1、離散時間系統與z變換將連續信號變成離散信號有各種取樣將連續信號變成離散信號有各種取樣方法，其中最常用的是等間隔周期取樣，方法，其中最常用的是等間隔周期取樣，即每隔固定時間即每隔固定時間T取一個信號值，如圖取一個信號值，如圖2-1所示。其中所示。其中T稱為取樣周期，稱為取樣周期，T的倒數稱為的倒數稱為取樣頻率或取樣率。記為取樣頻率或取樣率。記為圖2-1 連續信號的取樣取樣定理取樣定理Shannon定理定理任一連續信號任一連續信號xa(t)，設其頻譜的最高，設其頻譜的最高頻率分量為頻率分量為fm，則當對它進行取樣時，只，則當對它進行取樣時，只要選擇取樣率等于或大于要選擇取樣率等于或大于2fm ，就

2、可以由這，就可以由這個取樣序列個取樣序列xa (nT)來唯一準確地恢復來唯一準確地恢復xa (t)。設有一限帶信號設有一限帶信號xa(t)。當。當| max，它的付氏變換為它的付氏變換為Xa()。將。將xa(t)乘一取樣函乘一取樣函數數p(t) 就得到就得到xa(t)，如圖，如圖2.2所示。所示。圖圖2-2 連續信號取樣的數學模型連續信號取樣的數學模型 取取 樣樣 函函 數數 定定 義義 為為 nnTtTtcombTt p)() (1) ( 2 .1 )圖圖2-5 取樣過程的時域與頻域關系取樣過程的時域與頻域關系最后需要說明一點：上述取最后需要說明一點：上述取樣定理是理想取樣，如果取樣函樣定理

3、是理想取樣，如果取樣函數不是單位沖擊函數序列，而是數不是單位沖擊函數序列，而是窄脈沖函數序列，則如圖窄脈沖函數序列，則如圖2-6所示所示(詳細情況請參看相關資料詳細情況請參看相關資料)。圖2-6 理想取樣和非理想取樣的比較用大于奈奎斯特取樣頻率取樣用大于奈奎斯特取樣頻率取樣限帶信號限帶信號xa(t)，則被取樣信號，則被取樣信號xa(t)通過理想低通濾波器，只要其截止通過理想低通濾波器，只要其截止頻率頻率c滿足滿足maxc(smax)時，就可以恢復出原來信號，如圖時，就可以恢復出原來信號，如圖2-8所示。所示。圖圖2-8 取樣信號的恢復與理想低通濾波器的傳輸函數取樣信號的恢復與理想低通濾波器的傳

4、輸函數圖圖2-9 連續信號的內插表示連續信號的內插表示圖圖2-10 連續信號用三角形內插函數連續信號用三角形內插函數離散時間信號是在離散的時離散時間信號是在離散的時間上取值，在兩個取樣間隔內數間上取值，在兩個取樣間隔內數值為零的信號。值為零的信號。單位取樣序列的定義為單位取樣序列的定義為其圖形如圖其圖形如圖2-15所示。所示。0001)(nnn圖2-15 單位取樣序列單位階躍序列的定義為單位階躍序列的定義為其圖形如圖其圖形如圖2.16所示。所示。 0001nnnU圖圖2-16 單位階躍序列單位階躍序列矩形序列的定義為矩形序列的定義為其圖形如圖其圖形如圖2-17所示。所示。 NnnNnnRN,

5、00101圖2-17 矩形序列實指數序列的定義為實指數序列的定義為x(n)=an其中其中a為不等于零的任意實數。為不等于零的任意實數。圖圖2-18是是0a1的一個實指數的一個實指數序列的圖形。序列的圖形。圖2-18 實指數序列正弦序列的定義為正弦序列的定義為其圖形如圖其圖形如圖2-19所示。所示。圖圖2-19正弦序列正弦序列離散系統在數學上定義為將輸入序列離散系統在數學上定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列映射成輸出序列y(n)的惟一性變換或運的惟一性變換或運算。亦即將一個序列變換成另一個序列的算。亦即將一個序列變換成另一個序列的系統，記為系統，記為通常將上式表示成圖通常將上式表示成圖2-2

