1、 大氣污染的數學模型摘要 改革開放以來國民經濟的快速發展，伴隨著的是愈演愈烈的環境污染問題，其給人民的健康與生活帶來了極大的危害。本文從城市環境污染中的一個重要方面大氣污染入手，充分考慮其產生和傳播特點，建立了大氣污染的數學模型及其拋物型線性方程的Fourier變換求解方法。因為模型為時間的函數，我們預測從現在開始，若嚴格達標排放，環境得到顯著改善所需的時間模型。從社會角度出發，比較了利用排污而后再治理與直接處理污染成本大小。最后根據建立的模型，提出解決環境問題的一些措施。 【關鍵詞 】 大氣污染；模型；Fourier變換問題的重述 隨著國民經濟的不斷發展，超標排污、環境污染的事故時有發生，給

2、人民的健康與生活帶來了極大的危害。環境保護是構建和諧社會和資源節約型社會的一個重要組成部分。例如，作為環境污染的一個重要部分大氣污染，主要由于工廠（如石灰廠、紙廠、發電廠、水泥廠等）排出的有害煙塵，以及越來越多的汽車排出的有害煙塵所造成，這些有害煙塵因大氣的擾動而擴散，隨氣流而漂移，造成大氣污染，危害環境，同時煙塵可以通過人類的直接呼吸、飲食以及皮膚接觸而影響人類的身體，對人類的這種危害可以分為急性中毒、慢性中毒以及致癌三種。另外，水污染也是環境污染的一個重要部分。試就以下兩個問題給出自己的解答：1）建立小范圍內（如金華市）環境污染過程的數學模型（關于時間的函數）。2）預測從現在開始，停止一切

3、污染源（嚴格達標排放），要多長時間金華的環境才能得 到顯著改善。3）從社會角度比較分析利用排污而后再治理的成本與直接處理污染的成本。4）根據建立的模型，提出解決環境問題的措施或策略。問題的分析 水泥廠,石灰廠、紙廠等一些工廠及越來越多的汽車排出的有害煙塵,因大氣的擾動而擴散,隨氣流而飄移,造成大氣污染,危害環境,影響人類的身體健康。根據這樣的分析，我們可以任取空間上一閉曲面S所圍區域為,C(x,y,z)為有害煙塵的濃度。(x,y,z,t)是(x,y,z)點上t時刻單位體積單位時間煙塵的排放量。利用高斯定理等數學工具，可以列出關于時間t和濃度c的偏微分方程，再通過Fourier變換求解，就可以解

4、出偏微分方程，得到我們所需的模型。因為缺乏必要的數據，我們先設環境得到顯著改善時的有害氣體濃度為A只要解出時間就可以了。通過查閱文獻資料，我們可以分析出排污而后再治理的成本與直接處理污染的成本的大小關系，而且可以猜測，其間必存在閾值。模型的假設1、任取空間上一閉曲面S所圍區域為；2、有害煙塵隨風向四周擴散；3、有害煙塵在大氣中有吸收衰減；4、(x,y,z,t)是(x,y,z)點上t時刻單位體積單位時間煙塵的排放量。符號說明1、C(x,y,z)為有害煙塵的濃度。2、D1,D2,D3分別是x,y,z軸方向上的擴散系數93、k為吸收衰減系數且大于0.4、(、)是不變的風向量5、為大氣中有害氣體的初始

5、濃度6、A為空氣質量明顯改善后煙塵的濃度模型的建立與求解問題一：由重積分的意義知道,通過S從t到t+t時間內流入的煙塵質量為 其中cos、cos、cosr是s的外法向余弦。由高斯公式得: 由于吸收衰減,在t到t+t時間內內煙塵的成少量為： 由于空氣流動,煙塵隨風從t到t+t時間內流動飄出S的質量為： 其中(、)是不變的風向量,由高斯公式得： 由S內從t到t+t時間內共排放出煙塵量為: 從另一個角度看,由于濃度的變化引起的內質量之增加量為： 由質量守恒定律得 由t,t,的任意性得大氣污染的數學模型為: （1）初始條件為： 模型的求解：Fourier變換的性質記： (2)由(2)式定義的Fouri

6、er變換有下列主要性質:(1)線性性質 (2)微分性質 （3）可逆性質 則：由Fourier求解拋物線型方程對（1）進行Fourier變換得 是以t為自變量的一階線性非齊次常微分方程的Cauchy問題,改寫成 解得：對進行反變換得到:所以我們得到了大氣污染的數學模型：問題二：設A為空氣質量明顯改善后煙塵的濃度，且設A<,設按標準排放后對環境造成的污染為B，相當于排放煙塵。解方程得：設從t1時間開始污染物限制排放，為初始濃度則濃度的表達式變為：則濃度的變化率可表示為:則由下式： 時間差可以由上式解出。所以，我們可以建立求時間差的模型。問題三：2005年月日中國環境經濟核算綠皮書正式公布。僅

