1、第一章 統計8 最小二乘估計學習目標1.了解用最小二乘法建立線性回歸方程的思想，會用給出的公式 建立線性回歸方程.2.理解回歸直線與觀測數據的關系，能用線性回歸方程進行估計 和預測.題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學具有線性相關關系的散點大致分布在一條直線附近.如何確定這條直線比較合理？思考知識點一最小二乘法答案應該使散點整體上最接近這條直線.最小二乘法是一種求回歸直線的方法，用這種方法求得的回歸直線能使樣本數據的點到回歸直線的距離y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2最小.數學上的“回歸是什么意思？思考知識點二線性回歸方程答案“回歸一詞最早由英國統計學家(Francil

2、s Galton)提出的，本意是子女的身高會向一般人的均值靠攏.現在這個概念引伸到隨機變量有向回歸線集中的趨勢.梳理梳理用最小二乘法得到的直線方程稱為 ，a，b是線性回歸方程的系數.線性回歸方程題型探究例例1下表為某地近幾年機動車輛數與交通事故數的統計資料.(1)請判斷機動車輛數與交通事故數之間是否具有線性相關關系，如果不具有線性相關關系，請說明理由； 類型一線性回歸方程的求法解答機動車輛數x/千臺95110112120129135150180交通事故數y/千件6.27.57.78.58.79.810.213在平面直角坐標系中畫出數據的散點圖，如圖.直觀判斷散點在一條直線附近，故具有線性相關關

3、系.(2)如果具有線性相關關系，求出線性回歸方程.解答 將它們代入公式計算得b0.077 4，a1.024 9，所以，所求線性回歸方程為y0.077 4x1.024 9. 即使散點圖呈餅狀，也可利用公式求出線性回歸方程，但這種方程顯然沒什么價值.故應先畫出散點圖，看是否呈直線形，再求方程.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練1以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數據：(1)畫出數據對應的散點圖； 解答房屋面積x(m2)11511080135105銷售價格y(萬元)24.821.618.429.222數據對應的散點圖如下圖： (2)求線性回歸方程，并在散點圖中加上回歸直線.解答故所求線性回

4、歸方程為y0.196 2x1.814 2.回歸直線如(1)中圖所示.類型二線性回歸方程的應用例例2有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經過統計，得到一個賣出的熱飲杯數與當天氣溫的比照表：影響，經過統計，得到一個賣出的熱飲杯數與當天氣溫的比照表：(1)畫出散點圖；畫出散點圖； 解答攝氏溫度/504712151923273136熱飲杯數15615013212813011610489937654散點圖如下圖：(2)從散點圖中發現氣溫與熱飲銷售杯數之間有什么關系；解答從上圖看到，各點散布在從左上角到右下角的區域里，因此，氣溫

5、與熱飲銷售杯數之間呈負相關，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數越少.(3)求線性回歸方程；解答從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出線性回歸方程的系數.利用計算器容易求得線性回歸方程為yx147.767.(4)如果某天的氣溫是2，預測這天賣出的熱飲杯數；解答當x2時，y143.063.因此，某天的氣溫為2時，這天大約可以賣出143杯熱飲.(5) 氣溫為2時，小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么？解答小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲，原因如下：線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計出來的，存在誤差，這種誤差可以導致預測結果的偏差.即使截距和斜率的估計沒有誤

6、差，也不可能百分之百地保證對應于x的預報值，能夠與實際值y很接近.我們不能保證點(x，y)落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近.線性回歸方程主要用于預測，但這種預測類似于天氣預報，不一定與實際數據完全吻合.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練2有人統計了同一個省的6個城市某一年的人均國民生產總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒童數，如下表：(1)畫出散點圖，并判定這兩個變量是否具有線性相關關系； 解答人均GDP/萬元1086431患白血病的兒童數/人351312207175132180散點圖如下：根據散點圖可以看出，在6個點中，雖然第一個點離這條直線較遠，但其余5個點大致

7、分布在這條直線的附近，所以這兩個變量具有線性相關關系. (2)通過計算可知這兩個變量的線性回歸方程為yx，假設一個城市的人均GDP為12萬元，那么可以斷言，這個城市患白血病的兒童一定超過380人，請問這個斷言是否正確？解答斷言是錯誤的，將x12代入yx得y12380，但是對該城市人均GDP為12萬元的情況下所作的一個估計，該城市患白血病的兒童可能超過380人，也可能低于380人.當堂訓練1.以下有關線性回歸的說法，不正確的選項是A.自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的 關系叫做相關關系B.在平面直角坐標系中用描點的方法得到表示具有相關關系的兩個變量 的一組數據的圖形叫作

8、散點圖C.線性回歸方程最能代表觀測值x、y之間的線性關系D.任何一組觀測值都能得到具有代表意義的線性回歸方程答案2341回歸直線必過樣本點的中心.2.回歸直線的斜率的估計值是，樣本點中心 為(4,5)，A.yx4 B.yx5C.yx0.08 D.yx答案2341解析3.某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表：根據上表可得線性回歸方程ybxa中的b為，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為萬元萬元萬元萬元 2341答案解析廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)492639544.設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據一組樣本數據(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的線性回歸方程為yx，那么以下結論中不正確的選項是A.y與x具有正的線性相關關系B.回歸直線過樣本點的中心C.假設該大學某女生身高增加1 cm，那么其體重約增加0.85 kgD.假設該大學某女生身高為170 cm，那么可判定其體重必為58.79 kg答案2341解析當x170時，y170，體重的估計值為58.79 kg.1.求線性回歸方程時應注意的問題(1)知道x與y成線性相關關系，無需進行相關性檢驗，否那么應首先進行相關性檢驗，如果兩個變量之間本身不具有相關關系，或者說，它們之