1、精選優質文檔-傾情為你奉上一次函數的圖像及性質知識結構 模塊一：一次函數的概念知識精講1、 一次函數的概念（1） 一般地，解析式形如（，是常數，且）的函數叫做一次函數；（2） 一次函數的定義域是一切實數；（3） 當時，解析式就成為（是常數，且）這時，y是x的正比例函數，所以正比例函數是一次函數的特例；（4） 一般地，我們把函數（為常數）叫做常值函數它的自變量由所討論的問題確定例題解析【例1】 下列函數中，哪些是一次函數?（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【難度】【答案】（2）、（3）、（4）、（6）【解析】判斷是否是一次函數，要整理成的形式，一次函數有要是一次， 且是整式幾個注意點

2、（1）是二次函數，（5）是分式【總結】考查一次函數的基本概念，會判斷兩個量是否是一次函數關，一般要把關系式整理成概念的標準形式，找出對應【例2】 （1）已知函數是一次函數，則k的取值范圍是_；（2）當m=_時，函數是一次函數，且不是正比例函數 【難度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）一次函數，所以；（2）一次函數其中，要是一次，所以，又因為是一次函數，不是正比例函數，所以不能為0，所以【總結】考查一次函數的基本概念中對于自變量一次的理解【例3】 已知一個一次函數，當自變量時，函數值為；當時，求這個函數的解析式【難度】【答案】【解析】設一次函數解析式為，將兩點代入解二元一次方程組， 解得：，

3、所以這個函數的解析式為：【總結】考察兩點代入法求一次函數解析式，即兩點代入轉而解二元一次方程組【例4】 已知一次函數是一次函數，求實數k的值【難度】【答案】【解析】由一次函數的概念可知：，且，解得：或，又因為， 所以【總結】考察一次函數的基本概念，對于自變量一次的及自變量系數不為零同時要滿足的理解【例5】 若是一次函數，且，求的解析式【難度】【答案】或者【解析】設，由比較對應項系數可得方程，可得， 解得：，；， 所以函數解析式為：或者【總結】考查對一次函數的概念深化理解，對于自變量和變量轉化的理解自變量和變量之間的函數關系【例6】 若是一次函數，且，（1） 求的值；（2） 若=1，求m的值【難

4、度】【答案】（1）4；（2）3【解析】設，則， 因為， 比較對應項系數可得：，所以的解析式是 （1）所以；（2）當時，故【總結】考查對一次函數的概念的深化理解，自變量和變量之間的函數關系模塊二：一次函數的圖像知識精講1、 一次函數的圖像：一般地，一次函數（，是常數，且）的圖像是一條直線一次函數的圖像也稱為直線，這時，我們把一次函數的解析式稱為這一直線的表達式畫一次函數的圖像時，只需描出圖像上的兩個點，然后過這兩點作一條直線2、 一次函數的截距：一條直線與y軸的交點的縱坐標叫做這條直線在y軸上的截距，簡稱直線的截距，一般地，直線（）與y軸的交點坐標是，直線（）的截距是b3、 一次函數圖像的平移：

5、一般地，一次函數（）的圖像可由正比例函數的圖像平移得到當時，向上平移個單位；當時，向下平移個單位（函數平移口訣簡記為：“上加下減，左加右減”）4、 直線位置關系：如果，那么直線與直線平行反過來，如果直線與直線平行，那么，例題解析【例7】 若一次函數函數圖像過原點，求a的值，并在坐標系中畫出函數的圖像【難度】【答案】【解析】一次函數的圖像過原點，即通過（0，0）點，且把這點 坐標代入解析式求解可得，所以解析式是【總結】一次函數的解析式與圖像的關系，解析式中不為0的前提條件，以及圖像過原點的在解析式中的含義【例8】 若一次函數，當x=2時，y=-1，且函數圖像的截距為-3，求函數的解析式【難度】【

