1、集合（一）內容綜述：本講先介紹了以下一些重要的概念：集合、子集、兩集合相等、真子集、并集、交集、相對補集，然后介紹了著名的容斥原理，接著介紹了以下幾個定律：零律、分配律、排中律、吸收律、補交轉換律、德·摩根律。然后通過6道例題分析了一部分集合題目的解題方法與技巧，同學們應在熟悉以上定義、定理、定律的基礎上仔細分析例題材解法，爭取可以獨立解決訓練題。要點講解：§1基本理論除了課內知識外，我們補充以下知識相對補集：稱屬于A而不屬于B的全體元素，組成的集合為B對A的相對補集或差集，記作A-B。容斥原理：以表示集合A中元素的數(shù)目，我們有，其中為n個集合稱為A的階。n階集合的全部子集

2、數(shù)目為。A，B，C為三個集合，就有下面的定律。（1）分配律（2）零律（3）排中律（4）吸收律（5）補交轉換律（6）德·摩根律的相對形式例題分析：例1：對集合1，2，n及其每一個非空了集，定義一個唯一確定的“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后交替地減或加后繼的數(shù)所得的結果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。那么，對于n=7。求所有子集的“交替和”的總和。分析；n=7時，集合7，6，5，4，3，2，1的非空子集有個，雖然子集數(shù)目有限，但是逐一計算各自的“交替和”再相加，計算量仍然巨大，但是，根據(jù)“交替和”的定義，容易看到

3、集合1，2，3，4，5，6，7與1，2，3，4，5，6的“交替和”是7；可以想到把一個不含7的集和A與的“交替和”之和應為7。那么，我們也就很容易解決這個問題了。解：集合1，2，3，4，5，6，7的子集中，除去7外還有個非空子集合，把這個非空子集兩兩結組后分別計算每一組中“交替和”之和，結組原則是設這是把結合為一組，顯然，每組中，“交替和”之和應為7，共有組.所以,所有“交替和”之和應該為。說明：我們在這道題的證明過程中用了這類題目最典型的解法。就是“對應”的方法，“對應”的方法在解決相等的問題中應用得更多。例2：設A=1，2，2n.，證明：A的任意n+1階子集中，存在兩個數(shù)，一個可被另一個整

4、除。分析：對于2n個數(shù)中取n+1個數(shù)，我們應該有一個直覺就是把這2n個數(shù)分成n組，每組都必然滿足題目條件，那么由抽屜原則命題就解決了。證明：前2n個自然數(shù)中，共有n個奇數(shù)。根據(jù)自然數(shù)的一種有用的表達形式；n=(2k-1)·2(,L為非負整數(shù))考查A的下列n個子集，容易看到：考慮A中任意n+1個元素，根據(jù)抽屜原則知，至少有兩個元素是上述n個集合中同一個集合中的元素，這兩個數(shù)中，必有一個可被另一個整除。說明：把一個集合分成若干個兩兩不交的子集的并，也則分拆，這種分拆的方法在解決集合的問題時為常用方法之一。 例3：某班對數(shù)學、物理、化學三科總評成績統(tǒng)計如下：優(yōu)秀的人數(shù)：數(shù)學21個，物理19

5、個，化學20個，數(shù)學物理都優(yōu)秀9人，物理化學都優(yōu)秀7人。化學數(shù)學都優(yōu)秀8人。這個班有5人任何一科都不優(yōu)秀。那么確定這個班人數(shù)以及僅有一科優(yōu)秀的三科分別有多少個人。分析：自然地設A=數(shù)學總評優(yōu)秀的人B=物理總評優(yōu)秀的人C=化學總評優(yōu)秀的人則已知|A|=21 |B|=19 |C|=20這表明全班人數(shù)在41至48人之間。僅數(shù)學優(yōu)秀的人數(shù)是可見僅數(shù)學優(yōu)秀的人數(shù)在4至11人之間。同理僅物理優(yōu)秀的人數(shù)在3至10人之間。同理僅化學優(yōu)秀的人數(shù)在5至12人之間。解：（略）。說明：先將具體的實際生活中的問題數(shù)學化，然后根據(jù)數(shù)學理論來解決這個問題不僅是競賽中常見情況，也是在未來學習中數(shù)學真正有用的地方。例4：n元集

