1、第七章 有限脈沖響應數字濾波器的設計IIR數字濾波器的優點： 可以利用模擬濾波器的設計結果，而模擬濾波器的設計有大量的圖表可查，方便簡單。缺點： 相位的非線性，若需要線性相位，則需要用全通網絡進行相位校正，非常復雜。 圖象處理以及數據傳輸都要求信道具有線性相位，而有限長單位沖激 響應(FIR)數字濾波器就可以做成具體嚴格線性相位，同時又可具有任意的 幅度特性。FIR數字濾波器 i.具有嚴格的線性相位，具有任意的幅度特性 ii.FIR的單位抽樣響應是有限長，因而濾波器一定是穩定的iii.FIR濾波器由于單位抽樣響應有限長，因而可用FFT來實現過濾信號， 從而大大提高運算效率。IIR濾波器設計中的

2、各種變換法對FIR濾波器設計是不適用的 IIR利用有理分式系統函數 FIR濾波器系統函數只是的多項式 因此，我們最感興趣的是具有線性相位的FIR濾波器。7.1 線性相位FIR數字濾波器的條件和特點 FIR濾波器的單位沖激響應是有限長的（），其z變換為 這是的(N-1)階多項式，在有限z平面（）有N-1個零點， 而位于平面原點z=0處，則有(N-1)階極點。一、線性相位條件 對于長度為N的，傳輸函數為 式中：為幅頻特性，不同于，為實函數，可能取負值。為相頻特性 線性相位：是指是w的線性函數，即 ，z為常數 第一類線性相位 若，z為常數，是起始相位第二類線性相位 嚴格地說，此時不具有線性相位，但以

3、上兩種情況都滿足群時延是一個常數，即 ，也稱這種情況為線性相位。 滿足第一類線性相位的條件是：是實序列且對偶對稱 即 .(1) 滿足第二類線性相位的條件是：是實序列且對奇對稱 即(2) （1）第一類線性相位條件證明 將代入得 令，則有 按照上式可以將表示為 將代入上式得： 則幅頻特性和相頻特性表示如下： 群時延，因此只要是實序列，且對偶對稱， 那么該濾波器就一定具有線性相位。 （2）第二類線性相位條件證明 令，則有 同樣可表示為 則： 因此，幅頻和相頻特性如下： 因此證明了當是實序列且關于奇對稱時，該濾波器一定 具有第二類線性相位特點。二、線性相位FIR濾波器幅頻特性的特點 的長度N取奇數還是

4、偶數，對的特性有影響，因此對于兩類 線性相位分四種情況討論： ，N為奇數或偶數 ，N為奇數或偶數1），N為奇數 幅度函數為 *對于偶對稱，有 *對偶對稱，滿足 因此，中內各項之間滿足第n項與第（）項是相等的，所以將兩兩相等項合并，例與，與等，由于N為奇數，余下中間一項（），其余各項組合后為項，則， （）可表示為： 由此看出，當偶對稱，N為奇數時，由于對于 皆為偶對稱，所以對也呈偶對稱2）偶對稱，N為偶數 與N為奇數討論相同，不同點僅由于N為偶數，沒有單獨項。 可表示為式中，圖，表由此可以看出，當為偶對稱，N為偶數時，有以下特點： 當時，故 也就是在處必然有一個零點。 由于對奇對稱，所以對呈奇對

5、稱，對 呈偶對稱 如果一個濾波器在時，不為零，則不能用這種濾波器。（高 通和帶阻不適合用這種情況） 3）奇對稱，N為奇數.(3) 由于 有 所以，也就是說中間項 是奇對稱，而也是奇對稱，即 這樣相乘的結果，式（3）中第n次與（N-1-n）項的數值相等，可將相等的項合并，合并后為項得 可表示為 式中， 由此可以看出：當為奇對稱，N為奇數，有以下特點： 由于在處都為0，因此在 處必為0，也就是在處都為0； 由于在處都呈奇對稱，故對 也呈奇對稱。4）奇對稱，N為偶數此時與第3）種情況一樣，但兩兩合并后共有項，因此有 可表示為： 式中，由此可以看出，當奇對稱，N為偶數時，有以下特點： 由于在處為0，所