7、計算項污染損失，就占到了年的；虛擬治理成本換算為環保投資大約為當年的，實際投資欠賬高達綠皮書中還涉及到另一個重要數字污染扣減指數。專家稱之為虛擬治理成本。這個和又有什么關系呢？潘岳用一個簡單的例子來做說明：“如果我們把生水燒開或用家庭凈水器過濾一下，需要為此支付電費等處理成本，可能占到我們收入的，但如果我們不進行任何處理，直接喝生水，由此生病就可能至少花費我們收入的。”從社會的角度，我們可以這么認為，先污染后治理相當于先喝生水再看病，雖然前期沒有投入，但后期的補償是巨大的，而且對身體造成了傷害。而先治理再排放相當于對水進行處理后再飲用，雖然前期有投資，但數目不大且沒有對身體造成傷害。但是就企業

8、的決策而言，是否進行環境污染治理，要考慮到排污費、污染物規模、處理成本這三者的關系。 在治理的過程中，既要購置必要的設備，又會發生相應的運行成本等，單位環境治理成本會呈現出特殊的走勢，通常情況下，開始單位環境治理成本（EC）高于單位排污費（EF）之后，隨著污染治理量的增加，單位環境治理成本會逐漸減小，并低于單位排污費。這是設備得到充分利用，固定性環境治理成本得到有效“稀釋”的結果。然而，當設備能力接近峰值甚至超負荷時，單耗和修理成本的增加單位環境治理成本上升，從而表明，企業存在著一個環境治理的可行區間（D1-D2）。在這一區間內，單位污染治理成本低于單位排污費，環境治理有“雙贏”的效果。廣東某

9、化工廠生產蔗糖，并用蔗渣造紙，在榨糖和造紙過程中每年排泄廢水80萬噸。該化工廠每年向環保局繳納64萬元排污費。下表是污水處理設備的運行成本。根據以上數據，我們可以計算廢水治理成本和排污費的平衡點： x =70.52<80所以已經具有污染治理的規模效應。這樣，每噸廢水節約300元費用又保護了環境。問題四： 大氣污染源主要有：工廠排放、 汽車尾氣、農墾燒荒、森林失火、炊煙（包括路邊燒烤、塵土（包括建筑工地。 粉塵主要來源于工業燃煤釋放的煙霧顆粒，建筑工地,裸露土面揚起的塵土，生活垃圾露天堆放。一氧化碳(CO)主要來源于汽車尾氣(主要在汽油燃燒不充分時,如停車狀態開發動機),燃煤，農墾燒荒,有

10、機物燃燒。二氧化硫 (SO2)于主要來源于燃煤，如發電廠，工廠和民用燒煤，其它工業過程如煉油等。氮氧化物 (NOx): 主要來源于汽車尾氣和燃煤發電廠。鉛粒主要來源于使用含鉛汽油的汽車尾氣。臭氧 (O3)主要來源于從汽車和工廠釋放出的氮氧化物在太陽光照射下與氧氣反應生成。碳氫化合物 主要來源于汽車尾氣(尤其在汽油燃燒不充分時，如停車狀態開發動機，油箱泄漏，汽油揮發。煤灰,煤煙和油煙主要來源于在馬路旁架煤爐子的早餐攤點, 烤肉、烤餅攤, 炒菜做飯等餐飲攤點。二惡英主要來源于焚燒垃圾，焚燒含氯塑料。 機動車污染控制，使用無鉛汽油，對煤炭行業進行“關井壓產”， 關停小火電機組、 清理整頓小水泥廠 、

11、關停小煉油廠 、對鋼鐵冶金工業結構調整。鼓勵使用小排量汽車。采用國際流行的脫硫技術，減少硫排放。做好路邊道路衛生和飲食衛生的整治工作。實現垃圾的循環利用，較少因焚燒、填埋垃圾而帶來的污染。 模型的結果分析及模型評價 我們從城市環境污染中的一個重要方面大氣污染入手，充分考慮其產生和傳播特點，建立了大氣污染的數學模型及其拋物型線性方程的Fourier變換求解方法。因為模型為時間的函數，我們預測從現在開始，若嚴格達標排放，環境得到顯著改善所需的時間。這個模型在總體上能較好的描述大氣污染的產生、擴散等過程，但由于研究對象只是環境污染中的大氣污染下的煙塵污染，研究范圍較窄。且用Fourier變換解得的方程較繁瑣，又牽涉到解復變函數，要真正得到解析解相當困難。而且所設函數的解析式應該通過大量的實驗數據獲得，且帶有一定的偶然性。從而可以猜想，雖然可以用數值模擬的方法描述，但精確度較差，難以推廣。附錄一：參