1、信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-1頁電子教案第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解 二、關(guān)于二、關(guān)于0-0-和和0+0+初始值初始值 三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 一、沖激響應(yīng)一、沖激響應(yīng) 二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)2.3 2.3 卷積積分卷積積分 一、卷積積分一、卷積積分 二、卷積的圖示二、卷積的圖示2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 一、卷積的代數(shù)運(yùn)算一、卷積的代數(shù)運(yùn)算 二、函數(shù)與沖激

2、函數(shù)的卷積二、函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積 三、卷積的微分與積分三、卷積的微分與積分點(diǎn)擊目錄點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-2頁電子教案 LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結(jié)為：連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結(jié)為：建立并求解線建立并求解線性微分方程性微分方程。 由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時間由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時間t，故，故稱為稱為時域分析法時域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。 第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.1 LTI

3、2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-3頁電子教案2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)微分方程的經(jīng)典解：微分方程的經(jīng)典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齊次解齊次解) + yp(t)(特解特解）1、齊次解、齊次解yh(

4、t)是是 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解的解yh(t)的形式的形式是是Cet ，是是齊次方程齊次方程對應(yīng)的對應(yīng)的特征方程特征方程的根的根特征方程特征方程：n+an-1n-1+a0=0 有有n個根（個根（1，2，., n)當(dāng)當(dāng)1，2，., n是不相等的實(shí)根時是不相等的實(shí)根時 nitithieCCety1)( 例：例：3重實(shí)根重實(shí)根244321 ttttheCetCteCeCty234224140)( 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-4頁電子教案2、特解、特解yp(t)形式與激勵的形式有關(guān)。形式與激勵的形式有關(guān)。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)

5、電子信息學(xué)院第2-5頁電子教案齊次解齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵與激勵f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)固有響應(yīng)或或自由響應(yīng)自由響應(yīng)；特解特解的函數(shù)形式由激勵確定，稱為的函數(shù)形式由激勵確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-6頁電子教案3 3、全解、全解y(t) niptiphtyeCtytytyi1)()()()( )(為單實(shí)根為單實(shí)根i n階微分方程需由階微分方程需由n個個初始條件初始條件：求待定系數(shù)求待定系數(shù)Ci)0(),.,0(),0( ),0()1( nyyyy

6、求求全解全解y(t)的步驟：的步驟：1）求齊次解）求齊次解)()(待定待定itihCeCtyi 2）求）求特解特解yp(t)：根據(jù)激勵的形式確定：根據(jù)激勵的形式確定yp(t)的形式，將的形式，將 yp(t)代入代入原微分方程原微分方程求待定系數(shù)求待定系數(shù)3）求系數(shù)）求系數(shù)Ci：將初始條件代入全解：將初始條件代入全解y(t)求得求得信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-7頁電子教案例例 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）當(dāng)）當(dāng)f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1時的全解；時的全

7、解； （2）當(dāng)）當(dāng)f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解。時的全解。 解解: (1) 特征方程為特征方程為 2 + 5+ 6 = 0 其特征根其特征根1= 2，2= 3 齊次解為齊次解為 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t 當(dāng)當(dāng)f(t) = 2e t時，其特解可設(shè)為時，其特解可設(shè)為 yp(t) = Pe t將其代入微分方程得將其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 P=1于是特解為于是特解為 yp(t) = e t信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-8頁電子教案2.1 LTI2.1 LTI連

8、續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)全解為：全解為：y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中其中 待定常數(shù)待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。由初始條件確定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 （2）齊次解同上。）齊次解同上。當(dāng)激勵當(dāng)激勵f(t)=e2t時，其指數(shù)與特征根之一相重時，其指數(shù)與特征根之一相重由表知：其特解為由表知：其特解為 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分

9、方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以所以 P1= 1 但但P0不能求得。不能求得。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-9頁電子教案全解為全解為 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t將初始條件代入，得將初始條件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解為最后得微分方程的全解為 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一項(xiàng)的系數(shù)上式第一項(xiàng)的

