1、適用學科高中數學適用年級高一適用區域人教版區域課時時長（分鐘）2課時知識點柱體、錐體、臺體、球體的表面積與體積公式教學目標掌握柱體、錐體、臺體、球體的表面積與體積公式會求簡單組合體的體積及表面積能夠通過三視圖求出常見幾何體的表面積與體積教學重點組合體的表面積與體積教學難點不規則幾何體的表面積與體積的求解【知識導圖】教學過程一、導入思考1正方體與長方體的展開圖如圖(1)(2)所示，則相應幾何體的表面積與其展開圖的面積有何關系？答案相等思考2棱柱、棱錐、棱臺的表面積與其展開圖的面積是否也都相等？答案是思考3圓柱OO及其側面展開圖如圖所示，則其側面積為多少？表面積為多少？答案S側2rl，S表2r(r

2、l)思考4圓錐SO及其側面展開圖如圖所示，則其側面積為多少？表面積為多少？答案底面周長是2r，利用扇形面積公式得S側×2rlrl，S表r2rlr(rl)設計意圖：通過圖形的實際操作與求解，討論出相關公式。二、知識講解考點1柱、錐、臺的側面展開圖1. 圓柱：側面展開圖是矩形，長是圓柱底面圓周長，寬是圓柱的高（母線）， S=2，S=2，其中為圓柱底面半徑，為母線長；.2. 圓錐：側面展開圖為一個扇形，半徑是圓錐的母線，弧長等于圓錐底面周長，側面展開圖扇形中心角為，S=， S=，其中為圓錐底面半徑，為母線長. （S為底面面積，h為高）3. 圓臺：側面展開圖是扇環，內弧長等于圓臺上底周長，外

3、弧長等于圓臺下底周長，側面展開圖扇環中心角為，S=，S=. （S，分別上、下底面積，h為高） （r、R分別為圓臺上底、下底半徑）考點2 柱、錐、臺的表面積與體積的計算公式柱、錐、臺的表面積與體積的計算公式的關系表面積相關公式表面積相關公式棱柱其中圓柱 （r：底面半徑，h：高）棱錐圓錐 （r：底面半徑，l：母線長）棱臺圓臺（r：下底半徑，r：上底半徑，l：母線長）體積公式體積公式棱柱圓柱棱臺棱錐圓錐圓臺考點3 球的表面積和體積公式1. 球的體積是對球體所占空間大小的度量，它是球半徑的函數，設球的半徑為，則球的體積2. 球的表面積是對球的表面大小的度量，它也是球半徑的函數，設球的半徑為，則球的表面

4、積為，它是球的大圓面積的4倍3. 用一個平面去截球，所得到的截面是一個圓三 、例題精析類型一 柱、錐、臺的側面展開圖例題1如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點P是母線BC上一點，且PC=BC一只螞蟻從A點出發沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是（）A、 B、5cm C、 D、7cm【規范解答】B【總結與反思】在做立體圖的題目時，對基本立體圖形的展開圖要有一定的了解，類似于求最短距離的題，只需將立體圖形轉化為平面圖形進行求解即可。類型二柱、錐、臺的表面積與體積的計算公式例題1已知圓臺的上下底面半徑分別是2，5，且側面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長【規范

5、解答】解析：設圓臺的母線長為，則，圓臺的上底面面積為，圓臺的上底面面積為，所以圓臺的底面面積為.又圓臺的側面積，于是，即為所求.【總結與反思】清晰準確的記憶立體圖形表面積公式和體積公式是解題的關鍵。 類型三球的表面積和體積公式例題1正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，如果，則球的表面積是 A. B. C. D. 【規范解答】D正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，PO與平面ABCD垂直，是棱錐的高，PO=R，所以，解得R=2，則球的表面積是，選D.【總結與反思】清晰準確的記憶立體圖形表面積公式和體積公式是解題的關鍵。例題2一個長方體的相交于一個頂點的三個面的面

6、積分別是2，3，6，則長方體的體積是 .【規范解答】6解析：長方體的長寬高分別為，求出的值，再求體積.設長方體的長寬高分別為，則，三式相乘得.所以，長方體的體積為6【總結與反思】明確共頂點的三個面的面積是怎么回事是解題關鍵。四 、課堂運用基礎1圓柱的軸截面是正方形，且軸截面面積是S，則它的側面積是()A.BSC2SD4S2如圖，已知ABCDA1B1C1D1為正方體，則正四面體DA1BC1的表面積與正方體的表面積之比是()A.B.C.D.3已知一個銅質的五棱柱的底面積為16cm2，高為4cm，現將它熔化后鑄成一個正方體的銅塊(不計損耗)，那么鑄成的銅塊的棱長是()A2cmB3cmC4cmD8cm

