1、實用標準文案全等的相關模型總結一、角平分線模型應用1.角平分性質模型：輔助線：過點G作GEL射線AC(1).例題應用:如圖1,在AABC中，/C=900，AD平分/CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么點D到直線AB的距離是 cm.如圖2,已知，21=/2, /3=/4.求證：AP平分/BAC.圖1圖22 (提示：作 DEAB交AB于點E):/1=/2 ，PM =PN 丁/3=/4 /, PN =PQ - PM =PQ, PA平分/BAC.模型鞏固:練習一：如圖3,在四邊形ABCLfr, BC>AB AD=CD BD平分/BAC .精彩文檔.求證：/A+/C=180*練習二：已知如圖4

2、,四邊形ABCDK/B+/D =1800,BC =CD.求證：AC平分/BAD.練習三：如圖5, RtAABC中，/ACB = 90°, CD_LAB,垂足為D, AF平分/ CAB,交CD于點E交CB于點F.求證：CE=CF.(2)將圖5中的 ADE沿AB向右平移到 MD E的位置，使點E落在BC邊上，其他條件不變，如圖6所示，是猜想：BE于CF又怎樣的數量關系？請證明你的結論圖6練習四：如圖 7, /A=90 : AD / BC , P是AB的中點，PD平分/ ADC求證：CP平分/ DCB練習五：如圖8, AB>AC /A的平分線與 BC的垂直平 分別為E, F.求證：B

3、E=CF練習六：如圖9所示，在 ABC中，BC邊的垂直平分線DEI AB 于 E,并且 AB>AC 求證：BE- AC=AE練習七： 如圖10, D E、F分別是 ABC的三邊上的點， 求證：AD平分/ BAG2.角平分線+垂線，等腰三角形比呈現A1圖7 分線相交于 D,自D作DE! AB, DF± AC,垂足AD圖8DF交ABAC的外角平分線 AD于點D, F為垂足，B BC點9CE=BF且4 DCE的面積與 DBF的面積相等，A二二 BDC輔助線：延長 ED交射線OBT F輔助線：過點E作EF/射線OB(1) .例題應用： .如圖1所示，在 ABC中，/ ABC=3Z C,

4、 AD是/ BAC的平分線，BEX AD于F。，、1-求證：BE =-(AC - AB)2證明：延長BE交AC于點F。 .已知：如圖2,在MBC中，/BAC的角平分線AD交BC于D,且AB =AD,1.作CM _L AD交AD的延長線于 M.求證：AM =一(AB+AC)2圖2分析：此題很多同學可能想到延長線段CM但很快發現與要證明的結論毫無關系。而此題突破口就在于AB=AD由此我們可以猜想過 C點作平行線來構造等腰三角形 .證明：過點 C作CE/ AB交AM的延長線于點 E.例題變形：如圖，21=/2, B為AC的中點，CM _LFB于M,AN _LFB于N.求證：EF =2BM；1FB (

5、FM FN).2A.模型鞏固:練習一、 如圖3, A AB佻等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于點D, CE垂直于BD交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE練習一變形：如圖4,在 OD阱，/D=900，EC是/DCO的角平分線，且OE 1 CE過點e作EF _LOC交OC于點F.猜想：線段EF與OD之間的關系，并證明圖4練習二、如圖 5,已知 ABC中，CE平分/ ACB且A已CE / AEDb / CA打180度，求證：DE BC練習三、如圖 6, AD1 DC BC± DC E是DC上一點，AE平分/ DAB BE平分/ ABC 求證：點 E是DC

6、中點。練習四、如圖7(a), BD、CE分別是*ABC的外角平分線，過點 A作AD,BD、1 ,”DE = (AB BC AC)AE _LCE,垂足分別是 D、E,連接DE.求證:DE / BC,2圖 7 (c)D、如圖 7(b), bd、CE勵是ABCMWmMtBU、如圖7(c), BD為4ABe的頌也線CE為AABC制仰陽線其他條件不變.則在圖7 (b)、圖6 (c)兩種情況下，DE與BC還平行嗎？它與 ABC三邊又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜測，并證明你的結論.(提示：利用三角形中位線的知識證明線平行)練習五、如圖8,在直角三角形 ABC中，NC=90*, NA的平分線交 BC于D .

