1、8.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念8.2 一階微分方程的分離變量法一階微分方程的分離變量法8.3 一階線性微分方程一階線性微分方程8.4 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程8.5 二階常系數線性微分方程二階常系數線性微分方程8.6 差分方程的基本概念差分方程的基本概念8.7 一階常系數線性差分方程及其應用一階常系數線性差分方程及其應用第八章第八章 微分方程與差分方程簡介微分方程與差分方程簡介一、問題的提出一、問題的提出二、微分方程的基本概念二、微分方程的基本概念8 81 1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 例1 一曲

2、線通過點(1, 0)，且在該曲線上任一點M(x, y)處的切線的斜率恰好與其橫坐標相等，求這曲線的方程 解 設所求曲線的方程為yy(x)根據導數的幾何意義可知此外，未知函數yy(x)還應滿足下列條件： x1時，y0， (2)把(1)式兩端積分，得其中C是任意常數(3)一、問題的提出一、問題的提出引例：(1)yx y xdx ，即，212yxC微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 把條件“x1時，y0”代入(3)式，得得所求曲線方程：12C 21122yx微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數，叫微分方程的階微分

3、方程： 含有未知函數的導數或微分的方程，叫微分方程例如常微分方程與偏微分方程： 未知函數是一元函數的微分方程，叫常微分方程 未知函數是多元函數的微分方程，叫偏微分方程微分方程的階： x3 yx2 y4xy3x2 ， y(4) 4y10y12y5ysin 2x， y(n) 10，3階微分方程4階微分方程n階微分方程微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 給定一個微分方程，一個函數，如果這個函數及其各階導數代入微分方程后，這個微分方程成為恒等式，則稱此函數為該微分方程的解 微分方程的解： 如果微分方程的解中含有任意常數，且任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的解叫做微分方程的

4、通解微分方程的通解：微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 當自變量取某值，要求未知函數及其導數取特定的值，這樣的條件稱為初始條件 帶有初始條件的微分方程，稱為微分方程的初值問題 初始條件： 確定了通解中的任意常數以后，就得到微分方程的特解即不含任意常數的解稱為微分方程的特解特解： 微分方程的解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線積分曲線：微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 例2 驗證：函數x=C1 cos t+C2 sin t是微分方程的通解，并滿足初始條件 解 求所給函數的導數：將22dtxd及 x 的表達式代入所給方程，得(C1cos tC2s

5、in t) (C1cos tC2sin t)0這表明所給函數滿足所給方程，因此所給函數是所給方程的解22dtxd x0 001,3ttx tx t的特解dtdx C1sin t C2cos t ，22dtxd C1cos t C2sin t 微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 將條件 代入 和 得C 11C 23把C 1、C 2的值代入xC1 cos tC2 sin t中，得x cos t+3sin t 001,3ttx tx t 12cossinx tCtCt 12sincosx tCtCt 微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社一、可分離變量微分方程

6、的求解方法一、可分離變量微分方程的求解方法8. 2 8. 2 一階微分方程的分離變量法一階微分方程的分離變量法二、齊次方程二、齊次方程微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社一、可分離變量微分方程的求解方法一、可分離變量微分方程的求解方法觀察與分析： 1求微分方程y2x的通解 把方程兩邊積分，得yx2 C，這就是方程的通解一般地，方程 yf(x)的通解為 yf(x)dxC微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 2求微分方程y2xy2 的通解 因為 y 是未知的，所以積分2xy2dx 無法進行，方程兩邊直接積分不能求出通解觀察與分析：微積分簡明教程微積分簡明教程

7、復旦大學出版社復旦大學出版社y1x2C，或 y Cx 21，可以驗證函數 y Cx 21是原方程的通解 為求通解可將方程變為21ydy2xdx，兩邊積分，得dy2xdx，兩邊積分，得 2求微分方程y2xy2 的通解觀察與分析：微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社可分離變量的微分方程： 如果一個一階微分方程能寫成的形式，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程( ) ( )yf x g y 微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社可分離變量的微分方程的解法： 第一步 分離變量，將方程yf(x, y)寫成的形式；設積分后得G(y)F(x)C； 第三步 求出由方程G(