6、答案】【解析】截距是-3，則，又因為過（2，-1）點，代入求解，得解析式為【總結】考查一次函數截距的意義，和待定系數法求一次函數解析式的方法【例9】 若一次函數y=-x +b的圖像的截距是-4，求將這個一次函數向左平移2個單位后的函數解析式【難度】【答案】【解析】截距是-4，則，則解析式是，則平移后的解析式為：【總結】考察一次函數截距的意義，及函數圖像平移與解析式變化的關系，即“上加下減，左加右減”【例10】 將直線y=x+1向右平移1個單位，相當于將直線y=x+1向上平移了多少個單位?【難度】【答案】個【解析】一次函數右移一個單位，解析式變為， 則相當于向上平移個單位【總結】考察一次函數圖像

7、平移與函數解析式變化的關系，即“上加下減，左加右減”【例11】 已知一次函數的圖像平行于直線y=x，且當時，函數y的值是1，求這個函數解析式【難度】【答案】【解析】設這個一次函數解析式為，由題易知，把點（-3，1）代入，可得 所以這個一次函數解析式為【總結】考察兩條直線平行與一次函數解析式的關系，即兩條直線平行，相等【例12】 若直線與直線平行，求m的值【難度】【答案】【解析】因為兩條直線平行，所以可知相等且不相等，即，解得：； 因為不相等，所以【總結】考察兩條直線平行與一次函數解析式的關系，兩條直線平行，即無交點，而重合是兩條直線有無數個交點，所以兩條直線平行的含義是相等且不相等【例13】

8、根據下列條件，求解相應的直線表達式（1）直線經過（3，2）以及（1，1）；（2）直線經過（7，0）以及截距是14；（3）直線經過以及截距是【難度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）設直線的解析式為，把（3，2）和（1，1）代入，可得：， 所以直線的解析式為；（2） 設直線的解析式為，截距是14，則，再把（7，0）代入，可得所以直線的解析式為；（3） 設直線的解析式為，截距是，則，再把（-3，0）代入，可得，所以直線的解析式為【總結】考察兩點代入法求解一次函數解析式的方法及截距的含義，兩點代入法求解一次函數的解析式可轉化為求解二元一次方程，從而求出對應的【例14】 直線與已知直線平行，

9、且不經過第三象限，求的值【難度】【答案】【解析】兩條直線平行，則可知相等，即，可得：或，則截距為 或又因為圖像不經過第三象限，所以舍去，即舍去，所以【總結】考察一次函數的的基本概念以及的符號與圖像所過象限的關系【例15】 設點P(3，m)，Q(n，2)都在函數y=x+b的圖象上，求m+n的值【難度】【答案】5【解析】把點P(3，m)，Q(n，2)代入解析式y=x+b中，可得，兩式子相減， 得，整理得【總結】考察一次函數的應用，一次函數圖像上的點的坐標都滿足函數解析式【例16】 設一次函數的圖像過點P（3，2），它與軸、軸的正半軸分別交于A、B兩點，且OA+BO=12時，求一次函數的解析式【難度

10、】【答案】或【解析】由題易知，A點坐標為，B點坐標為，且A、B兩點都在軸、軸的正 半軸上，所以，又點P（3，2）在此函數圖像上，代入可得，兩個式子聯立求解，可得：，解得：或，對應的或3所以該一次函數的解析式為或【總結】本題主要考查一次函數與兩坐標軸的交點問題，注意分類討論【例17】 已知一次函數與的圖像在第四象限內交于一點，求整數的值【難度】【答案】1，0，1【解析】將兩個解析式聯立求解可得：，所以交點坐標為， 因為交點在第四象限內，所以，解不等式得：，所以整數的值為1，0，1【總結】考查對兩個一次函數的交點坐標問題，并且注意每個象限內的點的橫縱坐標的符號特征【例18】 已知兩個一次函數和；（