7、自C作CG _L AB交AD 于E ,交AB于G 自D作DF _LAB于F ,求證：CF _L DE 圖8練習六、如圖9所示，在 MBC中，AC >AB, M為BC的中點，AD是NBAC的平分線，若CF _L AD且交AD的延長線于F ,4-1求證 MF ="AC - AB ).練習六變形一：如圖 10所示,點，求證DE IIAB且圖9AD是 MBC中NBAC的外角平分線， 。口，八口于口，E是BC的中1DE =(AB +AC).2練習六變形二：如圖11所示,AB +AC =2AM .在 AABC 中，AD 平分/BAC, AD=AB, CM_L AD于M ,求證DM圖11練習

8、七、如圖12,在AABC中，/B=2/C , NBAC的平分線 AD交BC與D .則有AB+BD = AC .那 么如圖 13,已知在 AABC 中，4BC=3/C, /1 =/2, BE_LAE.求證：ACAB=2BE.圖13練習八、在 4ABC中，AB=3AC, /BAC的平分線交 BC于D ,過B作BE _L AD , E為垂足，求證: AD=DE .練習九、 AD是 MBC的角平分線，BE _L AD交AD的延長線于E ,求證：AF=FB.EF II AC 交 AB 于 F .3.角分線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形的輔助線都是在射線OA上取點B,使OB=OA從而使&OAC

9、AOBC.(1) .例題應用：、在 ABC中，/ BAC=60 , / C=4(J , AP平分/ BAC交 BC于 P, BCff 分/ ABC交 AC 于 Q 求證：AB+BP=BQ+AQB 口C思路分析：1)題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2)解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+A皈勢較為復雜，我們可以通過轉化的 思想把左式和右式分別轉化為幾條相等線段的和即可得證。可過O作BC的平行線。得4AD堂4AQO得到OD=OQAD=AQ只要再證出BD=O僦可以了。解答過程：圖證明：如圖（1），過O作OD/ BC交AB于D, ./ADO=ABC=180 60°

10、; 40° =80° , 又. / AQO= C+/ QBC=80 , ./ADO=AQO又. / DAO=QAO OA=AO . .AD堂 AAQOOD=O QAD=AQ又 ; OD/ BP, ./ PBO= DOB 又./ PBO=DBO ./ DBO= DOB .BD=O D又. / BPAWC+/PAC=70 , / BOP= OBA+ BAO=70 , ./BOP= BPO .BP=OBAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解題后的思考：(1)本題也可以在AB上截取AD=AQ連OD構造全等三角形，即“截長法”(2)本題利用“平行法”的解法也較多

11、，舉例如下：如圖(2),過O作OD/ BC交AC于D,則AADOiABOA而得以解決。圖(2)如圖 ，過。作DE*BC交AB于D,交AC于E,OJiJAADO£SAAQO, AB。色AEO從而得以解決,B pC圖(3)如圖，過P作PD#BQ交AB的延長線于D,則AAPD經APC從而 得以解決.如圖(5),過P作PD/ BQ交AC于D,則4AB國/XADPA而得以解決。小結：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構造全等三角形 而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現線段的轉移的，體會構造的全等三角形在轉 移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，

12、實質都是對 三角形作了一個以中點為旋轉中心的旋轉變換構造了全等三角形。A的任意一點，試比較、如圖所示，在 MBC中，AD是/BAC的外角平分線，P是AD上異于點 PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由.【解析】PB +PC >AB +AC ,理由如下.如圖所示，在 AB的延長線上截取 AE=AC,連接PE .因為AD是ZBAC的外角平分線，故 ZCAP=/EAP .在 MCP和 AAEP 中，AC=AE, /CAP=/EAP, AP公用，因此 MCP MEP ,從而PC =PE .在 ABPE 中，PB+PEaBE,而 BE =BA+AE =AB +AC ,故 PB+PC>AB

13、+AC .變形：在 MBC中，AB>AC, AD是/BAC的平分線.P是AD上任意一點.求證：ABAC > PBPC.【解析】 在AB上截取AE=AC,連結EP,根據SAS證得 MEPMCP, . PE = PC, AE = AC 又陽EP 中，BE>PB-PE, BE = AB-AC , . AB-AC >PB-PC(2)、模型鞏固：練習一、.如圖，在 ABC中，ADL BC于D,CD= AB+ BD,/ B的平分線交AC于點E,求證：點 E恰好在BC的垂直平分線上。練習二、如圖，已知求證：AD+ BD= BC練習三、如圖，已知求證：AC+ CD= ABABC中，AB