10、系數(shù)C1+P0= 2，不能區(qū)分，不能區(qū)分C1和和P0，因而，因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。 2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-10頁電子教案2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)二、關(guān)于二、關(guān)于0-和和0+初始值初始值 若輸入若輸入f(t)是在是在t=0時接入系統(tǒng)，則確定時接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)待定系數(shù)Ci時時用用t = 0+時刻的時刻的初始值（初始條件）初始值（初始條件），即即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。 而而y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于

11、描述系統(tǒng)的包含了輸入信號的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。歷史信息。 在在t=0-時，激勵尚未接入，該時刻的值時，激勵尚未接入，該時刻的值y(j)(0-)反映了反映了系系統(tǒng)的歷史情況統(tǒng)的歷史情況而與激勵無關(guān)。稱這些值為而與激勵無關(guān)。稱這些值為初始狀態(tài)初始狀態(tài)或或起起始值始值。 通常，對于具體的系統(tǒng)，通常，對于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)初始狀態(tài)一般容易求得。這一般容易求得。這樣為求解微分方程，就需要從已知的樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)初始狀態(tài)y(j)(0-)設(shè)設(shè)法求得法求得初始條件初始條件y(j)(0+)。下列舉例說明。下列舉例說明。 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-11頁電

12、子教案例例： y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解： y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t)(t)函數(shù)平衡法函數(shù)平衡法：故：故y”(t)在在t=0處應(yīng)含沖激函數(shù)，從而處應(yīng)含沖激函數(shù)，從而y(t)在在t= 0處有階躍，處有階躍，y(t)在在t=0處是連續(xù)的處是連續(xù)的采用降階法，方程兩邊求積分采用降階法，方程兩邊求積分 2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)）（ 0-0 0000000000)(6)(2)(2)(

13、3)( dttdttdttydttydtty y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2-0 0)( ty0000信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-12頁電子教案所以所以 y(0+) = y(0-)=2 ， y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =2由上可見，由上可見，當(dāng)微分方程等號右端含有沖激函數(shù)（及其當(dāng)微分方程等號右端含有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時，響應(yīng)各階導(dǎo)數(shù)）時，響應(yīng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在t=0處將發(fā)生躍變。但如果右端不含時，則不會躍變處將發(fā)生躍變。但如果右端不含時，則不會躍變。 2.1 LTI2

14、.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-13頁電子教案2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) y(t) = yx(t) + yf(t) ,也可以分別用經(jīng)典法求解。也可以分別用經(jīng)典法求解。注意注意：對：對t=0時接入激勵時接入激勵f(t)的系統(tǒng)，初始值的系統(tǒng)，初始值 yx(j)(0+), yf(j)(0+) (j = 0，1，2，n-1)的計(jì)算。的計(jì)算。 y(j)(0-)= yx(j)(0-)+ yf(j)(0-) y(j)(0+)= yx(j)(0+)+ yf(j)(0+)對于對

15、于零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)，由于激勵為零，故有，由于激勵為零，故有 yx(j)(0+)= yx(j)(0-) = y (j)(0-)對于對于零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)，在，在t=0-時刻激勵尚未接入，故應(yīng)有時刻激勵尚未接入，故應(yīng)有 yf(j)(0-)=0yf(j)(0+)的求法下面舉例說明的求法下面舉例說明。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-14頁電子教案2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)例例：描述某系統(tǒng)的微分方程為：描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)

16、。求該系統(tǒng)的零輸。求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。 解解：（：（1）零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yx(t) 激勵為激勵為0 ，故，故yx(t)滿足滿足 yx”(t) + 3yx(t) + 2yx(t) = 0 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=0該齊次方程的該齊次方程的特征根特征根為為1， 2，故，故 yx(t) = Cx1e t + Cx2e 2t 代入初始值并解得系數(shù)為代入初始值并解得系數(shù)為Cx1=4 ,Cx2= 2 ，代入得，代入得 yx(t) = 4e t 2e 2t ,t 0 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息

17、學(xué)院第2-15頁電子教案2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)（2）零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t) 滿足滿足 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yf(0-) = yf(0-) = 0由于上式等號右端含有由于上式等號右端含有(t)，故，故yf”(t)含有含有(t)，從而，從而yf(t)躍變，即躍變，即yf(0+)yf(0-)，而，而yf(t)在在t = 0連續(xù)，連續(xù)，即即yf(0+) = yf(0-) = 0，積分得，積分得 yf(0+)- yf(0-)+ 3yf(0+)- yf(0-)+20=2 00000000d)(62