6、0所示的框圖。所示的框圖。圖圖2-20 離散系統的模型離散系統的模型滿足疊加原理的系統具有線性特性，滿足疊加原理的系統具有線性特性，即若對兩個激勵即若對兩個激勵x1(n)和和x2(n)有有)()()()(2121nxbTnxaTnbxnaxT系統的非移變是指系統的參數不隨時系統的非移變是指系統的參數不隨時間而變化。用數學表示為間而變化。用數學表示為Tx(nn0)=y(nn0)即不管輸入信號作用的時間先后，輸出信即不管輸入信號作用的時間先后，輸出信號響應的形狀均相同，僅是出現的時間不號響應的形狀均相同，僅是出現的時間不同，如圖同，如圖2-22 所示。所示。圖2-22 離散系統的非移變特性線性非移

7、變系統就是既滿足迭加線性非移變系統就是既滿足迭加原理又具有非移變特性的系統，將其原理又具有非移變特性的系統，將其描繪如圖描繪如圖2-24所示。所示。圖2-24 線性非移變系統模型計算線性卷積有計算線性卷積有4種方法。種方法。 利用兩個序列的解析式直接計利用兩個序列的解析式直接計算式算式(2-34)。 利用兩個序列的移位求和，即利用兩個序列的移位求和，即先把一個序列倒置。每次將它向下移先把一個序列倒置。每次將它向下移一步，求出兩序列重疊部分乘積之和。一步，求出兩序列重疊部分乘積之和。 用作圖法求。用作圖法求。 卷積的卷積的Matlab實現實現對于一個系統，當輸入序列是有界對于一個系統，當輸入序列

8、是有界時，其輸出也是有界的，則稱它是穩定時，其輸出也是有界的，則稱它是穩定系統。用數學描述則為系統。用數學描述則為如果如果x(n)對于一切對于一切n則則y(n)對于一切對于一切n因為因為其中假設其中假設x(n)M。 kkkkhMknxkhknxkhny) ()() ()( ) () (一個系統如果其輸出變化不會發生在一個系統如果其輸出變化不會發生在輸入變化之前，則稱它是因果的。這就是輸入變化之前，則稱它是因果的。這就是說對于因果系統，如果取說對于因果系統，如果取n0 ,當當n n0時，時，x1(n) = x2(n),則則n n0時，時，y1(n)=y2(n)。一個。一個線性非移變系統當線性非移

9、變系統當n0時的因果充要條件是時的因果充要條件是其單位取樣響應等于零其單位取樣響應等于零,即即h(n)=0n0這 個 充 要 條 件 可 以 從這 個 充 要 條 件 可 以 從 y （ n ） ） x(n)*h(n) 的解析式中導出。的解析式中導出。非遞歸型因果系統是輸出的現在值僅僅非遞歸型因果系統是輸出的現在值僅僅取決于輸入的現在值與輸入的過去值的系統。取決于輸入的現在值與輸入的過去值的系統。非遞歸，即輸出對輸入無反饋。因此，設在非遞歸，即輸出對輸入無反饋。因此，設在n時刻輸入時刻輸入x(n)與輸出與輸出y(n)的關系為的關系為y(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1),若系統是線

10、性非移變的，若系統是線性非移變的，y(n)可表示為可表示為 iiinxany)() ( ai為為 常常 系系 教教遞歸型因果系統輸出的現在值不僅取遞歸型因果系統輸出的現在值不僅取決于輸入的現在值與過去值，還取決于輸決于輸入的現在值與過去值，還取決于輸出的過去值。出的過去值。y(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1), +g,y(n-1),y(n+1),同理，在系統為線性、非移變、同理，在系統為線性、非移變、因果時，可推得因果時，可推得NiiMiiiny binxany10)()() ( (2 .3 3 )式式 中中 ai ，bi為為 常常 系系 數數 。對于連續信號對于連續信號xa(t

11、)與其頻譜與其頻譜Xa()之間存在著傅氏變換關系，如圖之間存在著傅氏變換關系，如圖2-28所示。前邊已經討論了連續信號所示。前邊已經討論了連續信號xa(t)的的離散化，即取樣的問題，已經知道取離散化，即取樣的問題，已經知道取樣序列的頻譜是原信號頻譜在樣序列的頻譜是原信號頻譜在軸上的軸上的周期延拓，如圖周期延拓，如圖2-28(b)所示。所示。圖圖2-28連續和離散信號的傅氏變換連續和離散信號的傅氏變換從從2.1節的討論知道，對連續信號在時節的討論知道，對連續信號在時域內進行取樣的結果，是頻域內頻譜周期域內進行取樣的結果，是頻域內頻譜周期的延拓，并且還得到了已取樣信號的延拓，并且還得到了已取樣信號