8、y)F(x)C所確定的隱函數yF(x)或xY(y) 以上G(y)F(x)C ，yF(x)或xY(y)都是方程的通解，其中 G(y)F(x)C稱為隱式（通）解 第二步 兩端積分( )( )dyf x dxg y( )( )dyf x dxg y微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 例1 求微分方程dxdy2xy 的通解 解 此方程為可分離變量方程，分離變量后得y1dy2x dx，兩邊積分得y1dy2x dx，即 ln|y|x2C 1，從而 y12Cxe21xCee因為1Ce仍是任意常數，把它記作 C，便得所給方程的通解 y 2xCe仍是任意常數，把它記作 C，便得所給方程的通

9、解微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社).0 , 0,()( 2NpkNpNkpdtdp常數的通解求邏輯斯諦方程例解解:kdtpNpdp)(kNdtdppNp)11(CkNtpNplnlnkNtCepNpRCeCeNCpkNtkNt,1微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社)(xyfdxdy 形如形如的微分方程稱為的微分方程稱為齊次方程齊次方程. .解法：解法：,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分離變量的方程可分離變量的方程二、齊次方程二、齊次方程( ,

10、)uu x C( ,)yxu x C由上式解出由上式解出，即可得到齊次方程的通解，即可得到齊次方程的通解微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社解解 原方程可寫成原兩端積分，得例例 3 3 求解微分方程求解微分方程，令令xyu ，則則udxxdudy 微分方程的解為微分方程的解為yyxy dd1yyxxyx211d =duuxxu11ln=lnuxCu1ln=lnyxxCyx微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社解 原方程可寫成原兩端積分，得例 4 求解微分方程 ，令令xyu ，則則udxxdudy 微分方程的解為(lnln )dd0 xxyyy xlndd0

11、,yyyxxxln(ln1)udxduuux lnln(ln1)lnln,uuxC (ln1).yCu變量回代得所求通解(ln1)yyCx微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社一、一階齊次線性微分方程的解法一、一階齊次線性微分方程的解法二、一階非齊次線性微分方程的解法二、一階非齊次線性微分方程的解法8 83 3 一階線性微分方程一階線性微分方程微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 xqyxpy (1) 線性線性的微分方程稱為一階線性微分方程一階線性微分方程當q(x)恒等于零時,方程(1)稱為齊次微分方程齊次微分方程；當q(x)不恒為零時，方程(1)非齊次微

12、分方程非齊次微分方程形如微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社. 0)(yxpdxdy,)(dxxpydy,)(dxxpydy,ln)(lnCdxxpy齊次方程的通解為.)(dxxpCey(使用分離變量法)一、一階齊次線性微分方程的解法一、一階齊次線性微分方程的解法微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社常數變易法把齊次方程通解中的常數變易為待定函數的方法稱常數變易法.dxxpexuy)()(,)()()()()(dxxpdxxpexpxuexuy.)(dxxpCey現在是將齊次方程的通解變易成變易成 求求 并將并將 代入線性非齊次方程代入線性非齊次方程,yy

13、y,二、一階非齊次線性微分方程的解法二、一階非齊次線性微分方程的解法微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,)()()(Cdxexqxudxxp),()()(xqexudxxp積分得積分得因此，一階線性非齊次微分方程的通解為因此，一階線性非齊次微分方程的通解為:dxxpdxxpeCdxexqy)()()(dxexqeCedxxpdxxpdxxp)()()()(對應齊次對應齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解 對于一階線性非齊次微分方程的求解，有兩種常用的方法：一種是在求出相應齊次方程解的基礎上再用參數變易法求解；另一種是直接記

14、住用參數變易法導出的計算公式，將給定的p(x),q(x)代入公式，得到微分方程的通解y(x)微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社解解 對應齊次方程為分離變量，得兩端積分，得例例 1 1 求解微分方程求解微分方程25) 1(12xxydxdy用常數變易法，令帶入方程得 解得 則原方程的通解為012yxdxdy12xdxydyCxy1ln2ln2) 1( xCy2) 1( xuy21) 1( xuCxu23) 1(32) 1(32) 1(232Cxxy微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社.1)(cos的特解滿足初始條件求方程yxyyx,1)(xxp,cos)