18、d)(2)( 3)(ttttydttydttyfff 因此，因此，yf(0+)= 2 yf(0-)=2 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-16頁電子教案對對t0時，有時，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6不難求得其齊次解為不難求得其齊次解為Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解為常數(shù)，其特解為常數(shù)3，于是有于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3代入初始值求得代入初始值求得 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 )()()(tyeCeCtyeCtyptfitxiptiiii 自由響應(yīng)（齊）自由響應(yīng)（齊） 強(qiáng)迫（特）強(qiáng)迫

19、（特）零輸入零輸入零狀態(tài)零狀態(tài)自由響應(yīng)自由響應(yīng))0()( jy)0()( jxy)0()( jfy信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-17頁電子教案2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng)一、沖激響應(yīng) 由單位沖激函數(shù)由單位沖激函數(shù)(t)所引起的所引起的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)稱為稱為單位沖單位沖激響應(yīng)激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。h(t)=T0,(t) 求求h(t)的方法的方法0)0()0( )0( hhh由由平衡法平衡法 的的初初始始條條件件不不全全為為轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)成成0),0(),0( ),

20、0( hhh然后求然后求t0后的后的零輸入零輸入響應(yīng)響應(yīng))()()(1teCthtniii )(為單實(shí)根為單實(shí)根i 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-18頁電子教案 例例1 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應(yīng)求其沖激響應(yīng)h(t)。 解解 根據(jù)根據(jù)h(t)的定義的定義 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 因方程右端有因方程右端有(t)，故利用，故利用(t)平衡法。平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(

21、0+)h(0-)，h(t)在在t=0連續(xù)，即連續(xù)，即h(0+)=h(0-)。積分得。積分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 1 00)( dtth信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-19頁電子教案2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)考慮考慮h(0+)= h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1對對t0時，有時，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。 微分方程的特征根為微分方程的特征根為-2

22、，-3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始條件求得代入初始條件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-20頁電子教案2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 例例2 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其沖激響應(yīng)求其沖激響應(yīng)h(t)。 解解 : 令h1”(t) + 6h1(t) + 5h1(t) =f(t)則由例一知則由例一知h1(t)=(

23、 e-2t - e-3t)(t) 由由LTI的線性性質(zhì)得：的線性性質(zhì)得：h(t)=h1”(t)+2h1(t)+3h1(t) =(4e-2t -9 e-3t)(t) +(t) + (-4e-2t +6e-3t)(t) + (3e-2t -3e-3t)(t) =(t) + (3e2t 6e3t)(t)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-21頁電子教案二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)g(t)= T 0 ， (t)ttgthhtgtd)(d)(,d)()( 由于由于(t) 與與(t) 為微積分關(guān)系，故為微積分關(guān)系，故 由單位階躍函數(shù)由單位階躍函數(shù)(t)所引起的所引起的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)稱為稱為單位

24、階單位階躍響應(yīng)躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，記為，簡稱階躍響應(yīng)，記為g(t)。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-22頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分2.3 2.3 卷積積分卷積積分一、卷積積分一、卷積積分1 . .信號的時域分解信號的時域分解(1) (1) 預(yù)備知識預(yù)備知識p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)問問 f1(t) = ? p(t)直觀看出直觀看出)(A)(1tptf信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-23頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分(2) (2) 任意信號分解任意信號分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)(

25、 f“0”號脈沖高度號脈沖高度f(0) ,寬度為寬度為，用用p(t)表示為表示為：f(0) p(t)“1”號脈沖高度號脈沖高度f() ,寬度為寬度為，用，用p(t - - )表示為：表示為： f() p(t - - )“- -1”號脈沖高度號脈沖高度f(- -) 、寬度為、寬度為，用，用p(t + +)表示為表示為： f ( - - ) p(t + + ) nntpnftf)()()( d)()()()(lim0tftftf信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-24頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分2 . .任意任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)L LT TI I