6、以在 也為0，即在處為0。 由于在處呈奇對稱，在處呈偶對稱， 故在處呈奇對稱，在處呈偶對稱。 以上四鐘情況的幅度特性，需滿足的條件以及相位特性如表 所示，三、線性相位FIR濾波器零點分布特點 第一類線性相位的系統函數滿足 第二類線性相位的系統函數滿足 綜合可知線性相位系統的系統函數滿足： 和兩者只差N-1個抽樣延時的乘因子，如上式，其他 完全相同。 又因它們是有限序列（FIR）的z變換，因而都是z（或）的多項式 （1）若是的零點，即，則也一定是 的零點。 （2）由于是實數，所以零點必然是以共軛對實現的，或者是 共軛鏡像的，有以下四種情況。 零點不在實軸上，也不在單位圓上，則為 兩對共軛對 零點

7、是實數，則只有兩個零點，即 零點是純虛數且在單位圓上，則有兩個零點 零點在單位圓上且為實數，則只有一點為零點 線性相位FIR濾波器零點分布 四、線性相位FIR濾波器網絡結構 1）N為偶數，則有 令，則有 因為，式中“+”代表第一類線性相位，“-”代表 第二類線性相位。 .(4.1) 2)N為奇數，則將中間項單獨列出 .(4.2)對，共需要N個乘法器對N為偶數如式4.1，僅需要N/2個乘法器對N為奇數如式4.2，僅需要（N+1）/2個乘法器第一類線性相位網絡結構7.2 利用窗函數法設計FIR濾波器這種方法也稱傅里葉級數法 一、設計方法 一般先給理想的濾波器頻率響應，要求設計一個FIR濾波器、 頻

8、率響應來逼近。 設計是在時域內進行，完成 設計FIR濾波器，其是有限長，用有限長去逼近 最有效方法是截斷，即加窗，有： 因而窗的形狀和長度的選擇很關鍵。 設計低通濾波器的群延時為a，即 表明在通帶范圍內，的幅度均為1，相位是 (1) 是無限長，要得有限長，一種最簡單的方法是取矩形窗，即，有： .(2) 將（1）代入（2）得： 因為，滿足第一線性相位特性 下面求出的傅里葉變換，即計算FIR濾波器的頻率特性，以便能看出加窗后對頻率響應的影響。 (3) 又因： 表示成幅度函數和相位函數 其中 將與代入（3）式得 因此： 是的幅度函數，該式說明濾波器的幅度特性等于理想 低通濾波器的幅度特性與矩形窗幅度

9、特性的卷積。與卷積形成波形 分下面八種情況討論：矩形窗對理想低通幅度特性的影響 當時，等于(a)和（b）兩波形乘積，相當于 在之間的一段積分，將歸一化。 時，如圖c所示，當時，積分近似為 一半波形的積分，歸一化后為。當時，如圖（d）主瓣完全在區間之間，而 最大負瓣不在區間，因此，此時在該點有個最大的正峰。，主瓣完全移出積分區間，因此，在該點有個最大的負峰。 在理想特性不連續點附近形成過濾帶，過濾帶的寬度近似等于 主瓣寬度，即。 通帶內增加了波動，最大峰值在處。阻帶內產生余振，最大 負峰在處。通帶與阻帶中波動情況與窗函數的幅度相關。 波動愈快（N加大時），通帶、阻帶內波動愈快； 的旁瓣直接影響波

10、動的大小。增加截取長度N，則在主瓣附近的窗頻率響為 其中。可見，改變N只能改變窗譜的主瓣寬度，改變w坐標比例和 的絕對值大小，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例（當 然N太小時，會影響旁瓣的相對值） 因此，當截取長度N增加時，只會減少過渡帶寬，而不改變肩峰的相對值。 旁瓣大小直接影響波動的大小，N的改變不能改變旁瓣大小，只能改變窗函數的形狀，才能改變旁瓣大小。 二、各種窗函數 矩形窗截斷造成肩峰為8.95%，N增加，減少，故起伏振蕩變密， 最大肩峰為8.95%不變，這種現象稱為吉不斯現象（Gibbs）效應。 阻帶最小衰減為，這個衰減在工程上不夠， 從看出，只有當窗譜逼近單位沖激函數時，即絕大部分能

