1、第1頁共 21 頁2020屆福建連城縣第一中學(xué)高三4月模擬考試數(shù)學(xué)(文)試一、單選題1.已知集合 A = x Z|1vxv5, B = x|0vx 2則 AAB =()A.x|1vxw2 B.x|0vxv5C.0,1,2D.1,2【答案】D【解析】列舉法表示集合 A，直接進行交集運算【詳解】集合 A=xZ|-1vxv5=0,1,2,3,4,B=x|0vxb0)與直線丄a2b2av x1交c 為半焦距，若ABF 是直角三角形， 則該橢圓的離心率為（【解析】聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點B 兩點，利用平面向量垂直的坐標表示得到2y_2聯(lián)立方程aya2xbxb1，解方程可得1不妨設(shè) A（0，a），B（-

2、b，0），由題意可知,urnBAuuu BF=0 0，由平面向量垂直的坐標表示可得，b bac 0，第10頁共 21 頁1它的圖象關(guān)于直線 X=L 對稱；922它的最小正周期為;3113它的圖象關(guān)于點(,1)對稱；185194它在5，旦上單調(diào)遞增39其中所有正確結(jié)論的編號是()A .B.C .D .【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)y Asinwx圖象的平移變換公式求出函數(shù)g(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)區(qū)間等相關(guān)性質(zhì)求解即可【詳解】因為 f(x)=sin 3X-、3COS3x+ 仁 2sin(3x- )+1 ,由y Asinwx圖象的平移變換公式3知,函數(shù) g(x)=2sin3(x+

3、)-+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期為T636k5令 3x+ =kT+-，得 x=+(k Z)，所以 x=不是對稱軸，故錯誤；6 62399k1111令 3x+ =kn得 x= - (k Z)，取 k=2，得 x= ，故函數(shù) g(x)的圖象關(guān)于點(-63 1818181)對稱，故正確；2k 22k1013令 2kn W3 W2 n ，k Z,得-0, b0)與拋物線 y2=8x 有一個共同的焦點 F，兩曲線的a b一個交點為 P,若|FP|=5，則點 F 到雙曲線的漸近線的距離為 _ .【答案】【解析】設(shè)點P為x0, y0，由拋物線定義知，F(xiàn)P X)2 5，求出點 P 坐標代入雙曲線

4、方程得到a,b的關(guān)系式，求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求 解即可.【詳解】由題意得 F(2, 0)，因為點 P 在拋物線 y2=8x 上, |FP|=5，設(shè)點P為X0,y,y29242 =1 得-=1,2，得 得2 . 2bab又因為 a2+b2=4,解得 a=1, b=3，因為雙曲線的漸近線方程為y x,a所以雙曲線的漸近線為y=._3x,由點到直線的距離公式可得，故答案為：.3【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì);運用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型16 .如圖，在三棱錐 A - BCD 中，點 E 在 BD 上，EA = EB = EC

5、 = ED , BD , 2 CD , ACD 為正三角形，點 M, N 分別在 AE, CD 上運動(不含端點)，且 AM = CN，則 第 10 頁共 21 頁由拋物線定義知,FPx025，解得X03不妨取 P(3,2 2、.6)，代入雙曲線2X2a點 F 到雙曲線的漸近線的距離d考查運算求解能力和知識遷移能力；靈活第17頁共 21 頁2當四面體C C- EMN 的體積取得最大值時，三棱錐 A - BCD 的外接球的表面積為3解得 a =2 .2設(shè) ED = a,根據(jù)勾股定理的逆定理可以通過計算可以證明出CE 丄 ED. AM = x,根據(jù)三棱錐的體積公式，運用基本不等式，可以求出AM 的

6、長度，公式進行求解即可.【詳設(shè) ED = a，貝VCD , 2a.可得 CE2+DE2= CD2, CE 丄ED.當平面 ABD 丄平面 BCD 時，當四面體 C - EMN的體積才有可能取得最大值，設(shè) AM =x.則四面體 C - EMN 的體積 -(a - x)132ax(a-x)122 /X a x、2存()-，當且僅當 x3a-時取等號2此時三棱錐 A - BCD的外接球的表面積=4n2=32n故答案為：32n【點本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了球的表面積公式,考查了數(shù)學(xué)運算能力和空間想象能力.三、解答題17 .在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，且2a c 2bcos

