1、變化率與導數【學習目標】（1）理解平均變化率的概念；（2）了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；（3）理解導數的概念，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵；（4）會求函數在某點的導數或瞬時變化率；【要點梳理】要點一、平均變化率問題1.變化率事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；2.平均變化率一般地，函數f(x)在區間上的平均變化率為：要點詮釋： 本質：如果函數的自變量的“增量”為,且,相應的函數值的“增量”為,則函數從到的平均變化率為 函數的平均變化率可正可負，平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區間上的變化趨勢.即遞增或遞減幅度的大小。對

2、于不同的實際問題，平均變化率富于不同的實際意義。如位移運動中，位移S（m）從t1秒到t2秒的平均變化率即為t1秒到t2秒這段時間的平均速度。高臺跳水運動中平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內的運動狀態，要想更精確地刻畫物體運動，就要研究某個時刻的速度即瞬時速度。3.如何求函數的平均變化率求函數的平均變化率通常用“兩步”法：作差：求出和作商：對所求得的差作商，即。要點詮釋：1. 是的一個“增量”，可用代替，同樣。2. 是一個整體符號，而不是與相乘。3. 求函數平均變化率時注意，兩者都可正、可負，但的值不能為零，的值可以為零。若函數為常函數，則=0.要點二、導數的概念定義：函數在處瞬時變化率是，

3、我們稱它為函數在處的導數,記作要點詮釋： 增量可以是正數，也可以是負，但是不可以等于0。的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數。 時，y在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數。即存在一個常數與無限接近。 導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率。如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率。要點三、求導數的方法：求導數值的一般步驟： 求函數的增量：； 求平均變化率：； 求極限，得導數：。也可稱為三步法求導數。【典型例題】類型一：求平均變化率例1 函數在區間1，1+x內的平均變化率為_。【解析】 【點評】 由于平均變化率是函數值增量與自變量增量之

4、比，所以求函數在給定區間x0，x0+x上的平均變化率問題，就是求的值。舉一反三：【變式1】求在附近的平均變化率.【答案】所以 所以在附近的平均變化率為【變式2】求在到之間的平均變化率，并求，時平均變化率的值.【答案】當變量從變到時，函數的平均變化率為當，時，平均變化率的值為：.【變式3】 已知函數f(x)=的圖象上的一點及臨近一點,則 【答案】 ，  類型二：利用定義求導數值【高清課堂：變化率與導數 383113 例1】例2 （1）求函數 在x=1處的導數.（2）求函數f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數 【解析】 (1) , ，即.所以 函數 在x=1處的導數為6 .

5、（2） 依照定義，f(x)在的平均變化率，為兩增量之比，需先求，再求：，即為f(x)=在附近的平均變化率。 再由導數定義得： 【點評】利用定義求函數的導數值，需熟練掌握求導數的步驟和方法，即三步法。舉一反三：【變式1】求函數在點處的導數.【答案】，所以 【變式2】 求函數求在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數 【答案】 ，所以 【變式3】 若，求和【答案】 因為，所以所以因為，所以實際是求函數處的導數值，0所以，即= 0類型三：實際問題中導數的應用例3. 質點M按規律s=2t2+3做直線運動(位移單位：cm，時間單位：s)，求質點M在t=2時的瞬時速度.【解析】根據平均速度的意義，運用導數

6、的知識求解。瞬時速度v=(8+2t)=8（cm/s）【點評】 t=2時的瞬時速度就是t=2附近平均速度的極限，亦即速度在t=2時導數。舉一反三：【變式1】如果一個質點從固定點A開始運動，關于時間t的位移函數是求（1）t=4時，物體的位移是s(4);（2）t=4時，物體的速度v(4);（3）t=4時，物體的加速度a(4).【答案】(1) (2) t=4時，v(4)=48 (3) t=4時 a (4) = 24【變式2】一個小球自由下落，它在下落3秒時的速度是多少？【答案】自由落體的運動公式是（其中g是重力加速度）.當 時間增量很小時，從3秒到（3）秒這段時間內，小球下落的快慢變化不大.因此，可以用這段時間內的平均速度近似地反映小球在下落3秒時的速度.從3秒到（3）秒這段時間內位移的增量：從而，.結論：越小，越接近29.4米/秒當無限趨近于0時，無限趨近于29.4米/秒.【變式3】 質點按規律s (t)=at2+1做直線運動（位移單位：m，時間單位：s）。若質點