7、4.已知高為3的棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1ABC的體積為()A.B.C.D.1圓柱的軸截面是正方形，且軸截面面積是S，則它的側面積是()A.BSC2SD4S答案B解析圓柱的軸截面是正方形，且軸截面面積是S，圓柱的母線長為，底面圓的直徑為，圓柱的側面積S××S.故選B.2如圖，已知ABCDA1B1C1D1為正方體，則正四面體DA1BC1的表面積與正方體的表面積之比是()A.B.C.D.答案B解析設正方體的棱長為1，則正方體的表面積為6，正四面體DA1BC1的棱長為，表面積為4××sin60°×

8、2，正四面體DA1BC1的表面積與正方體的表面積之比是，故選B.3已知一個銅質的五棱柱的底面積為16cm2，高為4cm，現將它熔化后鑄成一個正方體的銅塊(不計損耗)，那么鑄成的銅塊的棱長是()A2cmB3cmC4cmD8cm答案C解析銅質的五棱柱的底面積為16cm2，高為4cm，銅質的五棱柱的體積V16×464(cm3)，設熔化后鑄成一個正方體的銅塊的棱長為acm，則a364，解得a4cm，故選C.4.已知高為3的棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1ABC的體積為()A.B.C.D.答案D鞏固解析VSh××3.1圓臺的上、下底面半

9、徑和高的比為144，母線長為10，則圓臺的側面積為()A100B81C169D142表面積為3的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為_3將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則這個球的表面積為()A2B4C8D164如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為_1圓臺的上、下底面半徑和高的比為144，母線長為10，則圓臺的側面積為()A100B81C169D14答案A解析圓臺的上、下底面半徑和高的比為144，母線長為10，設圓臺上底面的半徑為r，則下底面半徑和高分別為4r和4r，由100(4r)2(4rr)2，得r2，故

10、圓臺的側面積等于(r4r)×l(28)×10100，故選A.2表面積為3的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為_答案2解析設圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，則l2r23，l2r，r1，即圓錐的底面直徑為2.3將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則這個球的表面積為()A2B4C8D16答案B解析體積最大的球是其內切球，即球的半徑為1，所以表面積為S4×124.4如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為_答案312解析設球的半徑為R，則V柱R2·2R2R3，V錐R2·

11、2RR3，V球R3，故V柱V錐V球2R3R3R3312.拔高1直角三角形的兩條直角邊長分別為15和20，以它的斜邊為軸旋轉生成的旋轉體，求旋轉體的表面積2某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_3如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為_4如圖所示是某幾何體的三視圖，它的正視圖和側視圖均為矩形，俯視圖為正三角形(長度單位：cm)(1)該幾何體是什么圖形？(2)畫出該幾何體的直觀圖(坐標軸如圖所示)，并求它的表面積.(只需作出圖形，不要求寫作法)1直角三角形的兩條直角邊長分別為15和20，以它的斜邊為軸旋轉生成的旋轉體，求旋轉體的表面

12、積解設此直角三角形為ABC，AC20，BC15，ACBC，則AB25.過C作COAB于點O，直角三角形繞AB所在直線旋轉生成的旋轉體，它的上部是圓錐(1)，它的下部是圓錐(2)，兩圓錐底面圓相同，其半徑是OC，且OC12，圓錐(1)的側面積S1×12×20240，圓錐(2)的側面積S2×12×15180.旋轉體的表面積應為兩個圓錐側面積之和，即SS1S2420.2某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_答案3解析由三視圖可知，該幾何體是一個半徑為1的半球，其表面積為半個球面面積與截面面積的和，即×43.3如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位

13、置打一個直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為_答案966解析由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積，再加上一個圓柱的側面積，同時減去兩個圓的面積，即S6×424×22×12966.4如圖所示是某幾何體的三視圖，它的正視圖和側視圖均為矩形，俯視圖為正三角形(長度單位：cm)(1)該幾何體是什么圖形？(2)畫出該幾何體的直觀圖(坐標軸如圖所示)，并求它的表面積.(只需作出圖形，不要求寫作法)解(1)由三視圖可知該幾何體是三棱柱(2)直觀圖如圖所示因為該幾何體的底面是邊長為4cm的等邊三角形，高為2cm，所以它

14、的表面積S三棱柱2S底S側2××423×4×2(248)(cm2)五 、課堂小結1.表面積相關公式表面積相關公式棱柱其中圓柱 （r：底面半徑，h：高）棱錐圓錐 （r：底面半徑，l：母線長）棱臺圓臺（r：下底半徑，r：上底半徑，l：母線長）體積公式體積公式棱柱圓柱棱臺棱錐圓錐圓臺2.球的表面積和體積公式六 、課后作業基礎1如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為()AB2C3D42一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側面積是32，則母線長為()A2B2C4D83正四棱臺的兩底邊長分別為1cm,2cm，高是1cm，它的側面積為()A6c