15、(xxxqCdxexxeydxxdxx11cosCdxexxexxlnlncosCxdxxcos1.sin1Cxx解解例例2 2( )1yC1sinyxx將初始條件代入上式，可得故所求特解為微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解. 分析：由于所給方程不是常見的已知類型的方程，即按通分析：由于所給方程不是常見的已知類型的方程，即按通常的想法常的想法將將x當作自變量，則方程為非線性方程當作自變量，則方程為非線性方程 。但若將但若將y當作因變量，即將方程改寫為當作因變量，即將方程改寫為 此時方程變為一階線性微分方程。此時方程變為一階線性微分

16、方程。3yyxy 3ddxyxyy微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社112dydyyyxey edyC yy dyC 解：因為解：因為 由公式得原方程的通解為由公式得原方程的通解為所以所以 為一階線性微分方程為一階線性微分方程31.2cyy3ddxyxyy2ddxxyyy 微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社一、一、y(n) f (x)型的微分方程型的微分方程二、二、y = f (x, y ) 型的微分方程型的微分方程三、三、y =f(y, y )型的微分方程型的微分方程8.4 8.4 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程微積分簡明教程微積分簡明教

17、程復旦大學出版社復旦大學出版社一、一、y(n) f (x)型的微分方程型的微分方程 積分n 次解法: y(n 1) f (x)dxc1， y(n2) f (x)dxc1dx c2， 例1 求微分方程 yx+1 的通解 解 對所給方程接連積分三 次，得 這就是所給方程的通解2112yxxC 32121162yxxC xC 4321231112462yxxC xC xC微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社二、二、y y = f (x, y = f (x, y ) ) 型的微分方程型的微分方程 設yp 則方程化為p f(x, p)設pf(x,p)的通解為pj(x,C1), 則解法

18、:原方程的通解為dxdyj(x,C1) yj(x,C1)dxC2 例2 求微分方程(1x2) y2xy 滿足初始條件y|x0 1, y|x 0 3 的特解 解 設yp，代入方程并分 離變量，得dxxxpdp212 兩邊積分，得ln|p|ln(1x2)C， 即 pyC1(1x2) (C 1eC)微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社二、二、y y = f (x, y = f (x, y ) ) 型的微分方程型的微分方程 例2 求微分方程(1x2) y2xy 滿足初始條件y|x0 1, y|x 0 3 的特解 解 設yp，代入方程并分 離變量，得dxxxpdp212 兩邊積分，得

19、ln|p|ln(1x2)C， 即 pyC1(1x2) (C 1eC) 由條件y|x 0 3，得C 13， 所以y3(1x2) 兩邊再積分，得 yx33xC2 又由條件y|x0 1, 得C 21， 于是所求的特解為 yx33x1 微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 三、三、y y =f(y, y=f(y, y ) )型的微分方程型的微分方程 設yp ,有解法: y dxdpdydpdxdy pdydp原方程化為 pdydpf(y,p)設方程 pdydpf(y,p)的通解為ypj(y,C1), 則原方程的通解為),(1CydyjxC2 例3 求微分yyy2 0的通解 解 設

20、yp，則 ypdydp， 代入方程，得 ypdydpp 20 在y0、p0時，約去p并分 離變量，得ydypdp微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 兩邊積分得ln|p|ln|y|C， 即 pC 1y 或 y C 1y (C 1eC) 再分離變量并兩邊積分，便得 原方程的通解為ln|y|C 1x C2，或 yxCeC12(C2Ce) 三、三、y y =f(y, y=f(y, y ) )型的微分方程型的微分方程 例3 求微分yyy2 0的通解 解 設 yp，則 ypdydp，代入方程，得 ypdydpp 20 在y0、p0時，約去p并分離變量，得ydypdp微積分簡明教程微積

21、分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社8 85 5二階常系數線性微分方程二階常系數線性微分方程一、二階常系數齊次線性微分方程一、二階常系數齊次線性微分方程二、二階常系數非齊次線性微分方程二、二階常系數非齊次線性微分方程微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 二階線性微分方程的一般形式為二階線性微分方程：若方程右端f(x)0時，方程稱為齊次的，否則稱為非齊次的即 yP(x)yQ(x)yf(x) 22dxydP(x)dxdyQ(x)yf(x)，一、二階常系數齊次線性微分方程一、二階常系數齊次線性微分方程 定理 如果如果函數y1(x)與 y2(x) 是方程yP(x)yQ(x)y0