26、系系統(tǒng)統(tǒng)零零狀狀態(tài)態(tài)yf(t)f (t)根據(jù)根據(jù)h(t)的定義：的定義：(t) h(t) 由時不變性：由時不變性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齊次性：由齊次性：f () h(t - -)由疊加性：由疊加性： d)()( tf d)()( thff (t)yf(t) d)()()( thftyf卷積積分卷積積分信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-25頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分3 . .卷積積分的定義卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個函數(shù)）上的兩個函數(shù)f1(t)和和f2(t)，則定義積分則定義積分 dtfftf)()()

27、(21為為f1(t)與與f2(t)的的卷積積分卷積積分，簡稱，簡稱卷積卷積；記為；記為 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：積分是在虛設(shè)的變量：積分是在虛設(shè)的變量下進(jìn)行的，下進(jìn)行的，為積分變量，為積分變量，t為參變量。結(jié)果仍為為參變量。結(jié)果仍為t 的函數(shù)。的函數(shù)。 )(*)(d)()()(thtfthftyf 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-26頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分例例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yf(t)。解解： yf(t) = f (t) * h(t) d)(1e6e)(2tt當(dāng)當(dāng)t t

28、時，時，(t -) = 0 ttttfty d)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-27頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分二、卷積的圖示二、卷積的圖示 dtfftftf)()()(*)(2121卷積過程可分解為卷積過程可分解為四步四步：（1）換元換元： t換為換為得得 f1()， f2()（2）反轉(zhuǎn)平移反轉(zhuǎn)平移：由：由f2()反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn) f2()右移右移t f2(t-)（3）乘積乘積： f1() f2(t-) （4）積分積分： 從從 到到對乘積項(xiàng)積分。對乘積項(xiàng)積分。注意：注意

29、：t為參變量。為參變量。下面舉例說明。下面舉例說明。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-28頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分例 f (t) ,h(t) 如圖所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用圖形卷積 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0時時 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 時時, f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf 1t 2時時4121d21)(1 ttyttf 3t 時時f ( t - -) h() = 0，故

30、故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函數(shù)形式復(fù)雜函數(shù)形式復(fù)雜 換元為換元為h()。 f (t)換元換元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 時時432141d21)(221 tttytf 0h( )f (t - )2013信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-29頁電子教案2.3 2.3 卷積積分卷積積分圖解法圖解法一般比較繁瑣，但一般比較繁瑣，但若只求某一時刻卷積值時若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。還是比較方便的。確定積確定積分的上下限是關(guān)鍵。分的

31、上下限是關(guān)鍵。例例：f1(t)、 f2(t)如圖所示，已知如圖所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解解： d)2()()2(12fff（1）換元）換元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）積分，得）積分，得f(2) = 0（面積為（面積為0）信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-30頁電子教案2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)2.4 2.4 卷積積分

32、的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)（或運(yùn)算規(guī)則），靈活地運(yùn)用它們能簡化卷積運(yùn)算。下（或運(yùn)算規(guī)則），靈活地運(yùn)用它們能簡化卷積運(yùn)算。下面討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。面討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。 一、卷積的代數(shù)運(yùn)算一、卷積的代數(shù)運(yùn)算滿足乘法的三律：滿足乘法的三律：交換律交換律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)2. 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)1. 3. 結(jié)合律結(jié)合律： f1(t)* f2(t)* f3(t

33、) =f1(t)* f2(t) * f3(t)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-31頁電子教案2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)二、函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積二、函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 證：證：)(d)()()(*)(tftftft f(t)*(t t0) = f(t t0)()(*)(2121tttfttttf )()(*)(2121ttttttt )()(*)(21tftftf 若若)()(*)(212211tttfttfttf 則則信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-32頁電子教案2. f(t)*(t) = f

34、(t) 證：證：)( d)()( )(*)( tftftft f(t)*(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t) tftf d)(d)()(t) *(t) = t(t)例例?)3(*)2( tt )1()1()32-()32-( tttt 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-33頁電子教案2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)三、卷積的微分與積分三、卷積的微分與積分1. nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121 證：上式證：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) *

35、 f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121 tttftftffff證：上式證：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( ) = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)南通大學(xué)電子信息學(xué)院第2-34頁電子教案2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)例例1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入