11、1）、為何值時，兩函數的圖像重合?（2）、滿足什么關系時，兩函數的圖像相互平行?（3）、取何值時，兩函數圖像交于軸上同一點，并求這一點的坐標【難度】【答案】（1）；（2）且；（3），坐標為（2，0）【解析】（1）由題可知，兩個一次函數的比例系數和常數項都相等，即， 解得：；（2） 兩個一次函數的圖像平行，則比例系數相等，常數不相等，所以，即，且；（3） 兩個一次函數的圖像交于軸上一點，即兩個一次函數與軸的交點重合，先分別求出與軸的交點，令，得，同理可得，由題可知，即，交點坐標為（-2，0）【總結】主要考查兩個一次函數圖像的平行、重合的關系與區別以及兩條直線交點的含義【例19】 （1）一次函數的

12、圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積為48，求的值； （2）一次函數的圖像與兩坐標圍成的三角形的面積是10，截距是，求一次函數 的解析式【難度】 【答案】（1）；（2）或【解析】（1）一次函數與兩軸圍成的三角形面積公式是，所以， 解得：； （2）同理可知，解得：，所以一次函數的解析式為或 【總結】一次函數與兩軸圍成的面積公式，注意雙解的情況【例20】 （1）求直線與軸所圍成的三角形的面積； （2）求直線與直線與軸所圍成的三角形的面積【難度】【答案】（1）12；（2）【解析】（1）聯立，解得交點坐標為（-4，-6），又因為兩條直線與軸的交點坐標分別為（0，-4）和（0，2），所以這兩條直線與軸圍成的

13、三角形面積為； （2）聯立，解得交點坐標為（1，-2），又因為兩條直線與軸的交點 坐標分別為（2，0）和，所以這兩條直線與軸圍成的面積為【總結】考查一次函數與坐標軸所圍成的三角形的面積的綜合應用【例21】 如圖，已知由軸、一次函數的圖像及分別過點C（1，0）、D（4，0） 兩點作平行于軸的兩條直線所圍成的圖形ABDC的面積為7，試求這個一次函數的解析式【難度】【答案】【解析】由題易知的坐標為（1,），的坐標為（4，）所圍成的梯形的面積為=7，解得：，所以一次函數的解析式是【總結】考查一次函數與面積的綜合應用模塊三：一次函數的性質知識精講1、 一次函數的增減性：一般地，一次函數（為常數，）具有以

14、下性質：當時，函數值隨自變量的值增大而增大，圖像為上升；當時，函數值隨自變量的值增大而減小，圖像為下降2、一次函數圖像的位置情況：直線（，）過且與直線平行，由直線在平面直角坐標系內的位置情況可知：（要用圖像的平移推導可得）當，且時，直線經過一、二、三象限；當，且時，直線經過一、三、四象限；當，且時，直線經過一、二、四象限；當，且時，直線經過二、三、四象限例題解析【例22】 如果一次函數y=kx+b的圖象經過第一象限，且與軸負半軸相交，那么（ ）A ， B，b<0C，b>0D，【難度】【答案】【解析】一次函數的圖像經過第一象限，且與軸負半軸相交，通過畫圖可知 所以答案選【總結】考察一

15、次函數的基本概念以及、的符號對一次函數圖像所過象限的決定作用【例23】 一次函數y=2x+3的圖象不經過的象限是 （ ） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【難度】【答案】【解析】一次函數中，通過畫圖，可知該一次函數的圖像不經過第三象 限，答案選【總結】考察一次函數的基本概念、的符號對一次函數圖像所過象限的決定作用【例24】 根據下列條件填空：（1）已知函數，當等于_時，它是一次函數，此 時它的圖象經過_象限，y隨x的增大而_； （2） 如果一次函數和的圖象的交點在第一象限，則的取值范圍是_； （3）已知關于的一次函數的圖象與軸的交點在軸的上方，且隨 的增大而減小，則的取值范圍是_ 【難

16、度】【答案】（1）；一、三、四；增大；（2）；（3）【解析】(1)由題可知，要是一次函數則要滿足，解得：此時 函數解析式為，它的圖像經過第一、三、四象限，且隨的增大而增大；（2） 聯立與，可得交點坐標為，因為交點在第一象限，則，所以的取值范圍是（3） 由題易知，一次函數與軸的交點坐標為，且，又隨的增大而減小，所以，從而可得【總結】考查一次函數的基本概念及、對一次函數圖像所過象限及變化趨勢的影響【例25】 設，將一次函數與的圖像畫在同一平面直角坐標系內，則有一組，取值，使得下列四幅圖中的一個為正確的是（ ） AB C D【難度】【答案】D【解析】選項中，由圖像可知，且圖像過一、二、三象限，可知，

