1、學院理學院專 業信息與計算科學學生姓名班級學號課程名稱概率論與數理統計課程設計課程設計（論文）題目氣體的流量與壓力之間的回歸分析設計要求（技術參數）：設計通過該課程，使學生進一步理解概率論與數理統計的基本概念、理論和方法；初步掌握Excel統計工作表在隨機模擬中是應用，MATLAB統計軟件包作常見的統計檢驗和統計分析；具備初步的運用計算機完成數據處理的技能，使課堂中學習到理論得到應用。設計任務（至少一個）：1數據整理：收集數據，錄入數據，畫出相應圖形；建立數學模型，數據的輸入與整理，各種數據的圖形顯示。2一元、多元線性回歸模型：回歸系數的估計與檢驗，數據散點與回歸直線的圖示，殘差圖。運用MAT

2、LAB統計軟件，對給定的數據擬合回歸方程。3單因素、多因素方差分析：正態總體的方差分析問題； MATLAB統計軟件中關于方差分析的相關命令，做出方差分析表，box圖，能對結果進行簡單分析。4假設檢驗： MATLAB繪制出直方圖，做數據分布的推測；參數估計，假設檢驗，繪制概率密度圖。計劃與進度安排：周三12節：選題，設計解決問題方法 周三58節：調試程序 周五38節：完成論文，答辯成績：指導教師（簽字）： 2010年7月8日 專業負責人（簽字）：2010年7月18日主管院長（簽字）： 2010年7月19日摘要數理統計是具有廣泛應用的數學分支，在生產過程和科學實驗中，總會遇到多個變量，同一過程中的

3、這些變量往往是相互依賴，相互制約的，也就是說他們之間存在相互關系，這種相互關系可以分為確定性關系和相關關系。變量之間的確定性關系和相關關系在一定條件下是可以相互轉換的。本來具有函數關系的變量，當存在試驗誤差時，其函數關系往往以相關的形式表現出來相關關系雖然是不確定的，卻是一種統計關系，在大量的觀察下，往往會呈現出一定的規律性，這種函數稱為回歸函數或回歸方程。回歸分析是一種處理變量之間相關關系最常用的統計方法，用它可以尋找隱藏在隨機后面的統計規律。確定回歸方程，檢驗回歸方程的可信度等是回歸分析的主要內容。按回歸模型類型可劃分為線性回歸分析和非線性回歸分析。本文主要探究一元非線性回歸分析，對于一元

4、非線性問題，可用回歸曲線y = f(x)來描述。在許多情形下，通過適當的線性變換，可將其轉換為一元線性回歸問題。氣體的流量與壓力之間的關系一般由經驗公式M= cpb，此公式不是線性方程，如果對其進行如下變換：對其兩邊同時取常用對數lgM = lg c + b*lg p令 y = lg M ,x = lg p, a = lg c,則上述經過公式可以變換成一元線性方程： y = a+bx用線性回歸方法求出x與y之間的線性回歸方程y = 0.5426x-0.2827，返回原來的M和p之間的經驗公式可表示為M= 0.5216p0.5426，回歸方程的顯著性檢測：a.相關系數檢驗，b.F檢驗。所求得的經

5、驗公式非常顯著。關鍵詞：相互關系；回歸分析；一元非線性回歸分析；線性回歸方程；顯著性檢測目錄1 設計目的12 設計原理12.1 線性回歸方程的建立12.2 相關系數檢驗2 3 設計題目54 實現過程54.1 回歸方程建立54.2 回歸方程顯著性檢驗75 設計總結8致謝10參考文獻101、設計目的在許多實際問題中，變量之間的關系并不是線性的，這時就應該考慮采用非線性回歸分析模型。在進行非線性回歸分析時，必須著重解決兩方面的問題：一是如何確定非線性函數的具體形式，與線性回歸不同，非線性回歸函數有多種多樣的具體形式，需要根所研究的實際問題的性質和實驗數據特點作出適當的選擇；二是如何估計函數中的參數，

6、非線性回歸分析最常用的方法仍然是最小二乘法，但需要根據函數的不同情形，做適當的處理。使其轉化為線性回歸。是得問題簡單化。熟悉Excel在試驗數據處理中的應用，2、設計原理對于一元非線性問題，可用回歸曲線 y = f(x)來描述。在許多情況下，通過適當的線性變換，可將其轉化為一元線性回歸問題。具體做法如下： 根據實驗數據，在直角坐標系中畫出散點圖； 根據散點圖，推測y 和x之間的函數關系； 選擇適當的變換，使之變成線性關系； 用線性回歸方法求出線回歸方程； 返回原來的函數關系，得到要求的回歸方程。如果憑借以往的經驗和專業知識，預先知道變量之間存在一定的形式的非線性關系，上述的前兩步可以省略；如果