12、xa(t)在在頻域內的表示，現重寫為頻域內的表示，現重寫為naaTnXTX)2(1)(既既 然然 )(aX 是是 周周 期期 函函 數數 （ 周周 期期 為為T2） ， 就就 可可 以以將將 它它 寫寫 成成 級級 數數 形形 式式 ， 求求 ) ( txa 的的 付付 氏氏 變變 換換 可可 得得njnTananaaenTxnTtFnTxnTtntxFtxF)()()()()()( 即即 njnTaaenTxX)()( (2.42 )從從2.3節的討論得到線性非移變離散系節的討論得到線性非移變離散系統的輸入輸出關系為統的輸入輸出關系為對上式兩邊同時進行傅氏變換得對上式兩邊同時進行傅氏變換得k

13、knhkxnhnxny)()()()()()()()()( )()()(jwjwnknjkjknkjnjweHeXeknhekxeknhkxeY即即 )()()(jwjwjweHeXeY (2 .4 5 )從從 而而 有有 關關 系系 式式 )()()(jjjeXeYeH (2 .4 6 )我我 們們 稱稱H (ejw) 為為 系系 統統 的的 頻頻 率率 響響 應應 。 可可 以以 證證 明明 ，它它 是是 單單 位位 取取 樣樣 響響 應應 h (n ) 的的 傅傅 氏氏 變變 換換 ， 即即 )()(jwFeHnh 首先定義兩種序列，共軛對稱序列與首先定義兩種序列，共軛對稱序列與共軛反對

14、稱序列。共軛反對稱序列。序列的卷積特性是時域內的卷積關系序列的卷積特性是時域內的卷積關系映射到頻域內為相乘，即映射到頻域內為相乘，即 jjFeHeXnhnx序列的傅氏變換是序列的傅氏變換是的周期函數，的周期函數，周期為周期為2。)( *) ( *jwFeXnx )( *) ( *jwFeXnx )()(RejweFeXnx R e 表表 示示 實實 部部 （ X (ejw) 的的 共共 軛軛 對對 稱稱 部部 分分 ）)()( jwoFmeXnxjI I m 表表 示示 虛虛 部部 （ X (ejw) 的的 共共 軛軛 反反 對對 稱稱 部部 分分 ）)(Re) (jwFeeXnx )() (

15、jwmFoeXjInx 4 實實 序序 列列 付付 氏氏 變變 換換 的的 對對 稱稱 性性(1 ) jjeXeX*， 即即 時時 氏氏 變變 換換 是是 共共 軛軛 對對 稱稱 的的 。(2 ) )()(jejeeXReXR， 即即 實實 都都 是是 偶偶 函函 數數 。(3 ) )(jmjmeXIeXI， 即即 應應 都都 是是 奇奇 函函 數數 。(4 ) jjeXeX)(， 即即 幅幅 變變 是是 偶偶 函函 數數 。(5 ) jjeXeX argarg， 即即 怕怕 應應 是是 奇奇 函函 數數 。(6 ) )(jeeeXRnX, xe(n )是是 偶偶 序序 列列 部部 分分 。)

16、()(jmoeXjInX， xo(n )是是 奇奇 序序 列列 部部 分分 。對于一個序列對于一個序列x(n)，其，其z變換的定義為變換的定義為其中其中z為復變量，也可記作為復變量，也可記作Zx(n)=X(z)。式。式(2-49)的定義也稱為雙邊的定義也稱為雙邊z 變換；變換；相應的還有單邊相應的還有單邊z變換。變換。nnznxzX)()(對于所有的序列或所有的對于所有的序列或所有的z值，值，z變換變換并不總是收斂的。對于任意給定的序列，并不總是收斂的。對于任意給定的序列，使使z變換收斂的變換收斂的z值集合稱作收斂區域：值集合稱作收斂區域：Z：X(z)存在存在收斂區域。收斂區域。其內徑其內徑R

17、-與外徑與外徑R+分別取分別取x(n)在在n和和n-時的形狀。時的形狀。z變換收斂域的概念很重要，不同的序變換收斂域的概念很重要，不同的序列可能有相同的列可能有相同的z變換表達式，但是收斂域變換表達式，但是收斂域卻不同，所以應該特別注意，只有當卻不同，所以應該特別注意，只有當z變換變換的表達式與收斂域都相同時，才能判定兩的表達式與收斂域都相同時，才能判定兩個序列相等。個序列相等。根據以上討論，可以概括為根據以上討論，可以概括為( 1 ) 對 右 邊 序 列對 右 邊 序 列 ( n 0 存存在在)，zR-收斂，且收斂，且R-是右是右序列的極點。序列的極點。(2) 對左邊序列對左邊序列(n0存存