22、的兩個不成比例的解，那么yC1 y1(x)C2y2(x) 是方程的通解，其中C1、C2是任 意常數 齊次線性方程通解的結構：微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社一、二階常系數齊次線性微分方程一、二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程： 方程ypyqy0稱為二階常系數齊次線性微分方程，其中p、q均為常數 如果y1、y2是二階常系數齊次線性微分方程的兩個不成比例解，那么yC1y1C2y2就是它的通解 將yerx代入方程ypyqy0 得(r2prq)erx 0 由此可見，只要r 滿足代數方程r2prq0， 函數yerx就是微分方程的解尋找可能的解：微積分簡明教程微積

23、分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 方程r2prq0 叫做微分方程ypyqy0 的特征方程特征方程及其根： 特征方程的兩個根r1、r2可 用公式 r1，2242qpp 求出二階常系數齊次線性微分方程： 方程ypyqy0稱為二階常系數齊次線性微分方程，其中p、q均為常數 如果y1、y2是二階常系數齊次線性微分方程的兩個不成比例解，那么yC1y1C2y2就是它的通解微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社特征方程的根與通解的關系：特征方程r2prq0的兩個根r1、r2微分方程ypyqy0的通解 兩個不相等的實根r1、r2 y C1xre1 C2xre2這是因為，函數 y1xre

24、1、y2xre2是方程的解，又xrrxrxreeeyy)(212121不是常數微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 yC1xre1 C2xxre1特征方程的根與通解的關系：特征方程r2prq0的兩個根r1、r2微分方程ypyqy0的通解 兩個不相等的實根r1、r2 y C1xre1 C2xre2 兩個相等的實根r1r2 這是因為，y1xre1是方程的解，又 y2 py2qy2(2r1x r12)xre1 p(1xr1)xre1 qxxre1xre1(2r1p)xxre1( r12pr1q)0，所以 y2xxre1也是方程的解，且也是方程的解，且xexeyyxrxr1112不

25、是常數微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 yC1xre1 C2xxre1特征方程的根與通解的關系：特征方程r2prq0的兩個根r1、r2微分方程ypyqy0的通解 兩個不相等的實根r1、r2 y C1xre1 C2xre2 兩個相等的實根r1r2 一對共軛復根r1, 2a ib，yeax (C1cos b x C2sin b x 這是因為 是方程的解，可以驗證，y1eaxcos b x、y2eaxsin b x是方程的不成比例解y eax(cos b x i sin b x微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 第一步 寫出微分方程的特征方程r 2 pr

26、 q 0 第二步 求出特征方程的兩個根r1、r2 第三步 根據特征方程的兩個根的不同情況，按照寫出微分方程的通解 yC1xre1 C2xxre1特征方程的根與通解的關系：特征方程r2prq0的兩個根r1、r2微分方程ypyqy0的通解 兩個不相等的實根r1、r2 y C1xre1 C2xre2 兩個相等的實根r1r2 一對共軛復根r1, 2a ib，求二階常數系數齊次線性微分方程的通解的步驟：yeax (C1cos b x C2sin b x微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 yC1xre1 C2xxre1特征方程的根與通解的關系：特征方程r2prq0的兩個根r1、r2微

27、分方程ypyqy0的通解 兩個不相等的實根r1、r2 y C1xre1 C2xre2 兩個相等的實根r1r2 一對共軛復根r1, 2a ib， 例1 求微分方程y5y6y0的通解 解 所給微分方程的特征方程為r25r60，其根r 12，r 23是兩個不相等 的實根，因此所求通解為yC1e 2xC2e 3xyeax (C1cos b x C2sin b x微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社.1)0()0(044的特解的通解及滿足條件求方程 yyyyy解特征方程為,0442 rr解得,221 rr故所求通解為.)(221xexCCy例例2 2xxxexyCyexCCyexCy

28、Cy22222221)-1 (, 1-1)0(,)22()1 (, 11)0(從而得由，求導得從而得由微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 解 所給方程的特征方程為r22r50，其根r1, 223i為一對共軛復根因此所求通解為ye 2x(C1cos 3xC2sin 3x) yC1xre1 C2xxre1特征方程的根與通解的關系：特征方程r2prq0的兩個根r1、r2微分方程ypyqy0的通解 兩個不相等的實根r1、r2 y C1xre1 C2xre2 兩個相等的實根r1r2 一對共軛復根r1, 2a ib， 例 3 求微分方程y4y13y 0的通解yeax (C1cos b

