1、初中數(shù)學(xué)九大幾何模型【條件】: OABF口0【結(jié)論】：OAC24一、手拉手模型一旋轉(zhuǎn)型舍等(1)等邊三角形OD(2)等腰直角BE且/ COD = AOB / AEBh AOB圖2DEAAEDD勻為等邊三角形;C【結(jié)論】：OAC2BDA條件:以O(shè)ABfaC1 OC中為等月(3)頂角相等的意等腰三角形【條件】： OABF口AOCD1 %等腰曾【結(jié)論】：A OAC2AOBD三角咤2OEW / AEDABAB【條件】：CD/ZAB, /AOB=90將4OC噴轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：右圖中4 OCaOABOA6AOBD延長AC交BD于點E,必有/ BECy BOA吧=OD = OB =tan/OCD B

2、DLAQ AC OC OA連接 AD BQ 必有 AD 2 + BC 2 = AB 2 + CD2 ;三、模型三、對角互補(bǔ)模型(1)全等型-90【條件】：/ AOBM DCE=90 ;O評分/ AOB*【結(jié)論】：CD=CEOD+OE戶OCS證明提示:,DE二 SAGCDA M作垂直，如圖2,證明 CD陣ACEN9過點C作CF，OC如圖3,證明4OD雀C+ S .SZOEN E圖2當(dāng)/DCE勺一邊交AO的延長線于D時(如圖4):B【結(jié)論】： CD=CE OD+OE=OO SADce -SaocdSaoce二蟲 oc24證明提示：可參考“全等型-90 ”證法一;如右下圖：在OB上取一點F,使OF=

3、OC證明OC兩等邊三角形。(3)全等型-任意角a【條件】：/ AOB=2 , ZDCE=180-2i; dCD=CE【結(jié)論】：。評分/ AOBOD+OE=2OCCosa ;C. C2 2 2 _ _ DCE=Saocd + Saoce = OCsin a cos a當(dāng)/DCE勺一邊交AO的延長線于D時(如右下圖)：原結(jié)論變成：；可參考上述第種方法進(jìn)行證明。請思考初始條件的變化對模型的影A響C對角互彳中初始條件：四力形對快補(bǔ),b注意兩點:四點共圓有直角三角形斜邊中線;初始條件“角平分線”與“兩邊相等”注意O評分/ AOB寸,/ CDEN CEDW COA= COE何引導(dǎo)?四、模型四：角含半角模型

4、90(1)角含半角模型90 -1【條件】：正方形ABCD/ EAF=45 ;【結(jié)論】：EF=DF+BE4CEF的周長為正方形ABC凋長的一半;也可以這樣：【條件】：正方形 ABCDEF=DF+BE【結(jié)論】：/ EAF=45 ;(2)角含半角模型90 -2【條件】：正方形ABCD/ EAF=45 ;【結(jié)論】：EF=DF-BE(3)角含半角模型90 -3【條件】：RtAAB(C/ DAE=45 ;【結(jié)論】：bd2+ce2=de2 (如圖1)若/DA嗾轉(zhuǎn)至ABC外部時，結(jié)論BD2 +CE2 =DE2仍然成立(如圖A2)0BDAE件】:/正萬(4)角含半角模【結(jié)論】： AHa等腰直角三角證明：連接AC

5、 (方法不唯一)BA、A形;ED ACD BFCB / DACE EAF=45 ,/DAHM CAE 又/ACBh ADB=45 ;.DAHh ACAfEDA = ACAH AE.AH曰AAD(C.AH曰等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型A【條件】：矩形ABCDBD=BED(1)倍長中線類模型-1CEHDF=EF【結(jié)論】：AF CF模型提取：有平行線 AD/BE;平行線間線段有中點 DF=EF可以構(gòu)造“ 8”字全等 ADmAHEF(2)倍長中線類模型-2【條件】：平行四邊形 ABCDBC=2ABAM=DMCE!AB;【結(jié)論】：/ EMD=3MEA輔助線：有平行AB/ CD有中點AM=D觸長E