18、在在)，zR+收斂，且收斂，且R+是是左邊序列的極點。左邊序列的極點。(3) 若若X(z)不只一個極點，則找與不只一個極點，則找與收斂域相重的那個極點，對右邊序列，收斂域相重的那個極點，對右邊序列，最外極點之外的區域為收斂域；對左最外極點之外的區域為收斂域；對左邊序列，最內極點之內的區域為收斂邊序列，最內極點之內的區域為收斂域，如圖域，如圖2-31所示。所示。(4) 對雙邊序列，若在左邊序列的對雙邊序列，若在左邊序列的收斂域存在重疊部分，則這重疊部分收斂域存在重疊部分，則這重疊部分就是它的收斂域。若不存在重迭部分，就是它的收斂域。若不存在重迭部分，則則z變換不存在。變換不存在。描述線性非移變系

19、統的差分方程為描述線性非移變系統的差分方程為對上式方程兩邊取對上式方程兩邊取z變換為變換為MiiNjjinxbjnya00)()( NjMiiijjzXz bzYza00) () ( NjjjMiiiNjjjMiiizaz bzaz bzXzY10001) () (我我 們們 定定 義義 系系 統統 （ 傳傳 遞遞 ） 函函 數數 為為 NjjjMiiizazbzXzYzH00) () () (在在Matlab中，中，reqz函數計算幅度和相函數計算幅度和相位響應，它有如下位響應，它有如下5種調用方式。種調用方式。b和和 a分別表示分子和分母的系數向量，分別表示分子和分母的系數向量，與與 fi

20、lter(b，a，x)函數中的相同。此函數在函數中的相同。此函數在單位圓上半部上等間隔的計算單位圓上半部上等間隔的計算N點頻率響點頻率響應，返回該系統的應，返回該系統的 N點頻率矢量點頻率矢量 w和和 N點點復數頻率響應矢量復數頻率響應矢量 H。如果如果 N沒有說明，沒有說明，則缺省值為則缺省值為 512。在整個單位圓上等間隔的計算在整個單位圓上等間隔的計算N點點頻率響應。頻率響應。它返回矢量它返回矢量 w指定的那些頻率點上指定的那些頻率點上的頻率響應，通常在的頻率響應，通常在 0到到之間。之間。給定取樣頻率給定取樣頻率 Fs，單位為單位為 Hz；返回返回單位為單位為 Hz的頻率矢量的頻率矢量

21、 F。給定單位為給定單位為 Hz的取樣頻率的取樣頻率Fs，返回返回矢量矢量F指定的那些頻率點上的復數頻率響應，指定的那些頻率點上的復數頻率響應，單位也是單位也是Hz。z反變換關系式可以利用柯西積分定理反變換關系式可以利用柯西積分定理推導出來，柯西定理為推導出來，柯西定理為式中式中c是一個逆時針方向環繞原點的圍線。是一個逆時針方向環繞原點的圍線。0k 0k dzzjck01211冪級數法也就是長除法，冪級數法也就是長除法，對于給定的對于給定的z變換變換X(z)，可以，可以根據它的收斂域判定序列根據它的收斂域判定序列x(n)是右邊序列還是左邊序是右邊序列還是左邊序列，或是雙邊序列。列，或是雙邊序列

22、。當當x(z)序列為有理函數時，可將序列為有理函數時，可將x(z)寫成一個和式為寫成一個和式為因為，對于右邊序列存在如下變換關系因為，對于右邊序列存在如下變換關系iiizzzAzX)(iznizzznuz)(我們知道我們知道式中式中c是是X(z)收斂域內的積分圍線。對于收斂域內的積分圍線。對于n0時，對應右邊序列，此時極點在時，對應右邊序列，此時極點在c內，內，對對n0時，對應左邊序列。此時極點時，對應左邊序列。此時極點在在c外，根據留數定理有外，根據留數定理有cndzzzXjnx1)(21)()()()(11外極點上的留數在內極點上的留數在CzzXCzzXnxnn在在Matlab 中，函數中

23、，函數residuez 計算有理計算有理函數的留數函數的留數Rj、極點、極點pj和直接項系數和直接項系數Cj，設，設有多項式如下：有多項式如下：B(z)和和 A(z)分別是分子分母多項式，它們分別是分子分母多項式，它們按按z-1遞增順序排列。遞增順序排列。NMjjjNjjjNNMMzCzpRzazaazbzbbzAzBzX0111101101)()()(正如在式正如在式(2-56)中看到的，線性非移中看到的，線性非移變系統的系統函數變系統的系統函數H(z)是具有實系數是具有實系數z的有的有理函數。現在來討論系統函數的極點與系理函數。現在來討論系統函數的極點與系統穩定性和收斂區的關系，亦即證明系