29、 x C2sin b x微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社二、二階常系數非齊次線性微分方程二、二階常系數非齊次線性微分方程 我們把方程yP(x)yQ(x)y0叫做與非齊次方程yP(x)yQ(x)yf(x)對應的齊次方程微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 定理 設y*(x)是二階非齊次線性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個特解，Y(x)是對應的齊次方程的通解，那么yY(x)y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解二階非齊次線性方程解的結構： 證明提示：Y(x)y*(x)P(x) Y(x)y*(x)Q(x) Y(x)y*(x) Y P(x)Y Q(

30、x)Y y* P(x)y* Q(x)y* 0 f(x) f(x)微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 定理 設y*(x)是二階非齊次線性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個特解，Y(x)是對應的齊次方程的通解，那么yY(x)y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解二階非齊次線性方程解的結構： 定理 設非齊次線性微分方 程 yP(x)yQ(x)yf(x) 的右端 f(x)是兩個函數之和 yP(x)yQ(x)yf1(x) f2(x)， 而y1*(x)與y2*(x)分別是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x) 與 yP(x)yQ(x)yf2(x) 的特解，那么y1*(x)y2

31、*(x)的是 原方程的特解 證明提示：y1* y2* P(x)y1* y2* Q(x)y1* y2* y1* P(x) y1* Q(x) y1* y2* P(x) y2* Q(x) y2* f1(x) f2(x) 微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社f(x) = Pn(x)f(x) = Pn(x)型型 下面求方程ypyqyPn(x)，的特解y* ，其中Pn(x)是n次多項式 因為一個多項式的導數仍是多項式，而且每求導一次，其次數將降低一次，所以它應該有多項式形式的特解，其特解y* 特定如下，其中Qn(x)是與Pn(x)同次數的多項式*20=( );0=x( );0=x( )

32、;nnnqyQ xyQ xqyQ x當時，當q=0,p時，當p=時，微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 解 這是二階常系數非齊次線性微分方程，且f(x)是Pn(x) 型 例4 求微分方程 的特解 把它代入所給方程，得比較兩端x同次冪的系數，得Q=10，所以應設特解為 得所給方程的一個特解為22yyyx2yAxBxC22( 4)(22)AxAB xABCx 1,40,220.AABABC由此求得 A 1 ，B4,C=6 于是求246yxx微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 二階常系數非齊次線性微分方程 ypyqy Pn(x)elx有形如y*xk Qn(

33、x)elx的特解，其中Qn(x)是與Pn(x)同次的多項式，而k 按l 不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2f(x) Pm(x)elx 型微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 解 這里f(x)是Pn(x)elx 型(其中Pn(x)x，l2) 例5 求微分方程y2y3yex 的通解 所給方程對應的齊次方程為y2y3y0，特征方程為： r2+2r 30，特征方程的根為：r11，r2-3齊次方程的通解為：YC1exC2e-3x 把它代入所給方程，比較兩端 x 同次冪的系數，得 求得所給方程的一個特解為 由于l 1 是特征方程的單 根，所以應設方

34、程的特解為y*Bxe x 從而所給方程的通解為14B 14xyxe31214xxxyC eC exe微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 f(x)elx Acos w x Bsin w x 型 我們有如下結論： 如果f(x)elx Acos w xBsin w x ，則二階常系數非齊次線性微分方程ypyqyf(x)的特解可設為y*xk el xCcos w xDsin w x，其中k 按liw (或liw)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 例6 求微分方程yysin x的通解 解 f(x)是elx Aco

35、s w xBsin w x 型的，其中l0，w1，A0，B1 與所給方程對應的齊次方程為 yy0，它的特征方程為 r210liwi 是特征方程的根，所以應設特解為把它代入所給方程，得2Dcos x2Csin xsin x比較兩端同類項的系數，得1,02CD 12*121cos20cossin ,1coscossin .2yxxyyxCxyyYxxxCx 于是求得一個特解為而對應齊次方程的通解為Y=C于是原方程的通解為Ccossinyx CxDx微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社一、差分的概念和性質一、差分的概念和性質二、差分方程的概念二、差分方程的概念8 86 6 差分方