11、量集中在中點時，才會逼近。 因此，從以上討論可以看出，一般希望窗函數滿足兩項要求： 窗譜主瓣盡可能窄，以獲得較陡的過渡帶 盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度 往往兩者不可兼得，用增加豬瓣寬度以換取對旁瓣的抑制。 常用的窗函數有以下幾種：1.矩形窗 2.三角形（Bartlett）窗 ，“”在N>>1時成立此時主瓣寬度為。 3.漢寧（hanning）窗，又稱開余弦窗 利用傅里葉變換的調制特性，即利用 表示傅里葉變換對，再利用 考慮傅里葉變換為 則得 當N>>1時，所以窗譜的幅度函數為 漢寧窗的幅度函數由三部分組成，使能量更集中在主瓣中，如 圖所示，但代價是主瓣寬度加寬到了4.

12、哈明（Hamming）窗改進的開余弦窗 其頻域函數為 其幅度函數為： 當N>>1時，可近似表示為 這是一種改進的開余弦窗，主瓣集中了99.96%能量，第一旁瓣的峰值比主值小，但主瓣寬度與漢寧窗相同，仍為。5.布萊克曼（Blackman）窗 其頻域函數為 其幅度函數為： 表7.3 利用頻率采樣法設計FIR濾波器 1.設計原理頻率采樣法是從頻域出發，把給定的理想頻響加以等間隔采樣，然后以此作為實際FIR數字濾波器的頻率特性的抽樣值，具體設計流程有2種：（1）（2） 設待設計濾波器的傳輸函數用表示，對它在到之間等間隔采樣N點，得 方法一： 再對進行IDFT，得到 式中，作為所設計的濾波器

13、的單位取樣響應，其系統函數為 .(1) 方法二： 在第三章學過頻率域采樣定理，曾得到利用頻率域采樣值恢復原信號 的z變換公式，將插值公式重寫如下： .(2) 此式是直接利用頻率采樣值形成濾波器的系統函數，式（1），（2） 都是頻率采樣法設計濾波器，它們分別對應著不同的網絡結構。式（1）適合 FIR直接型網絡結構，式（2）適合頻率采樣結構。 下面討論兩個問題： 實現線性相位應滿足什么條件 逼近誤差問題及其改進措施2.用頻率采樣法設計線性相位濾波器的條件 FIR濾波器具有線性相位的條件是是實序列，且滿足 ，在此基礎上已推導出其傳輸函數應滿足的條件是： .(1) .(2) ,N為奇數.(3),N為偶

14、數.(4) 在之間等間隔采樣N點， ，k=0,1,N-1 將代入上述（1）（4）式得，并寫成k的函數 (5) .(6) ,N為奇數(7),N為偶數(8) 式（5），（6），（7），（8）是頻率采樣式滿足線性相位的條件。 說明N等于奇數時對N/2偶對稱，N等于偶數時，對N/2奇對稱，且。逼近誤差及改進措施（1）引起誤差原因 對理想進行N點等間隔采樣，N為有限值，而的 傅里葉變換的長度為M為無限長，無法滿足頻域采樣定理（） 的要求，因此，逼近必定存在誤差，且誤差的表現形式如下： 實際上用傾斜線取代的間斷點，形成過渡帶。 間斷點附近有振蕩，且振蕩最大；特性愈平滑，振蕩愈小。（2）增大采樣N值，可減小過渡帶帶寬（）；但無法減小間斷點 間附近的振蕩。（3）增加過渡點可減小振蕩，但副作用是過渡帶加寬。 為了減小在通帶邊緣由于抽樣點的陡然變化而引起的起伏振蕩，