習二次根式后，發現在一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如32(1)2.善于思考的小明進行了以下探索：設ab(mn)2(其中a