1、高三數學第一輪復習：拋物線的定義、性質及標準方程【本講主要內容】 拋物線的定義及相關概念、拋物線的標準方程、拋物線的幾何性質 【知識掌握】【知識點精析】 1. 拋物線定義： 平面內與一個定點和一條直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線，定點不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當e1時為拋物線，當0<e<1時為橢圓，當e>1時為雙曲線。 2. 拋物線的標準方程有四種形式，參數的幾何意義，是焦點到準線的距離，掌握不同形式方程的幾何性質（如下表）： 其中為拋物線上任一點。 3. 對于拋物線上的點的坐標可設為，以

2、簡化運算。 4. 拋物線的焦點弦：設過拋物線的焦點的直線與拋物線交于，直線與的斜率分別為，直線的傾斜角為，則有，。 說明： 1. 求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數法；若由已知條件可知曲線的動點的規律一般用軌跡法。 2. 凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標的復雜運算。 3. 解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應用，而且還應注意焦點弦的幾何性質。 【解題方法指導】 例1. 已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，且與圓相交的公共弦長等于，求此拋物線的方程。解析：設所求拋物線的方程為或設交點（y1>0）則，代入得點在上

3、，在上或，故所求拋物線方程為或。 例2. 設拋物線的焦點為，經過的直線交拋物線于兩點，點在拋物線的準線上，且軸，證明直線經過原點。解析：證法一：由題意知拋物線的焦點故可設過焦點的直線的方程為 由，消去得 設，則 軸，且在準線上 點坐標為 于是直線的方程為 要證明經過原點，只需證明，即證 注意到知上式成立，故直線經過原點。 證法二：同上得。又軸，且在準線上，點坐標為。于是，知三點共線，從而直線經過原點。 證法三：如圖， 設軸與拋物線準線交于點，過作，是垂足 則，連結交于點，則 又根據拋物線的幾何性質， 因此點是的中點，即與原點重合，直線經過原點。 評述：本題考查拋物線的概念和性質，直線的方程和性

4、質，運算能力和邏輯推理能力。其中證法一和二為代數法，證法三為幾何法，充分運用了拋物線的幾何性質，數形結合，更為巧妙。【考點突破】【考點指要】 拋物線部分是每年高考必考內容，考點中要求掌握拋物線的定義、標準方程以及幾何性質，多出現在選擇題和填空題中，主要考查基礎知識、基礎技能、基本方法，分值大約是分。 考查通常分為四個層次： 層次一：考查拋物線定義的應用； 層次二：考查拋物線標準方程的求法； 層次三：考查拋物線的幾何性質的應用； 層次四：考查拋物線與平面向量等知識的綜合問題。 解決問題的基本方法和途徑：待定系數法、軌跡方程法、數形結合法、分類討論法、等價轉化法。【典型例題分析】 例3. （200

5、6江西）設為坐標原點，為拋物線的焦點，為拋物線上一點，若，則點的坐標為（ ）A. B. C. D. 答案： 解析：解法一：設點坐標為，則 ， 解得或（舍），代入拋物線可得點的坐標為。 解法二：由題意設，則， 即，求得，點的坐標為。 評述：本題考查了拋物線的動點與向量運算問題。 例4. （2006安徽）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（ ） A. 2 B. 2 C. 4 . 4 答案：D 解析：橢圓的右焦點為，所以拋物線的焦點為，則。 評述：本題考查拋物線與橢圓的標準方程中的基本量的關系。【達標測試】一. 選擇題：1. 拋物線的準線方程為，則實數的值是（ ） A. B. C. D. 2

6、. 設拋物線的頂點在原點，其焦點在軸上，又拋物線上的點，與焦點的距離為4，則等于（ ） A. 4 B. 4或4 C. 2 D. 2或23. 焦點在直線上的拋物線的標準方程為（ ） A. B. 或 C. D. 或4. 圓心在拋物線上，并且與拋物線的準線及軸都相切的圓的方程為（ ） A. B. C. D. 5. 正方體的棱長為，點在棱上，且，點是平面上的動點，且點到直線的距離與點到點的距離的平方差為，則點的軌跡是（ ） A. 拋物線 B. 雙曲線 C. 直線 D. 以上都不對6. 已知點是拋物線上一點，設點到此拋物線準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（） A. 5 B. 4 C. D. 7

7、. 已知點是拋物線上的動點，點在軸上的射影是，點的坐標是，則的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 58. 過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，為坐標原點，則的值是（ ） A. 12 B. 12 C. 3 D. 3二. 填空題：9. 已知圓和拋物線的準線相切，則的值是。10. 已知分別是拋物線上兩點，為坐標原點，若的垂心恰好是此拋物線的焦點，則直線的方程為。11. 過點（0，1）的直線與交于兩點，若的中點的橫坐標為，則。12. 已知直線與拋物線交于兩點，那么線段的中點坐標是。 三. 解答題：13. 已知拋物線頂點在原點，對稱軸為軸，拋物線上一點到焦點的距離是5，求拋物線的方程。14. 過

8、點（4，1）作拋物線的弦，恰被所平分，求所在直線方程。15. 設點F（1，0），M點在軸上，點在軸上，且。 當點在軸上運動時，求點的軌跡的方程； 設是曲線上的三點，且成等差數列，當的垂直平分線與軸交于E（3，0）時，求點的坐標。 【綜合測試】一. 選擇題：1. （2005上海）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線（ ） A. 有且僅有一條 B. 有且僅有兩條 C. 有無窮多條 D. 不存在2. （2005江蘇）拋物線上的一點到焦點的距離為1，則點的縱坐標是（ ） A. B. C. D. 03. （2005遼寧）已知雙曲線的中心在原點，離心率為，若它的

9、一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線與拋物線的交點與原點的距離是（ ） A. B. C. D. 214. （2005全國）已知雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 5. （2004全國）設拋物線的準線與軸交于點，若過點的直線與拋物線有公共點，則直線的斜率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 6. （2006山東）動點是拋物線上的點，為原點，當時取得最小值，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 7. （2004北京）在一只杯子的軸截面中，杯子內壁的曲線滿足拋物線方程，在杯內放一個小球，要使球觸及杯子的底部，則該球的表面積的取值范圍是

10、（ ） A. B. C. D. 8. （2005北京）設拋物線的準線為，直線與該拋物線相交于兩點，則點及點到準線的距離之和為（ ） A. 8 B. 7 C. 10 D. 12 二. 填空題：9. （2004全國）設是曲線上的一個動點，則點到點的距離與點到軸的距離之和的最小值是。10. （2005北京）過拋物線的焦點且垂直于軸的弦為，以為直徑的圓為，則圓與拋物線準線的位置關系是，圓的面積是。11. （2005遼寧）已知拋物線的一條弦，所在直線與軸交點坐標為（0，2），則。12. （2004黃岡）已知拋物線的焦點在直線上，現將拋物線沿向量進行平移，且使得拋物線的焦點沿直線移到點處，則平移后所得拋物線被軸截得的弦長。 三. 解答題：13. （2004山東）已知拋物線C：的焦點為，直線過定點且與拋物線交于兩點。 若以弦為直徑的圓恒過原點，求的值； 在的條件下，若，求動點的軌跡方程。14. （2005四川） 如圖，