17、而另一條直線的 解析式為與軸的交點為在軸下方，則與上面那條直線矛盾，所以錯誤；選項中，兩條直線與軸的交點坐標都在軸上方，可知， 且，這與題目中的矛盾，所以B錯誤；選項中，由題易知，上面那條直線解析 式為，下面那條直線解析式為，且與軸交點都為（2，0）， 分別代入可得，解得：，與已知不符，所以錯誤；選項中，由圖可知，而兩條直線有一條是隨的增大而減小即作為， 中有一個小于0，正好相符，且滿足題目中的條件，故選項D正確【總結】本題主要考查一次函數的性質及、對一次函數圖像所過象限的影響【例26】 若、是一元二次方程的兩個實根（），在一次函數中，隨的增大而減小，則一次函數的圖像一定經過（）A、第一、二、

18、四象限B、第一、二、三象限C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限【難度】【答案】【解析】由題易知，又在一次函數中，隨的增大而減小，可知， 所以，所以一次函數的圖像經過第一、二、四象限故選【總結】一次函數的基本概念，對一次函數圖像所過象限及變化趨勢的影響【例27】 已知，而且，那么直線一定經過（）A、第一、二象限； B、第二、三象限； C、第三、四象限； D、第一、四象限【難度】【答案】【解析】由題可得三式相加得，可得，當，所以或-1當時，經過第一、二、三象限，當時，圖像經過第二、三、四象限兩種情況下，圖像第一定經過第二、三象限故選【總結】考察一次函數的圖像特征及、對一次函數圖像所過象限的影響

19、【例28】 在式子【難度】【答案】14或-6【解析】由題可知存在如下幾種種情況， （1）當時，則，解得：，則； （2）當，則，：，則； （3）當時，是個常值函數，不隨的變化而變化，與題目不符【總結】本題主要考查一次函數的性質的運用，注意分類討論【例29】 已知一次函數中隨的增大而增大，它的圖像與兩坐標軸構成的直角三角形的面積不超過，反比例函數的圖像在第二、四象限，求滿足以上條件的的整數值【難度】【答案】整數值為1或2【解析】一次函數中隨的增大而增大，可知，它的圖像與兩坐標軸構的直角三角形面積不超過可知；又反比例函數的圖像在第二、四象限，可知，解不等式可得：，故整數解為1或者2【總結】考查一次函

20、數與反比例函數的性質及一次函數與坐標軸所圍成的三角形的面積問題【例30】 如圖，已知函數的圖象與軸交于點A，一次函數的圖象經過點B（0，），并且與軸以及的圖象分別交于點C、D；（1）若點D的橫坐標為1，求四邊形AOCD的面積（即圖中陰影部分的面積）；（2）在第（1）小題的條件下，在軸上是否存在這樣的點P，使得以點P、B、D為頂點的三角形是等腰三角形；如果存在，求出點P坐標；如果不存在，說明理由；ABCDOxy（3）若一次函數的圖象與函數的圖象的交點D始終在第一象限，則系數的取值范圍是_（請直接寫出結果）【難度】【答案】(1)；（2），（0，5），； （3）【解析】（1）由題易知的坐標為（0，1

21、），點的橫坐標為1，代入，得，即(1，2)；因為點的坐標為（0，-1），且經過點和點，代入得：，解得：，則一次函數的解析式為，繼而可求出點的坐標為（，0）故陰影部分的面積為：=（2）假設點的坐標為，則分三類情況討論：當時，以點為圓心，為半徑畫圓，與軸的交點即為所求點所以的坐標為；當時，以點為圓心，為半徑畫圓，與軸的交點即為所求點，所以點的坐標為（0，5）；當時，點即為線段的中垂線與軸的交點，則，解得：，即的坐標，綜上，點的坐標為或（0，5）或； （3）因為點的坐標為（0，-1），可知中的，可得聯立，可得交點坐標為，因為點在第一象限內，所以，解不等式組，得【總結】本題綜合性較強，主要考查一次函數