15、m2B.cm2C.cm2D3cm24某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形，則該幾何體的表面積為()A80B2488C2440D1185如果軸截面為正方形的圓柱的側面積是4，那么圓柱的體積等于()AB2C4D86如圖，在正方體中，四棱錐SABCD的體積占正方體體積的()A.B.C.D不確定7如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.12B.18C942D36188如圖，ABCABC是體積為1的棱柱，則四棱錐CAABB的體積是()A.B.C.D.1如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為()AB

16、2C3D4答案C解析設圓錐的母線長為l，則l2，圓錐的表面積為S×1×(12)3.2一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側面積是32，則母線長為()A2B2C4D8答案C解析圓臺的軸截面如圖所示，由題意知，l(rR)，S圓臺側(rR)·l·2l·l32，l4.3正四棱臺的兩底邊長分別為1cm,2cm，高是1cm，它的側面積為()A6cm2B.cm2C.cm2D3cm2答案D解析四棱臺的兩底邊長分別為1cm,2cm，高是1cm，上底邊到上底中心的距離是cm，下底邊到下底中心的距離是1cm，那么梯形的高，就是斜高為(cm)，一個梯形的面積

17、就是(12)×(cm2)，棱臺的側面積S3(cm2)故選D.4某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形，則該幾何體的表面積為()A80B2488C2440D118答案B解析根據題意，可得該幾何體是底面是邊長分別為6和8的矩形且側棱長均相等的四棱錐，高為SO4，如圖所示，因此，等腰三角形SAB的高SE5，等腰三角形SCB的高SF4，SSABSSCD×AB×SE20，SSCBSSAD×CB×SF12，矩形ABCD的面積為6×848，該幾何體的表面積為S表SSA

18、BSSCDSSCBSSADSABCD2×202×12482488.故選B.5如果軸截面為正方形的圓柱的側面積是4，那么圓柱的體積等于()AB2C4D8答案B解析設圓柱母線長為l，底面半徑為r，由題意得解得V圓柱r2l2.6如圖，在正方體中，四棱錐SABCD的體積占正方體體積的()A.B.C.D不確定答案B解析由于四棱錐SABCD的高與正方體的棱長相等，底面是正方形，根據柱體和錐體的體積公式，得四棱錐SABCD的體積占正方體體積的，故選B.7如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.12B.18C942D3618答案B解析由三視圖可知該幾何體是一個長方體和球構成的組合

19、體，其體積V()33×3×218.8如圖，ABCABC是體積為1的棱柱，則四棱錐CAABB的體積是()A.B.C.D.答案C解析VCABCVABCABC，VCAABB1.鞏固1一個直角三角形的直角邊分別為3與4，以其直角邊為旋轉軸，旋轉而成的圓錐的側面積為()A15B20C12D15或202一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A372B360C292D2803如圖是一個幾何體的三視圖，若該幾何體的表面積為9，則該幾何體的正視圖中實數a的值為()A1B2C3D44一平面截一球得到直徑為6cm的圓面，球心到這個圓面的距離是4cm，則該球的體積是()A.cm3B.

20、cm3C.cm3D.cm35一個正四棱柱的各個頂點都在一個半徑為2cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為2cm，那么該棱柱的表面積為()A(24) cm2B(48) cm2C(816) cm2D(1632) cm26.如圖，在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.B.C.D21一個直角三角形的直角邊分別為3與4，以其直角邊為旋轉軸，旋轉而成的圓錐的側面積為()A15B20C12D15或20答案D解析以直角三角形的直角邊為旋轉軸，旋轉而成的圓錐，有以下兩種情況：根據圓錐的側面積計算公式S側面積r

21、15;l母線長以直角邊3為旋轉軸時，旋轉而成的圓錐的側面積S4×520；以直角邊4為旋轉軸時，旋轉而成的圓錐的側面積S3×515.故選D.2一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A372B360C292D280答案B解析由三視圖可知該幾何體是由下面一個長方體，上面一個長方體組合而成的幾何體下面長方體的表面積為8×10×22×8×210×2×2232，上面長方體的表面積為8×6×22×8×22×6×2152，又長方體表面積重疊一部分，幾何體的表面積為2321522×6×2360.3如圖是一個幾何體的三視圖，若該幾何體的表面積為9，則該幾何體的正視圖中實數a的值為()A1B2C3D4答案C解析設幾何體是一個圓柱上面疊加一個圓錐，其表面積為S2×1×a×1××122a39，a3.4一平面截一球得到直徑為6cm的圓面，球心到這個圓面的距離是4cm，則該球的體積是()A.cm3B.cm3C.cm