1、習(xí)題四 1設(shè)隨機(jī)變量的分布律為-10120.10.20.3求，.答案：，；2.設(shè)隨機(jī)變量的分布律為-101且已知,求，.【解】因,又,由聯(lián)立解得3.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求，.【解】 故 4.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求(1)；（2）；（3）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故 5. 過(guò)單位圓上一點(diǎn)作任意弦，與直徑的夾角服從區(qū)間上的均勻分布，求弦的長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)期望.解：弦的長(zhǎng)為隨機(jī)變量，由任意的密度函數(shù)為6設(shè)服從柯西分布，其密度函數(shù)為問(wèn)是否存在？解：因?yàn)樗圆淮嬖凇?.一汽車需要通過(guò)三個(gè)設(shè)置紅綠燈路口的一段路，每個(gè)路口出現(xiàn)什么信號(hào)燈是相互獨(dú)立的，且紅綠兩種信號(hào)顯示時(shí)間相同，以表示該汽車首次遇到

2、紅燈前已經(jīng)通過(guò)路口的個(gè)數(shù)，求.答案：8設(shè)隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望與方差.解：。9.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備的壽命（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，其概率密度為為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺(tái)設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元，試求工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.【解】廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利Y只有兩個(gè)值：100元和 -200元 故 (元).10.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且求下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（1）；（2）.【解】(1) ；(2) 11.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為試確定常數(shù)，并求.【解】因故k=2.12.設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分

3、別為 求.【解】先求X與Y的均值 由X與Y的獨(dú)立性，得 13.袋中裝有12個(gè)燈泡，其中9個(gè)好燈泡，3個(gè)壞了的燈泡.電工在更換某個(gè)燈泡時(shí)，從袋中一個(gè)一個(gè)地取出（取出后不放回），設(shè)在取出好燈泡之前已取出的燈泡數(shù)為隨機(jī)變量，求和.【解】其分布律，下面求取這些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得 14.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為對(duì)獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用表示觀察值大于的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.【解】令 則.因?yàn)榧?所以,從而15.設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，對(duì)于任意，求函數(shù)的最小值，并說(shuō)明其意義.解： ，當(dāng)時(shí)，有唯一駐點(diǎn)，又，所以在時(shí)，取極

4、小值，也是最小值：這說(shuō)明隨機(jī)變量對(duì)其數(shù)學(xué)期望的偏離程度，比它對(duì)其他任意數(shù)偏離程度都小，最小值為其方差。16.設(shè)隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布，隨機(jī)變量= =試求. 【解】因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相應(yīng)為, .從而 所以17.對(duì)隨機(jī)變量和，已知，求.【解】 18.設(shè)二維隨機(jī)變量在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求及相關(guān)系數(shù).【解】如圖，SD=，故（X，Y）的概率密度為從而同理而 所以.從而 19.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為.(1) 求及；（2） 求,并問(wèn)與是否不相關(guān)？（3） 問(wèn)與是否相互獨(dú)立，為什么？ 【解】(1) (2) 所以X與|X|互不相關(guān).(3) 為判斷|X|與X的獨(dú)立性，需依定義構(gòu)造適當(dāng)事件后再作出判斷，為此，對(duì)定義域 -<x<+中的子區(qū)間（0,+）上給出任意點(diǎn)x0，則有所以故由得出X與|X|不相互獨(dú)立.20.已知隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和，且與的相關(guān)系數(shù),.（1） 求；（2） 求與的相關(guān)系數(shù),并判斷與是否相互獨(dú)立.【解】(1) 而所以 (2) 因 所以 由，得X與Z不相關(guān).又因，所以X與Z也相互獨(dú)立.21.將一枚硬幣重復(fù)擲次，以和分別表示正面向上和反面向上的次數(shù).試