22、的形式與面積的綜合應用隨堂檢測【習題1】 根據下列與的關系式，判斷是否是關于的一次函數?（1） ；（2）；（3）【難度】【答案】（1）、（3）是；（2）不是【解析】一次函數要符合的形式所以（1）是；（2）不是；（3）是【總結】考察一次函數的基本概念【習題2】 已知：是一次函數，則m=_【難度】【答案】3【解析】一次函數要符合的形式由題易知， 解得：，綜上，【總結】考察一次函數的基本概念【習題3】 已知一次函數（），把它的圖像向右平移3個單位，再向下平移5個單位，所得到的圖像與原來的圖像重合，則=_【難度】【答案】【解析】函數的平移：上加下減，左加右減根據題意可知向右平移三個單位得，再向下平移5

23、個單位得，所得到的圖像與原來的圖像重合，即，整理可得：，即，【總結】考察一次函數圖像的平移與解析式變化的關系【習題4】 已知表示關于x的一次函數；（1）求函數解析式；（2）求，的值；（3）如果，求實數【難度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）一次函數的形式是，所以，綜合可得， 所以一次函數的解析式為； （2）； （3）由題可知，可得：【總結】考察一次函數的基本概念利用一次函數關系式已知自變量求變量的值，和已知變量的值求自變量的值【習題5】 若直線的截距是4，且y隨x的增大而減小，求該直線的函數解析式【難度】【答案】【解析】根據一次函數的性質，可知，綜合可得： 所以該直線的解析式為【總

24、結】一次函數中截距的含義，以及一次函數的性質【習題6】 若，請指出一次函數的圖像所經過的象限【難度】【答案】第一、二、四象限【解析】由，可知，所以，根據一次函數的性質， ，可知圖像經過第一、二、四象限【總結】考察的符號與一次函數圖像的關系【習題7】 已知是一次函數，且當時，試寫出滿足條件的和，并寫出解析式【難度】【答案】，【解析】根據一次函數的性質，可知的系數要為0，即，得代入可得，因為，代入可得，即【總結】一次函數的基本概念以及利用待定系數法求解一次函數解析式【習題8】 已知一次函數不經過第二象限，求m的取值范圍【難度】【答案】【解析】根據一次函數的性質，可知圖像不經過第二象限，那么該一次函

25、數圖像經過的象限就分 為兩種情況，經過第一三象限或者經過第一三四象限，綜上，可知，所以可得【總結】考查一次函數中圖像的關系【習題9】 已知直線，把這條直線沿軸向上平移5個單位，再沿軸向右平移3個單位，求兩次平移后的直線解析式?【難度】【答案】【解析】根據一次函數圖形平移規律：上加下減，左加右減可知把這條直線沿軸上移5個單 位，得，再沿軸右移3個單位，得【總結】考察一次函數圖像的平移與解析式之間的關系【習題10】 根據下列要求求一次函數解析式：（1）一次函數經過A且其與y軸的截距為-2；（2）一次函數的截距為-5，且與無交點；（3）一次函數的圖像經過點【難度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析

26、】設一次函數的解析式為， （1）因為截距為-2，所以，把（2,3）代入，即 所以一次函數的解析式為；（2） 由截距為-5，可知解析式中的，與無交點，可知兩條直線平行，即，所以所求一次函數解析式為；（3） 把點代入中，得，聯立求解，可得：【總結】考察截距的意義以及待定系數法求一次函數的解析式【習題11】 已知一次函數（）與軸、軸圍成的三角形面積為24，且與直線平行，求此一次函數的解析式【難度】【答案】【解析】由一次函數與兩軸圍成的直角三角形面積公式為，與直線平行可知 相等，即，代入面積公式，得，所以一次函數的解析式為【總結】考察一次函數與坐標軸圍成的三角形的面積問題，注意分類討論【習題12】 直