6、合具有多少個不同的不交子集對？分析：我們一般想法是對于一個子集，求出與它不交的子集個數(shù)，然后就可以求出總的子集對來了。解：如果子集對是有序的，即在子集對中可以區(qū)分第一個子集與第二個子集，則第一個子集若是k個元素，第二個子集就由其余n-k個元素組成，可能的情況是種，而這時第一個集合的選取的可能情況應為種，那么k從o變到n，總的情況可能就是。如果子集對是無序的，即兩個子集相同但次序不同的子集對不認為不同，則對有序子集對中有一對是由兩個空集組成，而對其它個有序對，每一對中交換兩個子集的次序，得到的是同一個無序子集對，因此有個無序子集對，其中至少有一個子集非空，于是無序子集對的總數(shù)為分析二：我們可以從

7、元素的角度來思考問題。對一個元素來說，它有三種不同的選擇，在第一個集合中，在第二個集合中，或者不在兩個集合中。解法二：在計算有序對的數(shù)目時，對每一個元素來說有三種可能：它或在第一個子集，或在第二個子集，或不在其中任意一個子集，因此不同的不交有序子集對的總數(shù)，以下同解法一。說明：本題為1973年捷克的競賽題，對題目的不同分析使我們得到了差異很大的兩個解法，解法一從題目要求想起，很容易想到，但解出最后解卻不見得那么簡單，而解法二的想法是類似于集合分析的想法，很難想到，但想出后比較容易求解，兩個解法對比一下正體現(xiàn)了數(shù)學思維的兩方面，一個是純代數(shù)想法，以計算的方法替代對題目更深層次的研究，另一個則是控

8、掘題目本身的內在關系，找出最合適的解答，我們當然推薦第二種做法。例5：1992位科學家，每人至少與1329人合作過，那么，其中一定有四位數(shù)學家兩兩合作過。分析：在與一個人A合作的人中我們找到B。再說明一定有人與A和B都合作過為C。最后再說明有人與A、B、C都合作過為D，那么A、B、C、D就是找的人了。 證明：一個人A。不妨設B與之合作。那么。即C與A和B均合作過，分別表示與A、B合作過的人的集合。同樣地，。所以存在。則A、B、C、D就是所求，證畢。說明：把一個普通的敘述性問題轉化為集合的語言描述的問題通常為解題的關鍵之處，也是同學們需加強的。例6：集合X由n個元素構成，對兩個子集，求得集合的元

9、素個數(shù)，證明：所有求得個數(shù)之和為。分析：我們先考慮一個簡單情況，n=2.這時有四個集合，記為。交集情況就是。那么對于n很大時，我們有的不只是4個集合卻可以以此形式分組。證明：因為集合X總共有個不同子集，所以不同的有序子集對共有，將所有子集對分為個4元組：其中表示子集的補集X-A。交換子集對的4元組中子集對的次序，得到的是同一個四元組，事實上，由子集對得到的4元組與由得到的完全相同，且。說明：復雜的問題先考慮簡單的特殊的情況是一種最常用的方法，從中找到共性后就很容易得到原題目有答案了。1一個集合含有10個互不相同的十進制兩位數(shù)，證明：這個集合必有兩個無公共元素的子集合，這兩個子集元素和相等。2是

10、否存在兩個以非頁整數(shù)為元素的集合A、B，使得任一個非負整數(shù)都可以被A、B之中各取一數(shù)之和唯一表出。3對每個使得在n元集合中，可以取出k個子集，其中任意兩個的交非合。4能否把分成兩個積相等的不交集合。參考答案110個元素的集合共有個非空子集，每一個這個集合的非空子集中數(shù)字之和小于， 由抽屜原則知，必有兩個子集，它們有相同的元素和，設為 滿足題目要求條件。2十進制為第1位。為第i位，考慮如下的A、B：A為奇位為o的那些非負整數(shù)組成。B為偶位為o的那些非負整數(shù)組成。不難驗證這樣的A B是符合題目要求的。3在集合中取定一個元素，并只考慮含的子集，這類子集的個數(shù)為集合的子集的個數(shù)，即為。因此。另一方面，設從集合X至少取出個子集，將集合X的所有子集分成對。每一對由一個子集與它的補集組成，由