36、程的基本概念差分方程的基本概念微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社一、差分的概念和性質一、差分的概念和性質 微分方程是自變量連續取值的問題微分方程是自變量連續取值的問題, 但在很多實際問但在很多實際問題中題中, 有些變量不是連續取值的有些變量不是連續取值的. 例如例如, 經濟變量收入、儲經濟變量收入、儲蓄等都是時間序列蓄等都是時間序列, 自變量自變量 t 取值為取值為0, 1, 2, , 數學上把這數學上把這種變量稱為種變量稱為離散型變量離散型變量. 通常用差商來描述因變量對自變通常用差商來描述因變量對自變量的變化速度量的變化速度.微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社

37、復旦大學出版社一般地，在連續變化的時間的范圍內，變量一般地，在連續變化的時間的范圍內，變量 y關于時間關于時間 t的變化率是用的變化率是用 dydt來刻畫的；來刻畫的； 對離散型的變量對離散型的變量 , y我們常用在我們常用在規定時間區間上的差商規定時間區間上的差商 yt來刻畫變量來刻畫變量 y的變化率的變化率.如果取如果取 1t ，則，則 (1)( )yy ty t 可以近似表示變量可以近似表示變量 y的變化率的變化率.由此我們給出差分的定義由此我們給出差分的定義.微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社定義定義 ( )tyy tttyy1tytytytttyyy1)() 1

38、()(tytytyty2.2)()()(1211212tttttttttttyyyyyyyyyyy設函數設函數，稱改變量，稱改變量為函數為函數的的差分差分，也稱為函數，也稱為函數的的一階差分一階差分，記為，記為，即，即 或或 一階差分的差分一階差分的差分稱為稱為二階差分二階差分，即，即類似地可定義三類似地可定義三階階差分，四階差分，等等差分，四階差分，等等.微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社ty1nntnyintniinitntntnyCyyy0111) 1(一般地，函數一般地，函數的的階差分的差分稱為階差分的差分稱為階差分，記為階差分，記為，即，即 二階及二階以上的差分

39、統稱為二階及二階以上的差分統稱為高階差分高階差分.微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社解解:(1) tttyyy10 cc tttyyy1)2(12) 1(22ttt tttyyy1)3()1(1 aaaattt結論結論（1）常量的差分為零。）常量的差分為零。 （2）冪函數的差分次冪降低一次。）冪函數的差分次冪降低一次。 （3）指數函數的差分為原指數函數的若干倍）指數函數的差分為原指數函數的若干倍例例1 求下列函數的差分求下列函數的差分ttttaytycy)3)2) 12微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社2tyttyty2ty312) 1()(222t

40、tttyt2) 12( 1) 1(2) 12()(222ttttyt022)(23ttyy例例2 設設，求求，解解 微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社)()(為常數CyCCyttttttzyzy)（ttttttzyyzzy1)（)0()1tttttttttzzzzyyzzy（差分滿足以下性質：（2）（3）（4）（1）微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社22ttyt222(2 )2(1)(2 )ttttyttt 222 (21)(1)(2 1) 22 (42)ttttttt例例3 求求解解 由差分的運算性質，有由差分的運算性質，有.的差分的差分.微積分簡

41、明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社二、差分方程的概念二、差分方程的概念ty, 0),(2 tntttyyyytF,.0),(21 nttttyyyytG定義定義 含有未知函數含有未知函數的差分的方程稱為差分方程的差分的方程稱為差分方程. 或或 差分方程中所含未知函數下標的最大差數稱為該差分方程的差分方程中所含未知函數下標的最大差數稱為該差分方程的階階差分方程的一般形式：差分方程的一般形式：微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社定義定義 滿足差分方程的函數稱為該差分方程的滿足差分方程的函數稱為該差分方程的解解.21ttyytyt222) 1(21ttyytttyt

42、2CCtyt 221ttyy例如，對于差分方程例如，對于差分方程，將，將代入方程有代入方程有 故故是該方程的解，易見對任意的常數是該方程的解，易見對任意的常數都是差分方程都是差分方程的解的解.如果差分方程的解中含有相互獨立的任意常數的個數恰好如果差分方程的解中含有相互獨立的任意常數的個數恰好等于方程的階數，則稱這個解是差分方程的等于方程的階數，則稱這個解是差分方程的通解通解.根據系統在初根據系統在初始時刻所處的狀態，對差分方程附加一定的條件，這種附加條件始時刻所處的狀態，對差分方程附加一定的條件，這種附加條件稱為稱為初始條件初始條件，滿足初始條件的解稱為，滿足初始條件的解稱為特解特解.微積分簡