14、= AC, / A= 100° , / B 的平分線交 AC于 D,ABC中，BC= AC, Z C= 90° , / A 的平分線交 BC于 D,D練習四、已知：在 ABC中，BB的平分線和外角 /ACM的平分線相交于 D, DF BC,交AC于E,交AB于F,求證：EF =BF -CE練習五、在 ABC中，AB=2AC,AD平分/BAC, E是AD中點，連結 CE ,求證：BD = 2CE變式：已知：在 ABC 中，/B =2/C,BD 平分 NABC, AD_LBQ 于 D,一1 一求證：BD = AC2練習六、 點E.求證:已知：如圖，在四邊形 ABC邛,AD/ B

15、C,BC=DC,CF¥分Z BCD,DF/ AB,BF的延長線交 DC于(1) BF=DF;(2) AD=DE.練習七、已知如圖，在四邊形ABCD中，AB+BC=CD+DA/ ABC的外角平分線與/ CDA的外角平分線交于點P.求證：/ APB=Z CPD練習八、如圖，在平行四邊形 ABCD（兩組對邊分別平行的四邊形）中，E, F分別是AD AB邊上的點,且BE DF交于G點，BE=DF求證：GO/ BGD勺平分線。練習九、如圖，在 ABC中，/ ACB為直角，CMLAB于M AT平分/ BAC交CM于D,交BC于T,過D作 DE/ AB交 BC于 E,求證：CT=BE.練習十、如圖

16、所示，已知 MBC中，AD平分/BAC , E、F分別在BD、AD上.DE =CD , EF = AC .求證：EF / AB【補充】如圖，在 MBC中，AD交BC于點D ,點E是BC中點，EF II AD交CA的延長線于點 F , 交AB于點G ,若BG =CF ,求證：AD為ZBAC的角平分線.4.中考巡禮：(1).如圖1, OP是/AOB的平分線，請你利用圖形畫一對以 OP為所在直線為對稱軸的 全等三角形，請你參考這個全等三角形的方法，解答下列問題。、如圖2,在 ABC中，/ACB直角，/ B=600, AD CE是/ BAC /BCA勺角平分線,相交于點F,請你判斷并寫出EF與DF之間

17、的數量的關系。、如圖3,在4ABC中，/ACB是直角，而(1)中的其他條件不變，請問，(1)中的結論是否任然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.如圖，在平面直角坐標系中，B (-1 , 0), C (1, 0) D為y軸上的一點，點A為第二象限內一動點，且/ BAC=2/ BDO過點D作DMLAC于M、求證：/ ABDW ACD、若點E在BA的延長線上，求證：AD平分/ CAE理由二、等腰直角三角形模型1.在斜邊上任取一點的旋轉全等:操作過程:(1) .將ABD®時針旋轉90°,使AC陣AABED從而才|出4 ADMJ等腰直角三角 形.(但是寫輔助線時不能這樣寫)(

18、2) .過點C作MC _L BC ,連AM導出上述結論.2.定點是斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動的旋轉全等:操作過程：連AD.(1) .使 BF=AE(AF=CE,導出 zXBDHAADE.(2) .使/EDF它 BAC=800,導出 ABD/AADE.(1)、例題應用:在等腰直角44。中，440=90%點M.Nfi斜邊BC上滑動，且4LV=45。是探究MV、CA之間的數量關系.yrc±sc解析：方法一：過點c作過點另作.vzyG使N5二ex連av1方法二：使ire二五此連41r.BA結論：BMCNAfX22,兩個全等的含30。,60涌的三角板.5磊口三角板46C,如圖所示放置, E

19、. A. CH點在一條直線上，連接5D,取5D的中點就 連接ME, MC是判斷£”(充)形狀，并證明你的結論.證明：方法一：連接 AM證明 MDEMACI別注意證明 ZMDE =MAC.方法二：過點M作MNLEC交EC于點N,得出M財直角梯形的中位線，從而導出ME3等腰直角三角形.B(2)、練習鞏固： 已知：如圖所示，RtAABC中，AB=AC /BAC=90： O為BC中點，若M N分別在線段AC AB上移動，且在移動中保持 AN=CM.、 是判斷 OMNJ形狀，并證明你的結論.、當M N分別在線段 AC AB上移動時，四邊形 AMON)面積如何變化？思路：兩種方法: 在正方形AB

20、CM, BE=3 , EF=5 , DF=4 ,求/ BAEN DC的多少度.3 .構造等腰直角三角形（1）、利用以上的1和2都可以構造等腰直角三角（略）（2）、利用平移、對稱和弦圖也可以構造等腰直角三角如下圖：圖3-1圖3-2操作過程：在圖3-2中，先將ABW BD所在的直線為對稱軸作對稱三角形，再將此三角形沿水平方向向右平移一個正方形邊長的長度單位，使例題應用：已知：平面直角坐標系中的三個點，A1，。）b（2,7）C（0,3）,求/OCA+OCB勺OCB+OCA=45Q4 .將等腰直角三角形補全為正方形，如下圖：圖4-2圖4-1例題應用：如圖，在等腰直角WBG4cB=9叫次部一點，滿足PB