24、統統穩定性和收斂區的關系，亦即證明系統函數的極點分布將決定系統是否穩定。函數的極點分布將決定系統是否穩定。假設有一假設有一N階因果系統，系統函階因果系統，系統函數為數為H(z)，為方便起見，設，為方便起見，設H(z)只有只有單階極點，這樣系統的單位取樣響應單階極點，這樣系統的單位取樣響應由式由式(2-67)給出給出cndzzzHjnh1)(21)( ( (2 2. . 7 78 8) )對對 于于 n n= =0 00,)(Re,)(Re)0(1zzzHspzzzHshNii對對 于于 n n 0 01111),(Re,)(Re)(niNiiNiinppzzHspzzzHsnhcndzzzHj

25、nh1)(21)( ( (2 2. .7 78 8) )對對于于n n= =0 00,)(Re,)(Re) 0(1zzzHspzzzHshNii對對于于n n0 01111),(Re,)(Re)(niNiiNiinppzzHspzzzHsnh由以上的討論清楚看到，因由以上的討論清楚看到，因果穩定系統的收斂區域包括單位圓果穩定系統的收斂區域包括單位圓以及以外的整個以及以外的整個z平面。因而，因平面。因而，因果非移變的穩定系統為果非移變的穩定系統為(1) 極點都在單位圓內；極點都在單位圓內；(2) 收斂區域為收斂區域為lz。設設X(z)與與Y(z)分別是分別是x(n)與與y(n)的的z變換，變換，

26、即即 xxRzR zXnxZ),()( yyRzR zYnyZ),()(則則)()()()(zbYzaXnbynaxZ R R _ _ | | z z | | R R+ + ( ( 2 2 . . 8 8 2 2 ) )設序列設序列x(n)的的z變換為變換為Zx(n)=X(z) Rx-|z|Rx+如果序列如果序列x(n)乘上指數序列乘上指數序列an(a可以可以是復數是復數)，則，則Zx(n) = X(z) Rx_|z|Rx+ 序列序列x(n)之之z變換的導數乘以變換的導數乘以(-z)等于等于x(n)經線性加權后的經線性加權后的z變換，即變換，即 dzzdXznnxZ) ()( R Rx x_

27、_ | |z z| | R Rx x+ + ( ( 2 2 . . 8 8 5 5 ） )()(*zXnxZ R Rx x_ _ | |z z| | R Rx x+ + （ 2 2 . . 8 8 6 6 ）如果如果n0時，時，x(n)為零，則為零，則如果如果w(n)是序列是序列x(n)和和y(n)的卷積，則的卷積，則w(n)的的z 變換是變換是x(n)和和y(n)的的z 變換的乘積，即變換的乘積，即w(n)=x(n)*y(n)則則)()0(limzXxz ) () () (zYzXzW R Ry y_ _ | |z z| | R Ry y+ + R Rx x_ _ | |z z| | R R

28、x x+ + ( ( 2 2 . . 8 8 8 8 ) )復卷積定理與序列的卷積是對偶復卷積定理與序列的卷積是對偶關系。設關系。設w(n)=x(n)y(n) 則則11)()(21)(cdvvvYvzXjzW或者或者式中式中C1是是X（z/v）與）與Y（v）兩者收斂區重）兩者收斂區重疊部分的閉合圍線；疊部分的閉合圍線；C2是是X(v)與與Y（z/v）兩）兩者收斂區重疊部分內的閉合圍線。者收斂區重疊部分內的閉合圍線。21)()(21)(cdvvvzYvXjzW設有兩個序列設有兩個序列x(n)與與y(n)，則帕斯維爾，則帕斯維爾定理為定理為cndvvvYvXjnynx1*)1() (21) () ( (2 .9 0 )式式 中中 積積 分分 圍圍 線線 C取取 在在 X (v ) 與與 )*1( *vY 兩兩者者 收收 斂斂 域域 的的 重重 迭迭 部部 分分 內內 。單邊單邊z 變換定義為變換定義為它和雙邊它和雙邊z變換的不同之處在于它只計算以變換的不同之處在于它只計算以序列序列x(n)的正向區間為系數的的正向區間為系數的 z-1冪級數，冪級數，而