43、明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社一、一階常系數線性齊次差分方程的通解一、一階常系數線性齊次差分方程的通解二、一階常系數線性非齊次差分方程的求解二、一階常系數線性非齊次差分方程的求解三、差分方程在經濟中的應用三、差分方程在經濟中的應用 8 87 7 一階常系數線性差分方程及其應用一階常系數線性差分方程及其應用微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 一、一階常系數線性齊次差分方程一、一階常系數線性齊次差分方程1( )ttyayf ta)(tf0)(tf10ttyay0)(tf一階常系數差分方程的一般方程形式為一階常系數差分方程的一般方程形式為 其中其中為非零常數，

44、為非零常數，為已知函數為已知函數.如果如果則方程變為則方程變為 稱為稱為一階常系數線性齊次差分方程一階常系數線性齊次差分方程，相應地，相應地，時方程時方程一階常系數線性非齊次差分方程一階常系數線性非齊次差分方程.微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社0y , 2 , 1 , 0t1ttyay10yay2210yaya y3320yaya y10,.tttyaya y0ttya yCttyCattyCa一階常系數線性齊次差分方程的通解：一階常系數線性齊次差分方程的通解：已知，將已知，將代入方程代入方程中，得中，得 則則為方程的解為方程的解.容易驗證，對任意常數容易驗證，對任意常

45、數都是方程的解，故方程的通解為都是方程的解，故方程的通解為 一階常系數線性齊次差分方程的通解可用一階常系數線性齊次差分方程的通解可用迭代法迭代法求得求得.設設微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社031ttyy3 .ttyC例例1 求差分方程求差分方程的通解的通解.解解 利用公式得，題設方程的通解為利用公式得，題設方程的通解為微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社tY*ty*tttyYy為齊次方程的通解，為齊次方程的通解，為非齊次方程的一個為非齊次方程的一個為非齊次方程的通解為非齊次方程的通解.定理定理 設設特解，則特解，則 該結構定理表明，若要求非齊次差分

46、方程的通解，只要該結構定理表明，若要求非齊次差分方程的通解，只要求出對應齊次差分方程的通解，再求出非齊次差分方程的一個特求出對應齊次差分方程的通解，再求出非齊次差分方程的一個特解，二者相加即可解，二者相加即可 二、一階常系數線性非齊次差分方程的求解二、一階常系數線性非齊次差分方程的求解微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社1. ( )f tk1*(),=.11(1),=kt.ttttttyayCyAAaAkkkAyaayAtA taAkAky由當a1時，設待定系數 ，代入方程得從而即當a=1時，設，代入方程得從而即k為非零常數微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學

47、出版社134ttyy *3,4,34,=22ttakyAAAAy 由于令代入方程得從而，即32.ttyC例例2 求差分方程的通解.故原方程的通解為 解微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社 型tPtfn)(.2方程變為 tPayyntt1 tPyayntt1即是它的解，代入上式得設ty tPyayntt1 .1 次多項式是次多項式，是且也應該是多項式，是多項式，因此由于nynyyxPtttn微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社(1)011AtAtAynnnnt次多項式，于是可設必為時，則當nyat*01(2)011AtAtAtynnnnt次多項式，于是必為

48、則時，有當1),(1*nytPyatnt微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社解.2321的通解求差分方程例tyytt，設0122AtAtAyt代入方程代入方程, 得得123210AAA，)32(2ttyt于是原方程通解為原方程通解為).32(22ttCytt微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社( )tf tkb, k b1bab*ttyAbk1tttAbaAbkbkAba*ttkybba（3）（為非零常數且為非零常數且）.時，設時，設為非齊次方程的特解，其中為非齊次方程的特解，其中為待定系數為待定系數.將其代入方程將其代入方程,得得解得解得，于是，所求特解為，于是，所求特解為當當微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社ab*ttyAtbkAb*1ttyktb當當時，設時，設為方程的特解，代入方程得為方程的特解，代入方程得所以，所以，方程的特解為方程的特解為 微積分簡明教程微積分簡明教程復旦大學出版社復旦大學出版社133 2tttyy 50y3,3,2akb3A 50y8A 例例4 求差分方程求差分方程在初始條件在初始