27、線：過點B（-1，0）與軸交于點C，直線：與交于點P（2，5）且過點A（6，0），過點C與平行的直線交軸于點D；（1）求直線CD的函數解析式；（2）求四邊形APCD的面積【難度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）由經過點，代入得：，解得，所以一次函數的解析式為所以的坐標為（0，）同理，由經 過點和，可得，所以所以設與平行的直 的直線解析式為，因為過點（0，），可得：，即所求函數解析式為； （2）由的解析式為可得的坐標為（） 由此可知 【總結】本題綜合性較強，主要考查一次函數與面積的結合【習題13】 如圖所示，直線與軸、軸分別交于點A和點B，D是軸上的一點，若將沿直線DA折疊，點B恰好落在軸正

28、半軸上的點C處，求直線CD的解析式【難度】【答案】【解析】一次函數解析式是，可知的坐標為（2，0），的坐標為（）在中，可得，因為沿直線折疊，點落在軸上的點，所以，點的坐標為（6，0），且在中，可得，即的坐標為由（6，0），設一次函數解析式為，代入可得，解得，所以直線的解析式是【總結】本題主要考查一次函數與幾何的綜合，注意利用幾何圖形的性質解題【習題14】 直線與軸、軸分別交于點A、點B，以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰，且，如果在第二象限內有一點（，），且的面積與的面積相等，求的值【難度】【答案】【解析】由題意知，可求出，又因為是等腰直角三角形，所以過點()做平行于軸的直線，交軸與點，則坐

29、標為（）；交線段于點，則點縱坐標為，代入的解析式， 得：，解得：，所以（），且過點作直線的垂線段，垂足為，則的坐標為（）因為， 且，所以=2，解得：【總結】本題主要考查一次函數與幾何的綜合，注意利用幾何圖形的性質解題課后作業【作業1】 下列關于x的函數中，是一次函數的是（ ）【難度】【答案】【解析】一次函數的概念選項中，的最高次數是2，不符，錯誤；選項中，有出現在分母中，即的次數是-1，是分式，錯誤；選項中，有出現在墳墓中，且最高次數-2；選項中，雖然題目中也有出現，但化簡后得，所以正確【總結】考察一次函數的基本概念【作業2】 正比例函數y=(12m)x的圖象經過點（x1，y1）和點（x2，y

30、2）當x1x2時，y1y2 ，則m的取值范圍是（ ） Am<0 Bm>0 CmDm【難度】【答案】【解析】由題意知，隨的增大而減小，所以，即，得，選【總結】考察一次函數的性質的運用【作業3】 一次函數的圖像能否可以不經過第三象限?為什么?【難度】【答案】不可以不經過第三象限因為對應的無解【解析】由題意知，一次函數的圖像可以是經過第一二四象限，此時，無解；也可以經過第二四象限，此時，無解綜上，上述一次函數圖像不可以不經過第三象限【總結】考察一次函數的圖像性質的運用【作業4】 已知直線和，若它們的交點第四象限，那么的取值范圍是_【難度】【答案】【解析】聯立，得：，即交點坐標為， 因為交

31、點在第四象限，所以，解得：【總結】考察兩條直線的交點，兩條直線的交點坐標應滿足兩條直線的解析式xy2-4O【作業5】 如圖，據函數的圖像，填空：（1） 當時，y=_；（2） 圖像與坐標軸的交點坐標是_；（3） 當時，y的取值范圍是_【難度】【答案】（1）-6；（2）（2，0），（0，-4）；（3）【解析】由圖可知，函數經過（2，0），（0，-4），代入解析式中，得：， 則一次函數解析式是：（1） 當；（2） 圖像與坐標軸交點坐標是（2，0），（0，-4）；（3） 當；，所以的取值范圍是【總結】考察一次函數的解析式與圖像中點的坐標的關系【作業6】 根據下列條件求解相應函數解析式：（1）直線經過點且與y=2x+3軸無交點；（2）直線的截距為-且經過點【難度】【答案】（1）；