6、M構(gòu)造4AM9ADMF連接CM勾造等腰 EMC等月MCF (通過構(gòu)造8字全等線段數(shù)量及位置關(guān)系，1* t角的大小轉(zhuǎn)化)模型六：相似三角M0旋轉(zhuǎn)模型AAM(1)相似三角形(等腰直角)360%旋轉(zhuǎn)模型一倍長中線法 c【條件】：ADE ABC勻為等腰直角三角形；EF=CF【結(jié)論】：DF=BFDFL BF輔助線：延長DF到點G,使FG=DF連接CG BGC等腰直角三角形;突破點： AB*ACBG難點：證明/ BAOM BCG(2)相似三角形(等腰直角)D:ADE ABC勻為等膜直角三輔助線:構(gòu)造等腰直角 AEG 輔助線思路：將DF與BF轉(zhuǎn)A: DF=BF DF，BFCEBD證明48口6為CG60旋轉(zhuǎn)臂

7、型BECBq h(3)任意相似直角三角形360旋轉(zhuǎn)模型一補(bǔ)全法【條件】：A OA中DC / OABM ODC=90 ; BE=CE【結(jié)論】：AE=DE/ AED=2 ABO輔助線：延長BA至U G,使AG=AB延長CDSU點H使DH=CD補(bǔ)全HD360 ADC / OABM ODCOAEDODOGB OCH勾造旋轉(zhuǎn)模型。轉(zhuǎn)化 AE與DE到CG BK 難點出轉(zhuǎn)化/cE【結(jié)論】：AE=DEC AED=2 ABO輔助線：延長DE至M,使ME=DE將結(jié)論的兩個條件轉(zhuǎn)化為證明 AMD “ABO此為難點,夾角相等，此處難點蒞證明/ ABM= AOD搟程摸型D模型七:,DBlPBAI將AAMSABC1續(xù)轉(zhuǎn)化

8、為證明 ABMTAAOD俾用兩邊成比例且(1)最短路程太路程問前B總結(jié)：右四圖為常見的軸E寸稱特點：動點在直線上；起點，終點固定最后都轉(zhuǎn)化到：“兩點之間，線段最短：解族;PA+PB(2)最短路程模型二(點到直線類1)【條件】：O評分/ AOBM為OB上一定點；P為OC一動點；Q為OB上一動點;【問題】：求MP+PQJ小時，P、Q的位置?輔助線：將作Q關(guān)于OC寸稱點Q,車化PQOA貝U MP+PQ=MPPQMH陞線段最短）（3）最短路程模型二（點到直線類2)=PQ過點M作AMKH.pQ【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n)【問題】： 一 .n為何值時, PB+TPA取小?求解方法:

9、x軸上取C(2,0),使sin ZOAC= ;過B作BM AQ交y軸于點E,即為所求；tan / EBO=tanZ OAC1 ,2(4)最短路程模型三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）即 E (0, 1)J【條件】：線段OA=4 OB=2O【問題】:B繞點O在平面內(nèi)p360【結(jié)論】：AB的最大值，最小值分別為多少？以點O為圓心，O熱半存件圓，如圖xOBJ將問A 、轉(zhuǎn); P DE ,癬專化C x“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之曲陽嚏。OI最大值位置最大值：OA+O B最小值：OA-OB【條件】：線段OA=4 OB=2以點O為圓心，OB OS半徑作圓;點P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點;【結(jié)論】：若PA的最

10、大值為10,則OC=6若PA的最小值為1,則OC=3B、P若PA的最小值為2,則PC的取值范圍是0PC2_I_!【條件】：RtAOBC /OBC=30 ;OC=2OA=1點P為BC上動點（可與端點重合）；OBC點。旋轉(zhuǎn)【結(jié)論】：PA最大值為OA+OB=+2J3; PA的最小值為1-OB =OA = .T -12如下圖，圓的最小半徑為 O到BC垂線段長模型八：二倍角模型C/【條件】：在4人8叫2/ C;: 輔助線：以BC的變直后線否貓吸作上貝U BA=AA =CA （注意這個結(jié)論）此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作A字型8字型A字型AA、BA、CA、結(jié)論：AB=AE=DE （注意對應(yīng)邊要對應(yīng)）（2）相似三角形模型-斜交型【條件】：如右圖，/ AEDWACB=90 ;【結(jié)論】：AEX AB=A AD【條件】：如右圖，/ ACEWABC【結(jié)論】：AC2=AEE AB第四個圖還存在射影定理：AEX EC=BCK AC BC2=BEE BA; CE2=AE BE(3)相似三角形模型-一線三等角型e【條件】：(1)圖：/ ABCy ACE= CDE=90 ;/圖：/ ABCW ACE= CDE=6 0;IB氣 D D(3)圖：/ ABCW ACE