7、C.(1)求 sin詩B 的值;若b、3，求c a的取值范圍.【答(1)0 ； (2). 3, 32【解(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得cosB，進而求【解第18頁共 21 頁得B和A C，代入求得結(jié)果;（2）利用正弦定理可將c a表示為2sinC 2sin A,利用兩角和差正弦公式、輔助C，根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合C的范圍可3求得結(jié)果.【詳解】sinA sin B2sin C3 cosCsin Csin C.3 cosC 2sinC -3Q A C20 C2C -3333 32sin C、3八3，即ca的取值范圍為 3, 33【點睛】本題考查解三角形知識的相

8、關(guān)應(yīng)用， 涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、 兩角和差正弦公式 和輔助角公式的應(yīng)用、 與三角函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問題；求解取值范圍的關(guān) 鍵是能夠利用正弦定理將邊長的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，進而利用正弦型函數(shù)值域 的求解方法求得結(jié)果18 某校高三（1）班在一次語文測試結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們在背誦內(nèi)容方面失分較為嚴2sin B Csi nC2sin B cosC2cosB s inC sinC2sin BcosC即2cosBsin CsinC0,si nCcosB0,sin(2)2sin3由（1）知:2sin C，a2sin Csin B sin3322sin A2si nA 2s inC2sin

9、sin AsinCsinB22sin C2sin B cosC 2cos B sin C角公式將其整理為2sin（1） 由正弦定理可得:2sinA sinC2sin BcosC第19頁共 21 頁重為了提升背誦效果，班主任倡議大家在早、晚讀時間站起來大聲誦讀，為了解同學(xué) 們對站起來大聲誦讀的態(tài)度，對全班50 名同學(xué)進行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果進行整理后制成下表：考試分數(shù)85,9595,105105,115115,125125,135135,145頻數(shù)510155105贊成人數(shù)469364(1)欲使測試優(yōu)秀率為 30%，則優(yōu)秀分數(shù)線應(yīng)定為多少分？(2)依據(jù)第 1 問的結(jié)果及樣本數(shù)據(jù)研究是否贊成站起來大聲

10、誦讀的態(tài)度與考試成績是否優(yōu)秀的關(guān)系，列出2X2 列聯(lián)表，并判斷是否有 90%的把握認為贊成與否的態(tài)度與成績是否優(yōu)秀有關(guān)系P K2k。0.1000.0500.0250.010k02.7063.8415.0246.635【答案】(1) 125 分(2)列聯(lián)表見解析；沒有 90%的把握認為贊成與否的態(tài)度與成績 是否優(yōu)秀有關(guān)系【解析】(1)根據(jù)題意，測試的優(yōu)秀率為30%，所以測試成績優(yōu)秀的人數(shù)為50 30% 15，即可得答案；(2)完成列聯(lián)表，再代入卡方系數(shù)計算公式，即可得答案【詳解】(1)因為測試的優(yōu)秀率為 30%，所以測試成績優(yōu)秀的人數(shù)為50 30% 15, 所以優(yōu)秀分數(shù)線應(yīng)定為 125 分.(2

11、)由(1)知，測試成績優(yōu)秀的學(xué)生有50 0.3 15人，其中 贊成的”有 10 人；測 試成績不優(yōu)秀的學(xué)生有50 15 35人，其中 贊成的”有 22 人.2 X2 列聯(lián)表如下：參考公K2n(ad be)2(a b)(c d)(a c)(b d)abed.第20頁共 21 頁贊成不贊成合計優(yōu)秀10515不優(yōu)秀221335合計321850因此，沒有 90%的把握認為贊成與否的態(tài)度與成績是否優(yōu)秀有關(guān)系【點睛】本題考查獨立性檢驗、卡方系數(shù)計算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題19如圖，在四棱錐P ABCD中，PA底面ABCD,AD/BC,DABAB BC PA1AD 2,E為PB的中點,2(1)若EF平

12、面PAD，證明：F是PC的中點(2)求點C到平面 PBD 的距離2【答案】(1)證明見解析(2)3【解析】(1)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可證得EF/BC，即可得答案;(2)利用等積法可求得點C到平面 PBD 的距離【詳解】(1)證明：因為BC/AD,BC平面PAD,AD平面PAD, 所以BC/平面PAD.因為P平面PBC,P平面PAD， 所以可設(shè)平面PBC I平面PAD PM又因為BC平面PBC，所以BC/PM.因為EF/平面PAD,EF平面PBC,所以EF /PM,K250 (10 13 5 22)232 18 15 35253780.0662.70690,F是PC上的點.第21頁共 21 頁

13、從而得EF/BC.(2)解：因為PA底面ABCD,DAB 90,AB BC PA -AD 2,2所以PB . PA2AB22,2，PD . PA2AD22、5，BDBA2AD22 5，所以SDPB1PB , DP21PB 6.2 y 2設(shè)點C到平面 PBD 的距離為d,1SBCDPA1 1BC AB PA,33 22解得d.3【點睛】本題考查線線平行性質(zhì)定理的運用、點到面距離的求解，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運算求解能力 20 .設(shè)拋物線 C： y2=2px(p0)的焦點為 F，準線為 I, AB 為過焦點 F 且垂直于 x 軸的 拋物線 C的弦，已知以 AB 為直徑的圓經(jīng)過點(-

14、1 , 0).(1) 求 p 的值及該圓的方程；(2)設(shè) M 為 I 上任意一點，過點 M 作 C 的切線，切點為 N，證明：MF 丄 NF .【答案】(1) p=2. (x-1)2+y2=4. (2)見解析【解析】(1)根據(jù)題意知， 代B點的坐標為(衛(wèi),),利用直角三角形斜邊上的中線2等于斜邊的一半列出關(guān)于P的方程，求出P，求得圓心 F 和直徑AB 2p即可；(2)易知直線 MN 的斜率存在且不為 0,設(shè) M(-1 , y), MN 的方程為 y=k(x+1)+y與拋由VCPBDVP BCD，得3SDPBd第22頁共 21 頁物線方程聯(lián)立得到關(guān)于y的一元二次方程，由判別式0得到y(tǒng),k的關(guān)系式

15、，將y。的第23頁共 21 頁表達式代入關(guān)于y的一元二次方程和拋物線方程得到點N的坐標，利用平面向量垂直的坐標表示求解即可【詳解】(1)由題意知，代B點的坐標為(E，邛)，2因為以 AB 為直徑的圓經(jīng)過點(-1，0)，所以 p=E-(-1)，解得 p=2,2所以所求圓的圓心為直徑 AB 的中點 F(1，0)，直徑AB 2p 4，所以所求圓的方程為(X-1)2+y2=4.(2)證明：易知直線 MN 的斜率存在且不為 0，設(shè) M(-1，yo)，MN 的方程為 y=k(x+1)+yo,代入 C 的方程, 得 ky2-4y+4(yo+ k)=0,1令 A=16-16 k(y+k)=O，得 yo+k=,

16、k2 2ky2-4y+4(yo+k)=kx=A，即N 點的坐標為(2,Z).,k2k2k所以 FM =(-2, yo),FN=(占-1,kuuuuuuir22212FM環(huán)=2 2它嘰k=2 2它+(+(1-k)-k)k=， 故 MF 丄 NF.【點睛】本題考查拋物線和圓的幾何性質(zhì)、平面向量垂直的坐標表示；考查運算求解能力、分析問題和解決問題的能力、邏輯推理能力；利用判別式0得到點N的坐標和平面向量垂直的坐標表示的運用是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型(x 1)(1 In x). .I21 .已知函數(shù)f(x)3m,g(x) mx ln x (m R).x(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值當