7、預先不清楚變量之間的函數類型，則可以依據實驗數據的特點活散點圖來選擇對應的函數表達式。需要指出的是，在一定的試驗范圍內，可能用不同的函數擬合實驗數據，都可以得到顯著性較好的回歸方程，這時應該選擇其中數學形式較簡單的一種。在回歸方程顯著性檢測時也是根據線性回歸方程而做出的顯著性檢測。2.1線性回歸方程的建立：設有一組實驗數據，實驗值為xi，yi (i = 1,2,，n),其中x是自變量，y是因變量。若x，y符合線性關系，則可以你何為直線方程，即： = a + bxi 其中a，b稱為回歸系數。如果將與之間的偏差稱為殘差，用ei表示，則有：= -顯然，只有各殘差平方值之和最小時，回歸方程預實驗值的擬

8、合程度最好。令SSe=Q=，其中xi,yi是已知實驗值，故殘差平方值SSe為a，b的函數，為使SSe值到達極小， 根據極值原理，只要將上式分別對a,b求偏導數,，并令其等于零，即可求得a，b之值，根據最小二乘法，可以得到對方程組求解可得回歸系數a，b的計算式：a =-b式中，分別為試驗值xi，yi(i= 1，2，3，n)的算術平均值。從式中可以看出，回歸直線通過點(，)，為了方便計算。令： = -n()= - n，則b = 。2.2相關系數檢驗相關系數是用于描述變量x和y的線性相關程度的，常用r來表示。設有n(n>2)對試驗值xi，yi(i = 1，2，n)，則相關系數的計算式為：r =

9、 比較回歸系數b與相關系數r的計算式，可得：r = =b，所以r與b 有相同的符號。相關系數r的平方未決系數r2具有以下特點：(1);(2)如果，則表明x和y完全線性相關，這時x和y有精確的線性關系；(3) 大多數情況下，即x和y之間存在一定的線性關系，當r>0時稱x與y正相關，這時直線的斜率為正值，y隨x的增加而增加，當r <0時稱x與y負線性相關，這時的斜率為負值，y隨x的增加而減小；(4)r = 0時，則表明x和y沒有線形關系，但并不意味著x與y之間不存在其它類型的關系，所以先關系數更加精確的說法以偶那個該市線性相關系數。上面的分析可知，相關系數r越接近1，x與y的線性先關程

10、度越高，然而r的大小為你呢個回答其值達到多大時，x與y之間才存在線性相關，采用線性關系才屬合理，所以須對相關系數r進行顯著性檢驗。對于給定的顯著性水平，顯著性檢驗要求時，才說明x與y之間存在密切的線性關系，其中rmin稱為相關系數臨界值，它與給定的顯著性水平和實驗數據組n(n>2)有關，可查表得出。 F檢驗F檢驗實際就是方差分析，包括一下的主要內容。(1) 離差平方和試驗值yi(i = 1，2，n)之間存在差異，這種差異可用試驗值yi與其算術平均數的偏差平方和來表示，稱為總離差平方和，即：SST = - nLyy試驗值yi的這種波動是由于兩個因素造成的：一個是由的變化而引起的變化，它可以

11、用回歸平方和來表示，即：SSR=它表示的是回歸值與yi的算術平均值之間的偏差平方和；另一個因素是隨機誤差，它可以用殘差平方和來表示，即 SSe= ,它表示的是試驗值yi與對應的回歸值之間的偏差平方和。顯然，這三種平方和之間有下述關系：SSY=SSR+SSe 。(2)自由度總離差平方和SSy的自由度為： = n-1回歸平方和SSR的自由度為： = 1殘差平方和SSe的自由度為： = n -2顯然三種自由度之間的關系為：(3)均方MSR= MSe=(4)F檢驗F = F服從自由度為(1,n-2)F分布。在給定的顯著性水平下，從F分布表種查得。一般取0.05和0.01，1-表示檢驗的可靠程度。若F&

12、lt;,則稱x與y沒有明顯的線性關系，回歸方程不可信；若<F<,則稱x與y有顯著的線性關系，用“*”表示；若F>,則稱x與y有十分顯著的線形關系，用“*”表示。后兩種情況說明y的變化主要是由于x的變化造成的。最后將計算結果列成方差分析表差異源SSdfMSF顯著性回歸誤差1n -2MSR=SSRMSe = SSE/(n-2)F = 總和n-1殘差分析與之間的偏差稱為殘差，表示為= -，它能提供許多有用途的信息。根據試驗數值可以計算出參差的標準誤差=如果實驗的隨機誤差服從正態分布，則試驗值落在之內的概率為95%，對于一次試驗數值，殘差標準差越小，說明曲線擬合的越好。3、設計題目氣

13、體的流量與壓力之間的關系一般由經驗公式表示，式中M是壓強為P時每分鐘流過流量計的空氣物質的量，c,b為常數，現進行一批試驗，得到如表 課設-1所示的一組數據。試由這組數據定出常數c,b，建立M和p之間的經驗關系式，并檢測其顯著性。（=0.05） P/atm2.011.781.751.731.681.621.401.360.930.53M/(mol/min)0.7630.7510.7100.6950.6980.6730.6300.6120.4980.371課設-1 實驗數據4、實現過程y = a+bx已知試驗次數 n = 10，根據上述變換，使用Excel對試驗數據進行整理計算，在Excel中建

14、立如圖課設-1的工作4.1回歸方程的建立經驗公式不是線性方程，如果對其兩邊同時取常用對數，可得lgM = lg c + b*lg p如果令 y = lg M ,x = lg p, a = lg c,則上述經過公式可以變換成一元線性方程： 表格。 從Excel的常用工具欄中的“圖表向導”按鈕進入圖表向導。做出XY散點圖如課設-2所示， 在Excel中建立如圖課設-3所示的工作表格。并通過Excel中自帶的數據處理工具進行相關數據的計算課設-3序號lglg12.010.7630.303196-0.117480.0919280.0138-0.0356221.780.7150.25042-0.1456

15、90.062710.021227-0.0364831.750.710.243038-0.148740.0590670.022124-0.0361541.730.6950.238046-0.158020.0566660.024969-0.0376151.680.6980.225309-0.156140.0507640.024381-0.0351861.620.6730.209515-0.171980.0438970.029579-0.0360371.40.630.146128-0.200660.0213530.040264-0.0293281.360.6120.133539-0.213250.0

16、178330.045475-0.0284890.930.498-0.03152-0.302770.0009930.091670.009542100.530.371-0.27572-0.430630.0760240.1854390.11873414.796.3651.44195-2.045360.4812350.498928-0.14661.4790.63650.144195-0.20454實驗數據散點圖00.10.20.30.40.50.60.70.80.90.511.522.5p/atmM/(mol/min)課設-2從表課設-3，可知： = 0.1442, = -0.2045,= 0.481

17、2, = 0.4989， = -0.1466 = -n()-0.4812-100.1442=0.2733L = - n = -0.1466 - 10(-0.2045)=0.1483L= -n()=0.4989-10(-0.2045) = 0.0807 b = = 0.5426a = - b0.1442= -0.2827x與y之間的線性方程為：y = 0.5426x 0.2827又a = lgcc= 10= 10-0.2827 = 0.5216氣體的流量M與壓強p之間的經驗公式可表示為：M = 0.5216 p0.54264.2回歸方程顯著性檢驗a.相關系數檢驗r = = = 0.9986根據=

18、 0.05，n = 10，m = 1查相關系數臨界值表你，得rmin= 0.6319<r,所以求得的經驗公式有意義。b.F檢驗已知： =0.2733L=0.1483SST = Lyy = 0.0807SSR = bLxy = 0.54260.1483 = 0.0805SSe = SST SSR = 0.0807 0.0805 = 0.0002方差分析結果見方差分析表課設-4。課設-4 方差分析表差異源SSdfMSFF0.01（1,8）顯著性回歸殘差0.08050.0002180.08050.000025322011.3*總和0.08079所求得的經驗公式非常顯著。5、 設計總結結果分析：在本例中，非線性回歸分析問題經過變換，轉化成線形回歸分析，求解的回歸方程很好的擬合了試驗數據值，在一定的試驗的范圍內，可能用不同的函數擬合試驗數據，都可以得到顯著性較好的回歸方程，這時就應該選擇其