1、7.1超靜定結構概述超靜定結構的兩大特征：1) 在幾何組成方面：靜定結構是沒有多余約束的幾何不變體系，而超靜定結構則是有多余約束的幾何不變體系。2) 在靜力分析方面：靜定結構的支座反力和截面內力都可以用靜力平衡條件唯一地確定，而超靜定結構的支座反力和截面內力不能完全由靜力平衡條件唯一地加以確定?？偟膩碚f，約束有多余的，內力（或支座反力）是超靜定的，這就是超靜定結構區別于靜定結構的兩大基本特征。凡符合這兩個特征的結構，就稱為超靜定結構。超靜定結構的兩種約束：1) 必要約束：對維持體系的幾何不變性不可缺少的約束，稱為必要約束。2) 多余約束：對維持體系的幾何不變性不是必需的約束，稱為多余約束。超靜

2、定結構的五種類型：力法和位移法是解決超靜定結構的兩個基本方法，不過位移法出現較晚，會運用一些力法的結果。超靜定結構中的多余約束數目，稱為超靜定次數，用n表示。超靜定次數的確定：1. n=-w(非必需)2. 從原結構上去除約束3. 判定剩余體系的幾何組成，保證幾何不變（必需）解除超靜定結構的多余約束，歸納起來有以下幾種方式：1) 移去一根支桿或切斷一根鏈桿，相當于解除一個約束。2) 移去一個不動鉸支座或切開一個單鉸，相當于解除兩個約束。3) 移去一個固定支座或切斷一根梁式桿，相當于解除三個約束。4) 將固定支座改為不動鉸支座或將梁式桿中某截面改為鉸結，相當于解除一個轉動約束。（注意：既要移去全部

3、多余約束，又要保留每個必要約束）7.2力法的基本原理力法的基本思路是把超靜定結構的計算問題轉化為靜定結構的問題，即利用已熟悉的靜定結構的計算方法達到計算超靜定結構的目的。1. 找出關鍵所在力法的基本未知量2. 尋求過渡途徑力法的基本體系多余約束移去，而代之以多余未知力，并保留原荷載所得到的結構，稱為力法的基本體系。把結構的多余約束并連同荷載一起移去后所得到的結構，稱為力法的基本結構。3. 補充轉化條件力法的基本方程 力法的計算步驟：1) 確定基本未知量數目。2) 選擇力法基本體系。3) 建立力法基本方程。4) 求系數和自由項。5) 解方程，求多余未知力。6) 作內力圖。7) 校核。力法的基本原

4、理是：以結構中的多余未知力為基本未知量；根據基本體系上解除多余約束處的位移應與原結構的已知位移相等的變形條件，建立力法的基本方程，從而求得多余未知力；最后，在基本結構上，應用疊加原理作原結構的內力圖7.3力法的基本體系選擇及典型方程滿足條件：第一， 必須滿足幾何不變的條件第二， 便于繪制內力圖第三， 基本結構只能由原結構減少約束而得到，不能增加新的約束基本結構的選取技巧：1) 盡量使去除多余約束后的體系成為多個彼此獨立的靜定部分2) 若無法做到上一條，對梁和剛架，盡量暴露反力矩或彎矩Xi3) 滿足條件的第三條，基本結構只能由原結構減少約束而得到，不能增加新的約束。n次超靜定結構的力法典型方程：

5、1) 主斜線（自左上方的d11至右下方的dnn）上的系數dii稱為主系數或主位移，是單位多余未知力Xi=1單獨作用時所引起的沿其本身方向上的位移，其值恒為正，且不會等于零。2) 其它的系數dij（ij）稱為副系數或副位移，它是單位多余未知力Xj=1單獨作用時所引起的沿Xi方向的位移，其值可能為正、負或零。3) 各式中最后一項iP稱為自由項，它是荷載單獨作用時所引起的沿Xi方向的位移，其值可能為正、負或零。4) 根據位移互等定理可知，ij=ji最后，彎矩圖由疊加法作出：對超靜定桁架：對超靜定組合結構：一般可將桁桿作為多余約束切斷而得到其靜定的基本體系。計算系數和自由項時，對桁桿應考慮軸向變形的影

6、響；對梁式桿只考慮彎曲變形的影響，而忽略其剪切變形和軸向變形的影響。對排架進行內力分析，主要是計算排架柱的內力。兩鉸拱用力法計算時，通常采用簡支曲梁為基本結構，以支座的水平推力為多余未知力。利用基本體系在B支座沿X1方向的線位移為零的變形條件，可建立力法方程一般可略去剪力的影響，而軸力的影響僅在扁平拱（拱高f<l/5）的情況下計算d11式中予以考慮。7.5用力法計算超靜定結構在支座移動和溫度變化時的內力對于靜定結構，在支座移動、溫度變化等非荷載因素作用下，可發生自由變形，但并不引起內力；而對于超靜定結構，由于存在多余約束，在非荷載因素作用下，一般會產生內力，這種內力稱為自內力。力法計算自

7、內力的特點：1) 力法方程中的自由項不同。2) 對支座移動問題，力法方程右端項不一定為零。當取有移動的支座約束力為基本未知力時，i0，而是i=Ci。3) 計算最后內力的疊加公式不完全相同。計算支座移動引起n次超靜定結構的內力時，力法程中第 i個方程的一般形式可寫為力法計算支座問題的特點：1) 若所取Xi為支座反力（矩），且對應Xi方向有支座移動值（），則力法右端為±（或±）。正負號根據Xi與相應支移是否同向確定。2) 自由項ic由除Xi所對應原結構剩余的支座位移單獨作用于基本結構引起，ic=-FRC是靜定結構在支移作用下引起剛體位移在Xi方向上的值。溫度變化時的內力計算：式

8、中， it表示基本結構在溫度變化作用下沿Xi方向的位移；i表示原結構沿Xi方向的位移（在溫度變化問題中，一般 i=0）。在溫度變化時，超靜定結構的內力與反力與各桿件剛度的絕對值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自內力狀態的有效途徑。（對超靜定梁而言，其低溫一側受拉而高溫一側受壓）代之以桿件制作誤差（或材料收縮與徐變）時的自由項計算公式：可看出，周邊的約束剛度對上述非荷載因素所引起的結構的自內力有很大的影響。7.6對稱結構的簡化計算對稱結構：1) 幾何尺寸對稱2) 約束形式對稱（支座、結點）3) 剛度對稱簡化的主要目標：使典型方程中盡可能多的副系數以及自由項等于零，從而使典型方程成為獨立方程或

9、少元聯立方程。1) 對稱荷載在對稱結構中只引起對稱的反力、內力和變形。因此，反對稱的未知力必等于零，而只有對稱未知力。2) 反對稱荷載在對稱結構中只引起反對稱的反力、內力和變形。因此，對稱的未知力必等于零，而只有反對稱未知力。選取等效的半結構：奇數跨對稱（反對稱）結構：偶數跨對稱（反對稱）結構：7.7用彈性中心法計算對稱無鉸拱為了簡化計算，采用以下兩項簡化措施：第一選取對稱的基本結構第二項簡化措施是利用剛臂使一對副系數12和 21等于零，從而使力法方程進一步簡化為三個獨立的一元一次方程：有為了形象地理解式的幾何意義，設想沿拱軸線作寬度等于1/EI的圖形，則ds/EI代表此圖中的微面積，而上式就

10、是計算這個圖形面積的形心計算公式。由于此圖形的面積與結構的彈性性質EI有關，故稱它為彈性面積圖，它的形心則稱為彈性中心。求出yS，即確定彈性中心的位置。（當計算系數和自由項時，可忽略軸向變形和剪切變形的影響，只考慮彎曲變形一項。但當拱軸線接近合理拱軸時，或拱高f<l/5時，或拱高f >l/5且拱頂截面高度hc>l/10時，還需考慮軸力對d 22的影響。）溫度變化時的計算：由于溫度變化對稱于y軸，因此有X3=0，力法方程簡化為：當全拱內外側溫度均勻改變時，在彈性中心處只有水平多余力X2。當溫度升高時，X2為正方向，使拱截面內產生壓力；溫度降低時，X2為反方向，使拱截面內產生拉力

11、。對于混凝土拱，應注意避免由于降溫引起的拉力使拱產生裂縫?；炷恋臏囟染€膨脹系數為a =0.00001，而一般混凝土的收縮率a t約為0.025%，相當于溫度均勻下降25。若拱體的混凝土是分段分期澆筑的，則其收縮的影響通常相當于溫度下降1015。用彈性中心法計算對稱無鉸拱的支座移動：無鉸拱由于溫度變化和支座移動引起的內力也與拱的絕對剛度有關，且成正比，拱的剛度愈大，由于溫度變化或支座移動所引起的自內力也愈大7.8超靜定結構的位移計算單位荷載法，不僅可以用于求解靜定結構的位移，也同樣適用于求解超靜定結構的位移，區別僅在于內力需按計算超靜定結構方法求出。1) 求實際狀態內力圖（M圖）2) 在任一力法基本結構上施加單位虛力，求內力圖。3) 根據單位荷載法公式求位移。支座移動時超靜定結構的位移計算：溫度變化時超靜定結構的位移計算綜合因素影響下的位移計算：7.9超靜定結構內力圖的校核1) 利用平衡條件校核（必要條件）2) 根據已知變形條件校核（充分條件）常采用以下方法進行變形條件校核：根據已求得的最后彎矩圖，計算原結構某一截面的位