17、m 0時，是否存在X1,X21,2，使得 f(xj g(X2)成立？若存在，求實數(shù)m的所以4=0，解得 y=-,k將 y=-代入 C 的方程，得k22) )，第24頁共 21 頁取值范圍，若不存在，請說明理由第25頁共 21 頁【答案】(1)分類討論，詳見解析；(2)0,3歸2【解析】(1)求出函數(shù)g(x)的定義域，接著求導(dǎo)，對參數(shù)m分類討論。(2)假設(shè)存在 為必1,2，使得 f(xj g(x2)成立，則對x 1,2，滿足f (x)maxg(x)min，將問題轉(zhuǎn)化為求f ( x)max與9(X)min?！驹斀狻?解：(1)g (x) m (x 0),x1當m 0時，g (x) m0恒成立，即函

18、數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0, + )，無x單調(diào)減區(qū)間，所以不存在極值.h(1)1，所以f (x)0，所以 f(x)在 1,2 上單調(diào)遞增,f(2)(21)(12)3m 4? 3m20時，令g (x) m10，得x丄，當0 xxm1時，g (x)0，當xm時，g(x) 0,故函數(shù)1(0, ),單調(diào)減區(qū)間為m1處取得極大值，極大值為g()mg(x)的單調(diào)增區(qū)間為mm(1,m1Inm),此時函數(shù)g(x)在1 In m，無極小值.綜上，當m 0時，函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為0,無單不存在m 0時，函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為0,丄m、 、1，單調(diào)減區(qū)間為一,m，極大值為1 In m,無極小值(2)當

19、m0時，假設(shè)存在X1,X21,2，使得 f(x(x1)gg)成立，則對x 1,2,足f (x)maxg(x)min由f (x)(x 1)(1 In x)3m(x1,2 )可得,f (x)x(1 I nx 1 -)x x2x令h(x)(x 1)(1 Inx)x Inx.x21x lnx(x1,2 )，則h (x) 1 - 0,所以h(x)在 1,2 上單調(diào)遞增，所x以h(x)所以f(X)max第26頁共 21 頁m的最小值是g(2) 2m In 2.11當2，即0 m時，函數(shù)g(x)在 1,2 上單調(diào)遞增,m 2所以g(x)的最小值是g(1) m.11當12時，即一m211m 1時，函數(shù)g(x)

20、在1,上單調(diào)遞增，在,2上單mm調(diào)遞減.又g(2)g(1)1In 2 2m m In 2 m，所以當m In2時，g(x)在21,2 上的最小值是g(1)m.當In 2 m 1時，g(x)在 1,2 上的最小值是g(2) In 2 2m所以當0 m In 2時，g(x)在 1,2 上的最小值是g(1) m，故3(1 In 2)門3m m,2解得31m,所以In 2 m 0.4當In 2 m時，函數(shù)g(x)在 1,2 上的最小值是g(2) In 2 2m,故3(1 In 2)3m In 2 2m,2解得3 In2m,所以In 2 m3 In 2.故實數(shù)m的取值范圍是0,3噸2 2 2【點睛】本題

21、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值問題，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題。x22 在直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為ycos ,C .(為參數(shù))，以坐3si n標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線I的極坐標方程為sin cos 6.(1) 求曲線C的普通方程和直線I的直角坐標方程；(2)若射線m的極坐標方程為(0).設(shè)m與C相交于點M,m與|相交3于點N，求|MN |.由(1)可知，當01時，即m 1時，函數(shù)g(x)在 1,2 上單調(diào)遞減，所以g(x)2【答案】(1)曲線C的普通方程為x2I91;直線I的直角坐標方程為x y 60第27頁共 21 頁（2）| MN | 5、3 6【解析】（1）利用消去參數(shù)，將曲線C的參數(shù)方程化成普通方程，利用互化公式x cosy sin將直線l的極坐標方程化為直角坐標方程；【詳解】設(shè)M,N的極徑分別為1和（2）根據(jù)（1）求出曲線C的極坐標方程，分別聯(lián)立射線m與曲線C以及射線m與直線I的極坐標方程, 求出2，即可求出|MN |.解：（1）x因為ycos3sin為參數(shù)），所以消去參數(shù)2，得x2工9所以曲線C的普通方程為x因為ycos ,所以直線sin ,I的直角坐標方程為x0.（2） 曲線C的極坐標方程為2cos22 . 2sin9代入cos22 . 2sin 1,9解