21、=PCr 且34c求證二 4cp152思路：構造正方形ACBM可以構造出等邊 APM從而造出上AP=4C*F=7 卜一一 一可得，再由于，故而得到從而得 證.例題拓展：若ACB=2ABC ABC不是等腰直角三角形，即,而是，其他條件不變，求證：/2=2/1.練習鞏固：在 平面直角坐標系中，A (0,3 )，點B的縱坐標為2,點C的縱坐標為0,當A、B、C三點圍成等腰直角三角形時，求點B、C的坐標.(1)、當點B為直角頂點：(2)、當點A為直角頂點:圖3圖4(3)、當點C為直角頂點:圖5圖6三、三垂直模型(弦圖模型).由 4AB昌BC*出 EC=AB-CDABC中，AB=AC /BAC=90 ；

22、 D為 AC中點,AF± BD于 E,交由4AB草BCD1出ED=AE-CD1.例題應用：例1.已知：如圖所示，在4BC于F,連接DF.求證：/ADBWCDF.由4AB昭BCDt出BC=BE+ED=AB+CD思路：方法一：過點C作MCl AC AF的延長線于點 M.先證4AB隹ZXCAM 再證 zXCDF ACMFIP可.方法二：過點 A作AML BC分別交BD BC于H M先證4AB由ZXCAF 再證 CDF AADFfP 可.方法三：過點A作AML BC分另1J交BD BC于H M先證Rt/XAMF RtzXBMH得出 HF/ AC.由M D分別為線段AG BC的中點，可得MD為

23、zABC的中位線從而推出MD/ AB,又由于jBAC=90：故而MD_ AC MD_ HF,所以MM線段HF的中垂線.所以/ 1=/2.再由/ADB-/ 1=/ CD+/2 ,則 /ADB/CDF.AB=AC A附CN AF± BM于 E,交BC于F,連接NF.求證： /ADB/CDF. BM=AF+FN思路：同上題的方法一和方法二一樣 .拓展（2）：其他條件不變，只是將 BMF口 FN分別延長交于點 P,求證：PM=PN PB= PF+AF.思路：同上題的方法一和方法二一樣.例2.如圖2-1 ,已知AD/ BC, AABEn CDF是等腰直角三角形，/EA3/CDF90,AD=2

24、BC=5求四邊形AEDF勺面積.E圖2-1解析：如圖2-2,過點E、B分別作EN! DA, BM£ DA交DA延長線于點N、M. 過點F、C分別作FP± AD CQL AD交AD及AD延長線于點 P、Q111題邊形 EAFD =s AED s Adf*AD EN 2 AD FP =2 *AD EN FPABEffi CDF是等腰直角三角形，； /EAB/CDF90 AE=AB DF=CD. ENJX DA BML DA FP，AR CQL AD, . / NMB/ ENAW FPDW DQC90 . ./ENAW MBA, / FDP玄 QCD. ENM ABM "

25、;P莊 DQC.NE=AM PF=DQ . NE+PF=DQ+AM=MQ-AD. AD/ BC CQ/ BM /BMN90： . .四邊形 BMQC1夕|形. . BC=MQc1 cS四邊形 eafd - - 2 3=3.; AD=2 BC=5 /. NE+PF=5-2=32圖2-22.練習鞏固：(1)、如圖(1) -1,直角梯形ABCg, AD/ BC, /ADC90： l是AD的垂直平分線,交AW點M以腰AB為邊做正方形 ABFE EPL 1于點P.求證：2EP+AD=2CD.(1) -2實用標準文案(2)、如圖，在直角梯形 ABCM, ZABC=90=, AD/ BQ AB=AC E是 AB的中點,CEL BD.求證：BE=AD；求證：AC是線段ED的垂直平分線；ABCD等腰三角形嗎？請說明理由.四、手拉手模型1. AABE?HzACF均為等邊三角形2. ABDffi ACE均為等腰直角三角形精彩文檔D結論：(1) . AABFAAEC0(2) . Z BOE=BAE60 (“八字模型證明”)(3) .OA平分/EOFA拓展：條件：ABCffi CDE勻為等邊三角形結論：(1)、AD=BE (2)、/ACBWAOB (3)、 PCM等邊三角形(4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ (6)、COF分/AOE (7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD (